王 文，齊繼兵，余 靜

(合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

1 前言

2 由顯函數(shù)和隱函數(shù)所確定的曲面上點(diǎn)的分類條件

曲面上的點(diǎn)可根據(jù)它的Dupin指標(biāo)線分為四類：橢圓點(diǎn)、雙曲點(diǎn)、拋物點(diǎn)和平點(diǎn)。由該點(diǎn)處的第二類基本量間的關(guān)系給出四類點(diǎn)的判定條件，如下：

引理1[1]設(shè)P曲面S上任一點(diǎn)，則

(1)若LN-M2>0，則該點(diǎn)為曲面的橢圓點(diǎn)；

(2)若LN-M2<0，則該點(diǎn)為曲面的雙曲點(diǎn)；

(3)若LN-M2=0，則該點(diǎn)為曲面的拋物點(diǎn)；

(4)若L=N=M=0，則該點(diǎn)為曲面的平點(diǎn)，此時(shí)Dupin指標(biāo)線不存在.

(1)若detD(P)>0，則P點(diǎn)是橢圓點(diǎn)；

(2)若detD(P)<0，則P點(diǎn)是雙曲點(diǎn)；

(3)若detD(P)=0，則P點(diǎn)是拋物點(diǎn)；

(4)若矩陣D(P)為零矩陣，則P點(diǎn)是平點(diǎn)。

由第一類基本量的計(jì)算公式可得

E=1+a2,F=ab,G=1+b2

(1)

另外，曲面S的法向量為

再由曲面的第二類基本量的計(jì)算公式可得

(2)

所以

(3)

再根據(jù)引理1即可得結(jié)論成立。

(1)若detM(P)>0，則P點(diǎn)是橢圓點(diǎn)；

(2)若detM(P)<0，則P點(diǎn)是雙曲點(diǎn)；

(3)若detM(P)=0，則P點(diǎn)是拋物點(diǎn)；

(4)若R1=R2=R2=0，則P點(diǎn)是平點(diǎn)。

根據(jù)《數(shù)學(xué)分析》[2]中隱函數(shù)求導(dǎo)法則，可得

(4)

再對(duì)方程(4)式兩邊分別對(duì)x和y求偏導(dǎo)數(shù)，并由混合偏導(dǎo)數(shù)相等，得

Fxy+Fxzfy+Fyzfx+Fzzfxfy+Fzfxy=0,

再由(2)可得第二類基本量為

所以

(5)

下面證明

(6)

事實(shí)上，

因此，(6)式成立。再由(5)和(6)即可得結(jié)論成立。

3 可展曲面的充要條件

引理2[1]一個(gè)曲面是可展曲面的充分必要條件是它的高斯曲率為零。

由高斯曲率計(jì)算公式 和(3)得

再由引理2即可得證。

證明：由公式(5)，(6)以及高斯曲率計(jì)算公式可得

結(jié)合引理2可得K=0?detM(P)=0。因此定理得證。