徐張凡，潘 松*，陳 雷，魯 明，吳金濤

0 引 言

近年來，航天技術(shù)的不斷發(fā)展對航天器的機動性提出了新的需求[1].由于控制力矩陀螺(CMG，Control Moment Gyroscope)的力矩放大效應，已經(jīng)作為一種有效的角動量轉(zhuǎn)換機構(gòu)廣泛應用于多國的航天器中[2-3].但是，由于轉(zhuǎn)子質(zhì)量不平衡、軸系非理想特性、驅(qū)動電機力矩脈沖等原因，使得CMG是航天器上最主要的微振動源之一[4,5].為了減小CMG振動對星體的影響，需要在CMG與航天器之間安裝隔振裝置，減小兩者之間微振動擾動的相互傳遞.從保護敏感載荷、抑制改善微振動轉(zhuǎn)播與控制隔離擾動源出發(fā)，采用理論建模與實驗驗證相結(jié)合的方法，研究CMG振動對衛(wèi)星本體的影響時當前的研究熱點.MASTERSON等[6,7]根據(jù)飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的工作原理和結(jié)構(gòu)動力學特征，建立了四自由度轉(zhuǎn)子動力學模型，在該模型中，他將部件的結(jié)構(gòu)彈性和阻尼分別等效為線彈簧和線性阻尼器，考慮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的殘余不平衡為唯一的擾動源.純解析模型的求解需要對非線性部分進行線性化，從而降低了模型的精度.所以， LIU等[8]結(jié)合了經(jīng)驗模型和解析模型兩者的優(yōu)點，將諧振擾動和寬頻擾動同時作為飛輪系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動力學模型的擾動輸入，經(jīng)過計算后得到飛輪的最終輸出，最后利用實驗測試結(jié)果對計算結(jié)果進行修正，得到了一個半解析模型[8,9].但是，采用柔性支撐后帶來的新問題，特別是對于采用改變角動量的方式提供星體姿態(tài)控制力矩的CMG，柔性支撐發(fā)生的形變會改變CMG高速轉(zhuǎn)子角動量方向，這就給CMG的坐標系帶來了附加的自由度，使得CMG的動力學行為變得復雜，從而使得控制系統(tǒng)增加新的挑戰(zhàn).

為了研究柔性隔振機構(gòu)的變形帶來角動量的方向變化導致的CMG輸出力矩的變化及其對控制系統(tǒng)的影響，本文從控制力矩陀螺的動力學模型出發(fā)，推到了柔性支撐下控制力矩陀螺的解析模型，并進行了仿真驗證.

1 相關(guān)假設與坐標系建立

本文主要研究了柔性隔振結(jié)構(gòu)對CMG動力學特性的影響，為了簡化建模，本文建立了相關(guān)假設并建立了響應的坐標系系統(tǒng).

首先提出相關(guān)簡化假設：

1)飛輪轉(zhuǎn)速波動較小，假設為恒定轉(zhuǎn)速；

2)忽略了靜不平衡量對系統(tǒng)的影響，只考慮了動不平衡量的影響；

3)飛輪與框架的支撐軸承剛度相較于隔振器較大，均假設其為剛體.

CMG動力學系統(tǒng)中涉及多部件的協(xié)同運動，需要分別建立合適的坐標系對其運動進行描述.安裝在柔性隔振機構(gòu)上的CMG結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示.

圖1 安裝有隔振結(jié)構(gòu)的CMGFig.1 The CMG with vibration isolator

(1) 建立星體坐標系Oxsyszs，該坐標系與星體和隔振機構(gòu)固連，隔振機構(gòu)所在平面為xz平面，垂直于xz平面，建立右手系為y軸.

(2) 建立底座坐標系，該坐標系與底座固連，由于隔振機構(gòu)的柔性特性，該坐標系由星體坐標系經(jīng)過三次轉(zhuǎn)動得到.三次轉(zhuǎn)動的角度分別為α，β，γ，轉(zhuǎn)動示意圖如圖2所示.

圖2 由星體坐標系到底座坐標系的轉(zhuǎn)換Fig.2 The transmission from satellites coordinate to the base coordinate

由星體坐標系向底座坐標系的轉(zhuǎn)換分為三個過程，首先星體坐標系Oxsyszs繞Oxs轉(zhuǎn)動α角度后得到坐標系Oxbybzb,坐標系Oxbybzb繞Oyb轉(zhuǎn)動β角度后得到坐標系Oxb1yb1zb1，坐標系Oxb1yb1zb1繞Ozb1轉(zhuǎn)動γ角度后得到坐標系Oxb2yb2zb2.

2 動力學模型

根據(jù)各坐標系之間的相互關(guān)系，可以求解各機構(gòu)的角速度.

假設星體靜止，框架相對與慣性系的速度為

(1)

框架相對于慣性系的速度為

(2)

動量輪相對于慣性系的速度為

(3)

由于動量輪結(jié)構(gòu)的對稱性，動量輪在高速轉(zhuǎn)子坐標系三軸方向的轉(zhuǎn)動慣量為I=diag{Ir,Ir,Ip} 式中Ir為動量輪繞直徑的轉(zhuǎn)動慣量，Ip為極慣量.

