劉 暢，王 昊*，楊 帆，金仲和

0 引 言

當(dāng)前空間技術(shù)的發(fā)展對(duì)衛(wèi)星的機(jī)動(dòng)能力提出了一定的要求.以反作用飛輪和偏置動(dòng)量輪為主要姿態(tài)控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)的微小衛(wèi)星機(jī)動(dòng)能力較差.新一代小型敏捷衛(wèi)星成為了微小衛(wèi)星的研制方向，這就對(duì)姿態(tài)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的快速大角度機(jī)動(dòng)能力提出了要求.相比動(dòng)量輪，單框架控制力矩陀螺(single gimbal control moment gyroscope，SGCMG)的響應(yīng)更快，輸出力矩更大，是敏捷衛(wèi)星首選的執(zhí)行機(jī)構(gòu)[1].

雖然SGCMG有諸多優(yōu)良的性能，但是由于構(gòu)型奇異問(wèn)題的存在，SGCMG會(huì)在某些方向和位置無(wú)法改變角動(dòng)量的大小或方向，失去三軸姿態(tài)控制的能力.如何設(shè)計(jì)規(guī)避奇異的操縱率是國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者重點(diǎn)研究的問(wèn)題.傳統(tǒng)操縱率的設(shè)計(jì)實(shí)質(zhì)就是根據(jù)姿態(tài)確定和力矩解算結(jié)果將控制力矩分配到SGCMG系統(tǒng)中的各個(gè)單元上，最終計(jì)算出各框架轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度.偽逆操縱率是最為經(jīng)典的操縱率，奇異魯棒操縱率以及考慮空轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的操縱率都是基于偽逆操縱率的改進(jìn)和優(yōu)化[2-3].

以上SGCMG操縱率的設(shè)計(jì)是在期望力矩已知的條件下進(jìn)行框架角解算.實(shí)際上操縱率的設(shè)計(jì)和姿態(tài)控制系統(tǒng)中的其他組成部分不是完全解耦的，而要受到諸如硬件資源、空間環(huán)境等因素的限制和約束.采用SGCMG的小型敏捷衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的框圖如圖1所示.

圖1 采用SGCMG的星體姿態(tài)控制系統(tǒng)框圖Fig.1 Block diagram of satellite attitude control system with SGCMG

星體的姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)目標(biāo)通常是從一個(gè)位置快速機(jī)動(dòng)到另一個(gè)位置，并保證機(jī)動(dòng)過(guò)程中星體姿態(tài)變化平穩(wěn)，不會(huì)失控.軌跡規(guī)劃是從動(dòng)態(tài)控制的角度規(guī)劃出星體合理的機(jī)動(dòng)路徑，同時(shí)能夠有效地規(guī)避奇異并保證姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)的完成[4-7].

軌跡規(guī)劃問(wèn)題可以定義為帶有路徑約束和條件約束的最優(yōu)控制問(wèn)題，求解方法分為間接法，直接法以及其他動(dòng)態(tài)規(guī)劃法.間接法基于Pontryagin提出的極小值原理，根據(jù)最優(yōu)性的一階梯度條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為邊值問(wèn)題進(jìn)行求解.間接法雖然可以得到非常精確的解，但是存在求解復(fù)雜，計(jì)算繁瑣以及難于求解含不等式約束的最優(yōu)控制問(wèn)題[8]等限制.直接法的主要思想是通過(guò)離散化參數(shù)，將最優(yōu)控制從無(wú)限維的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成有限維的非線性規(guī)劃(nonlinear programming，NPL)問(wèn)題，利用數(shù)值解找到問(wèn)題的最優(yōu)近似.直接法有收斂半徑大、初值敏感度低等優(yōu)點(diǎn)，是目前最優(yōu)控制問(wèn)題的主流數(shù)值方法.

直接法主要有兩類：控制變量參數(shù)化(control variable parameterization，CVP)方法和正交配置(orthogonal collocation，OC)方法.CVP方法的思想是將控制變量進(jìn)行離散化，OC方法在離散化控制變量的同時(shí)又離散化狀態(tài)變量.文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]采用基于OC的高斯偽譜法，對(duì)航天器機(jī)動(dòng)過(guò)程的參數(shù)進(jìn)行軌跡規(guī)劃.然而OC方法將最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)規(guī)模很大的NLP問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜且對(duì)控制器的運(yùn)算處理能力有很高的要求，因此不適用于資源受限的小型敏捷衛(wèi)星.CVP方法獲得的狀態(tài)軌跡往往比OC方法更為精確，而且轉(zhuǎn)化得到的NLP問(wèn)題規(guī)模比OC方法得到的要小，不會(huì)給求解器帶來(lái)太大的困難.

