張千宏，林府標(biāo)，李東陽(yáng)，張鐘妮

(貴州財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)統(tǒng)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025)

眾所周知，差分方程以離散模型的形式出現(xiàn)，作為微分方程和時(shí)滯微分方程的數(shù)值解，在經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、控制工程等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，因此，它已成為應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要課題和熱點(diǎn)問(wèn)題.特別地，由于理論或應(yīng)用的重要性，差分方程(系統(tǒng))的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題已被許多學(xué)者所研究.

EI-Metwally等[1]研究了離散人口模型xn+1=α+βxn-1e-xn,n=0,1,2,…的全局穩(wěn)定性,其中α>0表示移民率，β>0表示人口增長(zhǎng)率,初值x-1,x0為正實(shí)數(shù).

基于上述討論，進(jìn)一步研究如下差分方程系統(tǒng)

(1)

的有界性、持久性、穩(wěn)定性和漸近性, 其中αi，βi，γi∈(0，∞),i=1,2,初值xi,yi∈(0,∞),i=-1,0.

1 預(yù)備知識(shí)

(2)

定義2設(shè)Ix,Iy是實(shí)數(shù)區(qū)間，Ix×Iy被稱(chēng)作方程(2)的不變集，如果當(dāng)n>0，x0,x-1∈Ix,y0,y-1∈Iy?xn∈Ix,yn∈Iy.

定義3(xn,yn)是持續(xù)有界的，如果存在正數(shù)M,N,使得

M≤xn≤N,M≤yn≤N,n=-1,0,….

xn+k+p1xn+k-1+p2xn+k-2+…+pkxn=0,n=0,1,…

是漸近穩(wěn)定的.

2 主要結(jié)論

2.1 有界性和持續(xù)性

定理3系統(tǒng)(1)每個(gè)正解都是有界和持久的.

證明如果(xn,yn)是(1)的一個(gè)任意解，則

(3)

由(1)，(3)式，有

(4)

由(3)，(4)式得 ，當(dāng)n≥3時(shí)，有

2.2 不變集的存在性

定理4如果(xn,yn)是(1)的一個(gè)任意解，則集合

是系統(tǒng)(1)的不變集.

證明設(shè)系統(tǒng)(1)的正解(xn,yn)滿(mǎn)足初值

由(1)式,有

且

因此

令n=m，假設(shè)

由(1)式可得

定理4證畢.

2.3 正平衡點(diǎn)的存在性和唯一性

定理5如果

(5)

證明考慮系統(tǒng)

(6)

系統(tǒng)(6)可以表達(dá)成如下形式

(7)

F(y)=y2+γ2y-α2-β2e-h(y)，

(8)

所以至少存在一個(gè)正解y∈(0,L2].

另一方面，由(5)，(7)式，有

F′(y)=2y+γ2+β2e-h(y)h′(y)=

(9)

定理5證畢.

2.4 正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理6考慮差分方程系統(tǒng)(1)，下列結(jié)論成立：

(i) 如果

(10)

(ii) 如果

(11)

λ4-(A1+B2+A2B1)λ2+A1B2=0,

(12)

則

(ii) 類(lèi)似地，可得

定理7如果

(13)

證明考慮

因?yàn)楫?dāng)?x>0時(shí)，-1+x-lnx≥0，從而Gn>0.

(14)

由(13)，(14)式，得

(15)

3 數(shù)值例子

下面給出一個(gè)例子來(lái)驗(yàn)證所得理論結(jié)果的有效性.

例子考慮系統(tǒng)(1).如果α1=48,β1=4,γ1=13,α2=68,β2=5,γ2=14，初值x-1=12,x0=10，y-1=8,y0=4,此時(shí)系統(tǒng)(1)可以寫(xiě)成如下形式

(16)

圖1 系統(tǒng)(16)的動(dòng)力學(xué)行為

4 結(jié)束語(yǔ)

論文研究二維指數(shù)型差分方程系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為, 所得主要結(jié)論如下：

(1) 系統(tǒng)(1)的每個(gè)正解都是有界持續(xù)的.

(2) 系統(tǒng)(1)的不變集為