陳 東，熊 濤

(1.成都大學 信息科學與工程學院，四川 成都 610106；2.西華師范大學 數(shù)學與信息學院，四川 南充 637002)

受以上思想的啟發(fā)，論文推廣了Gorenstein余撓模，引入Gorenstein AC-余撓模的概念，Gorenstein AC-余撓模類是介于Gorenstein余撓模類和余撓模類之間的一種模類.討論Gorenstein AC-余撓模的很多性質，如Gorenstein AC-余撓模與平坦模、Gorenstein AC-平坦模之間的關系.文獻[3]用Gorenstein余撓?？坍嬅總€R-模是Gorenstein平坦模的環(huán)類，論文相應地用Gorenstein AC-余撓?？坍嬅總€R-模是Gorenstein AC-平坦模的環(huán)類.最后討論Gorenstein AC-余撓包、Gorenstein AC-平坦蓋的存在性，同時討論每個R-模是Gorenstein AC-余撓模的條件.

為討論方便，需回顧一些相關概念：設C是R-模類且M是一個R-模.稱一個態(tài)射φ:M→C為M的C-預包(絡)，若C∈C且對每個態(tài)射g：M→C′，其中C′∈C，存在態(tài)射f：C→C′，使得g=fφ.一個C-預包(絡)φ：M→C稱為C-包(絡)，若滿足gφ=φ的自同態(tài)g：C→C均是同構.一般情況下，C-包(絡)未必存在，但若存在，則在同構意義下必唯一.

文獻[10]稱C-包(絡)φ：M→F具有唯一映射性質，如果對任意的同態(tài)f：M→F′，其中F′∈C，存在唯一的同態(tài)g：F→F′，使得gφ=f.

設H是R-模類.稱H是內射可解類，如果內射模包含在H中，并且對任意的X′∈H的正合列0→X′→X→X′′→0，X′′∈H當且僅當X∈H.

正合列0→A→B→C→0稱為純正合列，是指任意的R-模X，誘導序列0→A?X→B?X→C?X→0仍是正合列.對上述純正合列，若存在R-模M，使得0→HomR(C,M)→HomR(B,M)→HomR(A,M)→0仍是正合列，則M稱為純內射模.文獻[7]定義了任意R-模M的弱平坦維數(shù)和弱內射維數(shù)，分別記為：

論文所涉及的環(huán)均是有單位元的交換的結合環(huán)，所涉及的模均是酉模.用GFac表示Gorenstein AC平坦模類，M⊥,M+分別表示模M的右正交補和特征模HomZ(M,Q/Z).

1 主要結果

定義1稱R-模M為Gorenstein AC-余撓模，是指對任意的Gorenstein AC-平坦模G，有

注由定義1，容易看到：

(1) {Gorenstein余撓模}?{Gorenstein AC-余撓模}?{余撓模}，即Gorenstein AC-余撓模類是介于Gorenstein余撓模類與余撓模類之間的一種模類；

(2) 類似于余撓模的性質，Gorenstein AC-余撓模類是內射可解的.

以下給出Gorenstein AC-余撓模類存在的一些條件.

命題2設M是R-模，若widRM<∞，則M+是Gorenstein AC-余撓模.

命題3設M是R-模，若M是弱余撓模且wfdRM<∞，則M是Gorenstein AC-余撓模.

命題4設M是R-模，若M是純內射模且wfdRM<∞，則M是Gorenstein AC-余撓模.

以下討論Gorenstein AC-余撓模的性質.

命題5設0→A→B→C→0是正合列，若B是Gorenstein AC-余撓模，則A是Gorenstein AC-余撓模，當且僅當對任意的Gorenstein AC-平坦模G，存在正合列HomR(G,B)→HomR(G,C)→0.

命題6(1) 設M是R-模，若f：F→M是M的Gorenstein AC-平坦蓋，則F是Gorenstein AC-余撓模當且僅當M是Gorenstein AC-余撓模；

(2) 若R是關于Gorenstein AC-平坦模類擴張封閉的環(huán)，g：M→L是G的Gorenstein AC-余撓包，則L是Gorenstein AC-平坦模當且僅當M是Gorenstein AC-平坦模.

證明(1) 由于f：F→M是M的Gorenstein AC-平坦蓋，故存在正合列0→Ker(f)→F→M→0，其中Ker(f)是Gorenstein AC-余撓模.由命題5知，F(xiàn)是Gorenstein AC-余撓模當且僅當M是Gorenstein AC-余撓模.

(2) 類似(1)的證明，此略.

命題7設M是Gorenstein AC-余撓模，則M是平坦模當且僅當M是Gorenstein AC-平坦模.

文獻[5]討論了每個R-模是Gorenstein余撓模的條件.相應地，下面討論每個R-模都是Gorenstein AC-余撓模的條件,即定理1.