文獻(xiàn)[6]將平坦微分理論用于軌跡規(guī)劃，可以實(shí)現(xiàn)無(wú)奇異的姿態(tài)跟蹤控制；文獻(xiàn)[7]設(shè)計(jì)了一種σ姿態(tài)角速度參數(shù)法，可以在圓錐面上實(shí)現(xiàn)SGCMG無(wú)奇異的姿態(tài)角速度軌跡規(guī)劃.這些研究都是可以實(shí)現(xiàn)奇異規(guī)避的有效軌跡規(guī)劃，但是并沒(méi)有考慮SGCMG框架角速度軌跡對(duì)框架驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)帶來(lái)的影響.復(fù)雜的框架角速度軌跡要求框架驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)復(fù)雜的速度控制，最終符合框架角速度軌跡.這將導(dǎo)致框架系統(tǒng)的速度控制算法占用大量的控制器計(jì)算資源.傳統(tǒng)大衛(wèi)星上往往有足夠的計(jì)算資源，而小型敏捷衛(wèi)星的計(jì)算資源則十分有限.

本文針對(duì)小型敏捷衛(wèi)星算力有限的特點(diǎn)，結(jié)合CVP方法可以離散控制變量的優(yōu)勢(shì)設(shè)計(jì)了一種用于SGCMG的奇異規(guī)避軌跡規(guī)劃，可以滿足小型敏捷衛(wèi)星大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)的任務(wù)要求.求解的框架角速度分段線性最優(yōu)控制軌跡簡(jiǎn)化了框架驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的算法設(shè)計(jì)復(fù)雜度.

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

常用的姿態(tài)參數(shù)有方向余弦、歐拉角和四元數(shù)等.四元數(shù)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程沒(méi)有復(fù)雜的三角函數(shù)運(yùn)算，比歐拉角求解簡(jiǎn)單，非常適合建立控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程.四元數(shù)與采用“3-1-2”轉(zhuǎn)序的歐拉角之間的關(guān)系以及四元數(shù)描述的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程分別為：

(2)

式(1)中，θ，φ，ψ分別為俯仰角，滾動(dòng)角和偏航角，式(2)中，ωx，ωy，ωz分別為星體相對(duì)于慣性空間的角速度在慣性坐標(biāo)系上的投影分量.

1.2 姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程

帶有控制力矩陀螺的星體姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程為：

(3)

式中，H為整個(gè)星體的角動(dòng)量，ω為航天器角速度矢量，M為合外干擾力矩，包括太陽(yáng)光壓、重力梯度力矩等.

星體的總角動(dòng)量H由兩部分構(gòu)成，分別是星體轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的角動(dòng)量Iω和控制力矩陀螺相對(duì)星體產(chǎn)生的角動(dòng)量h，其中I是星體的慣性矩陣，于是H可表示為：

H=Iω+h

(4)

將式(4)代入到式(3)，可得：

(5)

假設(shè)星體的本體坐標(biāo)系為主軸坐標(biāo)系，將式(5)改寫(xiě)成三軸投影分量的形式：

(6)

1.3 SGCMG構(gòu)型奇異分析

用T表示SGCMG產(chǎn)生的總力矩，將式(5)改寫(xiě)為：

(7)

圖2 金字塔構(gòu)型的SGCMG系統(tǒng)Fig.2 Pyramid configuration SGCMG system

金字塔構(gòu)型的SGCMG系統(tǒng)的總角動(dòng)量為：

(8)

式中，h0為單元SGCMG的角動(dòng)量值；β為單元SGCMG的安裝傾角，a=cosβ，b=sinβ；δi(i=1,2,3,4)為各個(gè)單元SGCMG框架轉(zhuǎn)動(dòng)的角度.圖3是安裝傾角β=53.14°的金字塔構(gòu)型在空間的角動(dòng)量包絡(luò).角動(dòng)量包絡(luò)用于表征系統(tǒng)控制的容量.