其動量矩為H=I·ωg，根據(jù)歐拉動力學方程，該動量輪在質(zhì)心產(chǎn)生的力矩為角動量的變化量，由于角動量為矢量，其變化量包含幅值大小的變化與方向的改變

(4)

式中所計算力矩為陀螺力矩在框架坐標系的表達式，其中Tgx為目標輸出力矩，Tgy與Tgz為干擾力矩，在不存在動不平衡量等影響時其幅值均為0；其中Tgy與框架旋轉(zhuǎn)方向重合，該力矩直接影響CMG框架的控制性能.底座所受力矩為

(5)

實際星體所受力矩為

(6)

式(6)中未知量為CMG振動引起的柔性隔振機構(gòu)變形導致的底座旋轉(zhuǎn)角度α，β，γ，下面建立動力學方程，對該未知量進行求解，由于CMG動力學涉及多體運動，因此使用能量法，采用拉格朗日方程建立動力學方程.

CMG系統(tǒng)的動能分為三個部分：動量輪轉(zhuǎn)動動能，框架轉(zhuǎn)動動能，底座振動動能，其表達式為

(7)

式中If與Ib分別為框架與底座的轉(zhuǎn)動慣量矩陣，其形式為If=diag{Ifx,Ify,Ifz}、Ig=diag{Igx,Igy,Igz}式中取值可由有限元計算或?qū)嶒灉y量得出，速度向量已在上一部分中給出系統(tǒng)勢能為隔振機構(gòu)彈性變形引起的彈性勢能，其表達式為

(8)

式中，q為廣義坐標向量，q=[αβγ]T，K為隔振結(jié)構(gòu)彈性剛度矩陣，其形式為K=diag{k1,k2,k3}，由于可能存在多方向的剛度耦合，該矩陣可由有限元計算獲取.

系統(tǒng)阻尼函數(shù)主要由隔振機構(gòu)的阻尼彈引起，其表達式為

(9)

由上式計算得拉格朗日函數(shù)為L=T-V，代入拉格朗日方程中

Qi為廣義力，其表達式為

(10)

Ud為動量輪動不平衡量轉(zhuǎn)動力矩,其表達式為

Ud=mdhrΩ2

(11)

式中，md為動不平衡質(zhì)量，h為飛輪厚度，r為回轉(zhuǎn)半徑.

3 仿真與實驗

基于該動力學模型，在Matlab中進行了數(shù)值仿真與分析，仿真中參數(shù)取值如表1所示，參數(shù)的取值主要由有限元計算獲得.

表1 仿真參數(shù)取值Tab.1 The values of the simulation parameters

當動量輪轉(zhuǎn)速為4000 rpm，框架轉(zhuǎn)速為10 rpm時，通過計算所得隔振機構(gòu)三軸變形角度如圖3所示.

圖3 隔振機構(gòu)形變角位移Fig.3 The angular displacement of the vibration isolator

如圖3所示，由于飛輪高速轉(zhuǎn)動與動不平衡引發(fā)的振動作用在隔振機構(gòu)上，引起隔振機構(gòu)的變形.由于該隔振結(jié)構(gòu)在x軸與z軸方向上的剛度較小為3250 N·m/rad，在y軸方向上剛度較大為32677 N·m/rad，x軸與z軸的剛度為y軸的1/10.隔振機構(gòu)在x軸與z軸上的角位移較大，其幅值為13×10-5rad，在y軸方向上的角位移幅值為1×10-5rad，在y軸上的角位移為x軸與z軸角位移的1/13.由于隔振機構(gòu)在x軸與z軸方向的振動存在相互耦合，耦合效應導致角位移比值相較于剛度比值有明顯增加.

由于隔振機構(gòu)的變形產(chǎn)生的角位移導致動量輪在原有轉(zhuǎn)動與框架轉(zhuǎn)動基礎上疊加了角速度，該角速度的存在對飛輪的力矩輸出特性產(chǎn)生的較大的影響.疊加有隔振機構(gòu)變形角位移的動量輪輸出力矩情況如圖4所示.目標輸出力矩Tgx在原有1.1 N·m力矩基礎上產(chǎn)生了幅值為0.36 N·m的力矩波動.在目標輸出力矩的基礎上，由于振動的存在導致的波動干擾力矩Tgy與Tgz的產(chǎn)生，其幅值分別為0.36 N·m與0.15 N·m.由于y軸方向上的干擾力矩產(chǎn)生后直接作用在框架轉(zhuǎn)動軸上，對框架電機的控制產(chǎn)生較大影響.