定理1設R是環(huán)，則以下各條等價：

(1) 每個R-模是Gorenstein AC-余撓模；

(2) 每個Gorenstein AC-平坦模是Gorenstein AC-余撓模；

(3) 每個Gorenstein AC-平坦模是投射模.

若R是關于Gorenstein AC-平坦模類擴張封閉的環(huán),則上述條件還等價于：

(4) 每個R-模具有唯一映射性質的Gorenstein AC-余撓包；

(5) 每個Gorenstein AC-平坦模具有唯一映射性質的Gorenstein AC-余撓包；

(6) 對任意的同態(tài)f：M1→M2，其中M1,M2是Gorenstein AC-余撓模，則Ker(f)也是Gorenstein AC-余撓模.

證明(1)?(2).顯然.

(3)?(1).設M是R-模，N是Gorenstein AC-平坦模.由條件知,N是投射模，故Ext′R(N,M)=0.因此，M是Gorenstein AC-余撓模.

(1)?(4)?(5)，(1)?(6).顯然.

(5)?(2).設M是Gorenstein AC-平坦模，f：M→F是M的Gorenstein AC-余撓包，于是存在正合列A:0→M→F→Cok(f)→0，其中Cok(f)是Gorenstein AC-平坦模.設g：Cok(f)→L是Cok(f)的Gorenstein AC-余撓包，考慮正合列A的交換圖

因?f=0，故g?f=0=g?0.由于f：M→F是M的具有唯一映射性質的Gorenstein AC-余撓包，故g?=0，于是有Im(?)=Cok(f)?Ker(g)=0，從而Cok(f)=0，故M=F，因此M是Gorenstein AC-余撓模.

推論1設R是完全凝聚環(huán)，且gl.dim(R)<∞，則每個R-模是Gorenstein AC-余撓模.

證明由于R是完全凝聚環(huán)，故由文獻[6]中的定義4.1和文獻[13]中的命題3.2知，{Gorenstein AC-平坦模}={Gorenstein平坦模}={Gorenstein投射模}.

另一方面，由于gl.dim(R)<∞，故由文獻[14]中的命題10.2.3知，{Gorenstein投射模}={投射模}.由定理1知，每個R-模是Gorenstein AC-余撓模.

定理2若R是關于Gorenstein AC-平坦模類擴張封閉的環(huán)，以下各條等價：

(1) 每個R-模是Gorenstein AC-平坦模；

(2) 每個Gorenstein AC-余撓模是內射模；

(3) 每個Gorenstein AC-余撓模是Gorenstein AC-平坦模；

(4) 每個R-模有Gorenstein AC-平坦的Gorenstein AC-余撓(平坦)包；

(5) 每個R-模具有唯一映射性質的Gorenstein AC-平坦蓋；

(6) 每個Gorenstein AC-余撓模具有唯一映射性質的Gorenstein AC-平坦蓋；

(7) 對任意的同態(tài)：f：M1→M2，其中M1，M2是Gorenstein AC-平坦模，則Cok(f)也是Gorenstein AC-平坦模.

證明(1)?(2)，(1)?(3)，(1)?(7) . 顯然.

(1)?(5) .設M是R-模，由假設，M是Gorenstein AC-平坦模，于是M的恒等映射1M：M→M是M的Gorenstein AC-平坦蓋，從而是唯一性質的Gorenstein AC-平坦蓋.

(5)?(6) .顯然.

(3)?(1) .設M是R-模，由文獻[6]中的命題4.8知，存在正合列0→M→C→N→0，其中C是Gorenstein AC-余撓模，N是Gorenstein AC-平坦模.由假設知，C是Gorenstein AC-平坦模.由于R是對Gorenstein AC-平坦模封閉的環(huán)，由文獻[6]中的引理4.7知，M是Gorenstein AC-平坦模.

(6)?(4).設m是R-模，且f：M→C是M的Gorenstein AC-余撓包.由題意知，存在C的唯一映射的Gorenstein AC-平坦蓋g：F→C，于是存在正合列B：0→K→F→C→0，其中K是Gorenstein AC-余撓模.由題意，又存在K的具有唯一映射性質的Gorenstein AC-平坦蓋g′：F′→K.考慮正合列B的交換圖

因gi=0，故gig′=0=0ig′.由于g：F→C是具有唯一映射性質的Gorenstein AC-平坦蓋，故ig′=0.于是有K=Im(g′)?Ker(i)=0，從而K=0，故C是Gorenstein AC-平坦模.

(7)?(1).設M是R-模，由于R是對Gorenstein AC-平坦模封閉的環(huán)，故由文獻[6]中的命題4.8知，存在M的Gorenstein AC-平坦蓋.考慮正合列C的交換圖

由于gig′=0，故存在正合列C:F′→F→M→0.由題意知，M是Gorenstein AC-平坦模.

特別地，當R是凝聚環(huán)時，有推論2.

推論2[3]設R是凝聚環(huán)，則R是FC環(huán)當且僅當每個Gorenstein余撓模是Gorenstein平坦模.