圖3 金字塔構(gòu)型的SGCMG系統(tǒng)角動(dòng)量包絡(luò)Fig.3 Angular momentum envelope surface of pyramid configuration

由式(7)可知，角動(dòng)量的變化率就是SGCMG產(chǎn)生的負(fù)向控制力矩：

(9)

(10)

由于構(gòu)型原理，SGCMG的角動(dòng)量限制在框架轉(zhuǎn)軸的垂直平面內(nèi)，輸出的控制力矩則局限在框架平面的法線上.奇異問(wèn)題是指陀螺群在某些條件下失去了三維控制能力，無(wú)法產(chǎn)生期望的控制力矩.假設(shè)陀螺群在某一特定的框架角組合條件下，各個(gè)SGCMG的角動(dòng)量hi互相平行，則無(wú)法在該平行方向輸出控制力矩；如果陀螺群的力矩輸出軸共面，則陀螺群的控制力矩僅限于該平面[9].

令單位矢量σ滿足：

C·σ=0

(11)

此時(shí)

(12)

控制力矩方向和單位矢量σ方向垂直，SGCMG無(wú)法沿單位矢量做出任何改變，不能產(chǎn)生σ方向的控制力矩.

由于σ是非零向量，因此rank(C)<3，雅可比矩陣降秩，此時(shí)奇異度量值D=det(CCT)=0.

SGCMG在執(zhí)行姿態(tài)控制任務(wù)時(shí)，需要根據(jù)當(dāng)前的框架角判斷系統(tǒng)的奇異情況.在設(shè)計(jì)SGCMG控制算法時(shí)，需要保證奇異度量值滿足：

D=det(CCT)>0

(13)

2 控制變量參數(shù)化算法

2.1 最優(yōu)控制問(wèn)題

混合型指標(biāo)最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)學(xué)形式如下[10]：

(14a)

Gi[u(t),x(t),t]≤0,i=1,2,…,m

(14c)

x(t0)=x0

(14d)

g(tf)=0

(14e)

t∈[t0,tf]

(14f)

式中，J是控制過(guò)程的性能指標(biāo)函數(shù)，其中Φ和L分別是終值型和積分型性能指標(biāo)，x(t)和u(t)分別是控制系統(tǒng)的狀態(tài)向量和控制向量，控制過(guò)程起始時(shí)刻和終端時(shí)刻分別是t0和tf.最優(yōu)控制問(wèn)題可以簡(jiǎn)單描述為：已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程(14b)以及給定的始端條件(14d)和終端目標(biāo)(14e)，在容許的控制以及路徑約束(14c)中，尋找最優(yōu)控制策略u(píng)*(t)，使得性能指標(biāo)函數(shù)(14a)最小.

2.2 CVP方法原理

由于時(shí)間變量t的連續(xù)性，式(14)是一個(gè)無(wú)限維的最優(yōu)化問(wèn)題.CVP方法通過(guò)均勻離散化控制向量u(t)，將無(wú)限維的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成有限維問(wèn)題的最優(yōu)近似.CVP方法的基本原理[11-12]是：將控制過(guò)程的時(shí)域空間t∈[t0,tf]均勻分成N份，則時(shí)域空間被分成有限個(gè)數(shù)的時(shí)域子集[tk-1,tk],k=1,2,…,N，這些時(shí)域子集的始端和終端滿足以下條件：

t0

(15)

由于時(shí)域空間采用均勻分割法，于是在已知N的條件下，各時(shí)間節(jié)點(diǎn)也是固定值.

已知n維的控制向量u(t)為：

u(t)=[u1(t),…,ui-1(t)ui(t)ui+1(t),…,un(t)]T

(16)

式中u(t)的第i個(gè)控制變量ui(t)可由分割后的時(shí)域子集表示為：

(17)

(18)

(19)

圖4 CVP的分段常量和分段線性逼近示例Fig.4 Illustration of constant and linear spline control with CVP

在SGCMG的軌跡規(guī)劃中，將控制向量u(t)設(shè)定為框架角速度，由框架驅(qū)動(dòng)電機(jī)產(chǎn)生.由于CVP方法對(duì)框架角速度進(jìn)行了分段規(guī)劃，因此框架驅(qū)動(dòng)電機(jī)無(wú)需設(shè)計(jì)復(fù)雜的速度控制算法[13].本文采用分段線性逼近策略將框架角速度進(jìn)行分段參數(shù)化，相應(yīng)的框架驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)僅僅需要設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的恒定加減速算法即可滿足驅(qū)動(dòng)要求.與分段常量策略相比，電機(jī)轉(zhuǎn)速?zèng)]有階躍突變，系統(tǒng)運(yùn)行平穩(wěn)，與分段多項(xiàng)式策略相比，減少了復(fù)雜速度控制算法設(shè)計(jì)帶來(lái)的資源成本，節(jié)省了小型敏捷衛(wèi)星有限的運(yùn)算處理資源.