圖4 動量輪在質(zhì)心處力矩Fig.4 The torques generated by the gyro effect at the centroid

圖5 輸出力矩波動受動量輪轉(zhuǎn)速影響Fig.5 The output torques influenced by the spinning speed of the momentum wheel

圖5表示了CMG三軸輸出力矩波動與動量輪轉(zhuǎn)速的影響關(guān)系.由圖5可以看出，x軸與y軸方向上的力矩波動幅值相同.三軸方向上的力矩波動均隨轉(zhuǎn)速的增加而增加，z軸上的力矩波動增速明顯高于x軸與y軸上的力矩波動增速.重點討論影響框架轉(zhuǎn)速的y軸方向上的力矩波動情況.在3000 r/min到6000 r/min，CMG的理想輸出力矩分別為0.84 N·m，1.1 N·m，1.4 N·m與1.665 N·m，力矩波動幅值與理想輸出力矩比值為17.8%，32.7%，52.8%與95%.由于干擾力矩與轉(zhuǎn)速的平方成正比，隨著轉(zhuǎn)速的提升，干擾力矩增幅較大，導致隔振結(jié)構(gòu)的變形角位移增加，該角位移疊加于動量輪轉(zhuǎn)速上，引起的干擾力矩波動幅值有明顯增幅.該力矩波動幅值的增加，也導致了框架速度穩(wěn)定性控制難度的增加.

圖6 輸出力矩波動受隔振器剛度的影響Fig.6 The output torques influenced by the isolator stiffness

針對柔性隔振器剛度改變對系統(tǒng)的影響進行了仿真，仿真結(jié)果如圖6所示.當隔振器法向剛度從3250 N/m上升到5250 N/m時，x軸與y軸的力矩波動幅值從0.36 N·m下降至0.289 N·m，下降了0.071 N·m，z軸力矩波動幅值從0.14 N·m下降至0.068 N·m，下降了0.072 N·m.x軸與z軸的力矩波動幅值下降基本一致，力矩波動幅值的且下降過程基本保持線性.由于該力矩波動主要由隔振器變形引起，該仿真結(jié)果說明，力矩干擾分量與隔振器剛度線性相關(guān)，隨著隔振器剛度的增加而減小.

本文搭建了如圖7所示的測試系統(tǒng)，對柔性隔振器影響下的CMG輸出進行了測試分析.該系統(tǒng)采用四組壓力傳感器測量力矩輸出，使用TMS320F28335嵌入式處理器驅(qū)動CMG工作，保證飛輪轉(zhuǎn)速穩(wěn)定.

圖7 測試系統(tǒng)Fig.7 The experimental system

由于CMG框架旋轉(zhuǎn)后會輸出交變力矩，即仿真中所分析的x軸與z軸力矩存在耦合.因此，實驗中主要分析了y軸方向所產(chǎn)生的干擾力矩.當飛輪轉(zhuǎn)速為5000 r/min時，y軸方向的陀螺力矩如圖8所示.

圖8 y軸力矩Fig.8 The output torque of the CMG in y-direction

由于實驗結(jié)果中存在測試誤差等干擾因素，試驗結(jié)果與仿真結(jié)果存在一定誤差.當飛輪轉(zhuǎn)速為5000 r/min時，y軸力矩總體在-0.1 N·m至0.8 N·m之間波動，力矩波動幅值約為0.9 N·m，與仿真結(jié)果所得0.66 N·m存在0.24 N·m的誤差.

圖9 隔振器剛度調(diào)整Fig.9 The change of experimental stiffness

圖10 隔振器剛度對y軸力矩波動幅值影響Fig.10 The influence on the torque fluctuation

通過調(diào)節(jié)橡膠墊的長度調(diào)節(jié)柔性隔振器剛度，當隔振器剛度改變后，實驗測得的y軸方向力矩的波動幅值發(fā)生了改變，當橡膠墊長度從30 mm增大到55 mm時，由于系統(tǒng)總剛度減小，力矩波動幅值由0.9 N·m增大到0.931 N·m，增大了0.031 N·m，且其增大趨勢基本保持線性，與仿真中基本吻合.

4 結(jié) 論

本文分析研究了安裝了柔性隔振機構(gòu)對控制力矩陀螺內(nèi)部結(jié)構(gòu)與輸出力矩影響的反問題.首先通過歐拉角度變化分別建立了描述底座、框架與飛輪運動的坐標系，并使用能量法，通過拉格朗日方程建立了柔性支撐下控制力矩陀螺的動力學模型，針對該動力學模型，在Matlab中進行了仿真分析.通過仿真分析發(fā)現(xiàn)了柔性支撐結(jié)構(gòu)的x方向與z方向的角位移存在耦合關(guān)系，由于隔振結(jié)構(gòu)角位移的存在，導致目標輸出力矩產(chǎn)生了力矩波動，并伴隨有其他方向的干擾力矩.同時干擾力矩的幅值隨框架轉(zhuǎn)速的增大而增大，隨柔性隔振器剛度的增大而減小，且力矩幅值的變化與隔振器剛度的變化基本保持線性關(guān)系.根據(jù)本文動力學模型，可以在框架伺服控制系統(tǒng)中設計相應的補償環(huán)節(jié)，對干擾力矩造成的框架轉(zhuǎn)速.