采用分段線性逼近策略的CVP方法，控制變量可以表示為：

(20)

式中，vk(t)=akt+bk是對(duì)控制變量的線性近似，為時(shí)間的一次函數(shù)，同時(shí)滿足以下條件：

aktk+bk=a(k+1)tk+bk+1,k=1,2,…,N-1

(21)

定義的控制參數(shù)向量γm為:

γm=[v1(t)v2(t)…vN(t)]T,m=1,2,…,N

(22)

則控制變量ui(t)可以由式(22)近似表示，因此控制變量u(t)，可近似表示為：

(23)

將式(23)代入式(14)，于是最優(yōu)控制問(wèn)題成為了一個(gè)最優(yōu)參數(shù)選擇問(wèn)題[14-15]，可以采用成熟的NLP算法例如interior-point法、SQP法等進(jìn)行求解.

2.3 基于CVP方法的軌跡規(guī)劃

對(duì)采用SGCMG作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的星體進(jìn)行狀態(tài)空間法分析.取狀態(tài)向量x為：

x=[δ1δ2δ3δ4q0q1q2q3ωxωyωz]T

(24)

輸入向量u為：

(25)

狀態(tài)方程可以由式(2)、式(6)和式(25)表示.為了確保SGCMG能規(guī)避奇異，選取式(13)為路徑約束條件，同時(shí)也對(duì)狀態(tài)向量和輸入向量加入其他的硬件約束條件.性能優(yōu)化指標(biāo)綜合考慮能量資源和機(jī)動(dòng)姿態(tài)的目標(biāo)精確度，取性能指標(biāo)J為：

(26)

式中qjt,qjx,j=1,2,3,4分別為終端狀態(tài)的四元數(shù)和目標(biāo)狀態(tài)的四元數(shù)，ρ∈[0,1]為權(quán)重系數(shù)，根據(jù)實(shí)際機(jī)動(dòng)任務(wù)對(duì)能量和精度的具體要求確定.

本文運(yùn)用的CVP方法對(duì)SGCMG軌跡進(jìn)行求解，算法步驟如下：

步驟1根據(jù)機(jī)動(dòng)任務(wù)需求設(shè)置權(quán)重系數(shù)ρ，誤差容限ρ，區(qū)間分割數(shù)N；

步驟2輸入始端條件x(0)，終端條件qjx,j=1,2,3,4，初始分段控制參數(shù)u(1)，分段序列k=1;

步驟3求解由式(2)，(6)和(24)構(gòu)成的狀態(tài)方程，即帶有初值的一階常微分方程組，從而得到xk(t)，和J[u(k)]的值；

步驟4根據(jù)得到xk(t)及終端條件，判斷誤差是否滿足，如果滿足則停止算法并將u(k)作為最優(yōu)控制、J[u(k)]作為最優(yōu)性能指標(biāo)進(jìn)行輸出；如果不滿足，進(jìn)入步驟5；

步驟5考慮式(13)以及其他約束條件，求解式(25)的NLP問(wèn)題，得到新的迭代控制參數(shù)u(k+1),于是設(shè)定u(k)=u(k+1)，k=k+1，回到步驟3.本文使用的是SQP法對(duì)NLP求解.

3 仿真分析

采用本體坐標(biāo)系為星體的主慣量軸，仿真方法以及參數(shù)設(shè)定參考文獻(xiàn)[5]，仿真參數(shù)如表1所示.

表1 仿真采用的相關(guān)星體參數(shù)Tab.1 Satellite parameters used in the simulation

模擬星體實(shí)現(xiàn)俯仰軸60°的機(jī)動(dòng)任務(wù)，機(jī)動(dòng)任務(wù)參數(shù)如表2所示.

表2 機(jī)動(dòng)任務(wù)參數(shù)設(shè)置Tab.2 Maneuver mission parameter configuration

軌跡規(guī)劃算法中，設(shè)置權(quán)重系數(shù)ρ=0.5，由于區(qū)間分割數(shù)越多，NLP問(wèn)題的維數(shù)就越大，求解難度和計(jì)算成本就會(huì)隨之提升，這里在保證機(jī)動(dòng)目標(biāo)達(dá)成度符合一定精度的前提下，盡可能地降低運(yùn)算復(fù)雜度，選擇了區(qū)間分割數(shù)N=5.為了有效規(guī)避奇異，設(shè)置奇異度量函數(shù)D≥0.2.加入干擾力矩為：

τd=[2,-3.5,7.6]sin(0.0015t+1)×10-6N·m

仿真結(jié)果如圖5-7所示.

圖5 姿態(tài)四元數(shù)和星體角速度最優(yōu)軌跡Fig.5 Optimal trajectory of quaternion and satellite angular rates

圖6 框架角速度最優(yōu)軌跡Fig.6 Optimal trajectory of gimbal angular rates

圖7 框架角最優(yōu)軌跡和奇異度量值變化曲線Fig.7 Optimal trajectory of gimbal angle and singularity parameter versus time

將仿真結(jié)果與其他軌跡規(guī)劃方法對(duì)比：文獻(xiàn)[6]得到的姿態(tài)軌跡存在抖振現(xiàn)象，這就導(dǎo)致星體運(yùn)行過(guò)程的不穩(wěn)定，甚至造成星體的姿態(tài)失控.而本文圖5所示的姿態(tài)四元數(shù)軌跡和姿態(tài)角速度軌跡變化平緩，表明星體姿態(tài)在機(jī)動(dòng)過(guò)程中沒(méi)有大幅度的變化，運(yùn)行穩(wěn)定；文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]都是基于高斯偽譜法的軌跡規(guī)劃，姿態(tài)參數(shù)雖然較為平緩，但是框架角速度軌跡非常復(fù)雜，這就對(duì)框架系統(tǒng)的速度控制算法提出了很高的要求.圖6是本文算法規(guī)劃的框架角速度軌跡.符合預(yù)期的分段線性控制方式，同時(shí)角速度的大小滿足設(shè)定的約束條件.采用本文算法的SGCMG系統(tǒng)，框架驅(qū)動(dòng)控制僅僅使用簡(jiǎn)單的恒定加減速算法即可滿足機(jī)動(dòng)任務(wù)的要求，有效地節(jié)省了星上計(jì)算資源.

姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程的奇異度量如圖7(b)所示，軌跡全程實(shí)現(xiàn)了奇異規(guī)避.目標(biāo)誤差數(shù)據(jù)如表3所示.終端角速度和終端姿態(tài)誤差都在1×10-3量級(jí)，較為精準(zhǔn)地完成了機(jī)動(dòng)任務(wù).

表3 姿態(tài)機(jī)動(dòng)目標(biāo)誤差Tab.3 Target error of attitude maneuvering

4 結(jié) 論

在小型敏捷衛(wèi)星的姿態(tài)控制中，往往要求利用有限的資源精確地進(jìn)行大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng).本文針對(duì)這一特點(diǎn)，從星體姿態(tài)控制系統(tǒng)總體出發(fā)，設(shè)計(jì)了一種SGCMG軌跡規(guī)劃算法.該算法既可以滿足小型敏捷衛(wèi)星無(wú)奇異大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)的任務(wù)要求，又利用CVP分段線性最優(yōu)控制的特點(diǎn)簡(jiǎn)化了框架驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)復(fù)雜度，節(jié)約了星上資源.該算法考慮了工程實(shí)際中的約束條件，仿真實(shí)驗(yàn)表明該算法可以按照姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)要求規(guī)劃出一條綜合考慮星上資源和目標(biāo)精度的最優(yōu)軌跡；機(jī)動(dòng)誤差在1×10-3量級(jí)；框架角速度軌跡為分段線性形式；姿態(tài)四元數(shù)軌跡和角速度軌跡變化平緩，星體在機(jī)動(dòng)過(guò)程中運(yùn)行穩(wěn)定.然而本文提出的算法仍處于理論和仿真階段，硬件系統(tǒng)的驗(yàn)證是本文的后續(xù)工作.