陳 志，江治杰

(四川輕化工大學數學與統(tǒng)計學院，自貢 643000)

1 引 言

設D={z∈C:|z|<1}是復平面C中的開單位圓盤，H(D)是D上的解析函數集合.設φ是D到自身的解析映射，u∈H(D)，則由φ和u誘導的加權復合算子Wφ,u定義為

Wφ,uf(z)=u(z)f(φ(z))，z∈D，f∈H(D).

如果u≡1，那么Wφ,u變?yōu)閺秃纤阕樱ǔＳ洖镃φ. 如果φ(z)=z，那么Wφ,u為解析乘法算子，通常記為Mu. 顯然，Wφ,u=MuCφ，從而加權復合算子是乘積算子. 對于加權復合算子Wφ,u，人們?？紤]的問題是如何通過φ和u的函數性質來刻畫其有界性或者緊致性[1-8].

設n∈Ν0=Ν∪{0}. 眾所周知，n階微分算子定義為

Rnf(z)=f(n)(z)，z∈D，f∈H(D),

其中f(0)=f. 當n=1時，我們得到微分算子R. 文獻[9]最先對乘積算子RCφ和CφR進行了研究. 此后人們又對它們進行了系統(tǒng)研究[10-13]. 目前，多種類型的乘積算子已引起了人們的廣泛研究興趣[14-23].

由乘法算子、復合算子和n階微分算子可以定義如下六個乘積算子

RnMuCφ，RnCφMu，CφRnMu，MuRnCφ，

MuCφRn，CφMuRn

(1)

設Ψ是[0,+∞)上的嚴格單調遞增凸函數，且滿足Ψ(0)=0. 我們稱f屬于Bloch-Orlicz空間ΒΨ，如果存在某個依賴于f的正數λ，使得

該定義由Ramos Fernández在文獻[5]中引入，其還證明了ΒΨ等距于μΨ-Bloch空間，其中

因此，在范數

下，ΒΨ是Banach空間.值得注意的是，ΒΨ推廣了其它一些解析函數空間. 例如，如果Ψ(t)=tp(p>0)，ΒΨ是加權Bloch空間Βα，其中α=1/p；如果Ψ(t)=tlog(1+t)，ΒΨ則是Log-Bloch空間[29].

設X和Y是Banach空間. 稱線性算子L:X→Y是有界的，如果存在正數K，使得

‖Lf‖Y≤K‖f‖X,f∈X.

進一步，稱算子L:X→Y是緊致的，如果L把X中的有界集映射為Y中的相對緊致集.

文中我們約定

字母C代表正常數，且在不同情形下可以不同. 記號ab表示存在正常數C，使得a≤Cb.

2 主要引理

下面的引理刻畫乘積型算子的緊致性，證明參見文獻[30,命題3.11].

為了在加權Bergman空間中構造測試函數，對任意取定的w∈D，i∈Ν0，令

(2)

在下面的結果中，通過kw,i的線性組合，我們得到了需要的測試函數.

引理2.3設w∈D，n∈Ν.則對每一個固定的k∈{0,1,…,n+1}都存在常數a0,k，a1,k,…,an+1,k，使得函數

滿足

(3)

其中j∈{0,1,…,n+1}{k}，且

(4)

證明 記a=(2α+4)/p. 我們首先證明該引理對k=0成立. 此時系統(tǒng)(3)等價于

(5)

其次，我們證明該引理對k≠0的情形也成立. 此時，系統(tǒng)3等價于

(6)

注1不難看到，當|w|→1時，{fw,k}在D的每個緊致子集上一致收斂到零.

(f°φ)(n)(z)=

(7)

其中Bn,k(x1,…,xn-k+1)是Bell多項式. 由(7)式和萊布尼茲公式，我們得到下面的結果.

引理2.4設f,u∈H(D),φ是D上的解析自映射，則

(u(z)f(φ(z)))(n+1)=

…,φ(j-k+1)(z)).

3 乘積型算子的有界性

定理3.1設α>-1，p≥1，u∈H(D),φ是D的解析自映射.下列陳述等價：

(ii) 對每個k∈{0,1,…,n+1}，函數u，φ滿足下列條件：

C‖RnMuCφ‖

(8)

φ(j-l+1)(z))|≤C‖RnMuCφ‖

(9)

(10)

由式(10)，三角不等式及φ(z)的有界性，再注意到

的系數是獨立于z的，我們得到

φ(j-k+1)(z))|≤C‖RnMuCφ‖

(11)

由數學歸納法，對每個k∈{0,1,…,n+1}，(11)式成立.

令w∈D，k∈{0,1,…,n+1}. 由引理2.3知，存在常數a0,k,a1,k,…,an+1,k，使得函數

滿足

(12)

其中j∈{0,1,…,n+1}{k}，且

(13)

‖RnMuCφfφ(w),k‖ΒΨ≤C‖RnMuCφ‖

(14)

(15)

另一方面，由(11)式可得

(16)

故對每個k∈{0,1,…,n+1}，由(15)和(16)式可得Ik<∞.

(17)

顯然，

(18)

由RnCφMu=RnMu°φCφ，利用定理3.1和Faà di Bruno公式(7)可得到

推論3.2設α>-1，p≥1，u∈H(D),φ是D的解析自映射.下列陳述等價：

(ii) 對每個k∈{ 0,1,…,n+1}，函數u，φ滿足下列條件：

注意到

(CφRnMuf)′(z)=

我們獲得下面的結果.

定理3.3設α>-1，p≥1，u∈H(D),φ是D的解析自映射.下列陳述等價：

(ii) 對每個k∈{0,1,…,n+1}，函數u，φ滿足

通過計算可得

[u′(z)Bn,k(φ′(z),…,φ(n-k+1)(z))+

u(z)Bn+1,k(φ′(z),…,φ(n-k+2)(z))]+

u(z)(φ′(z))n+1f(n+1)(φ(z)),

因而我們有如下結果.

定理3.4設α>-1，p≥1，u∈H(D),φ是D的解析自映射.下列陳述等價：

(ii) 對每個k∈{0,1,…,n+1}，函數u，φ滿足

以及

由(MuCφRnf)′(z)=u′(z)f(n)(φ(z))+u(z)φ′(z)f(n+1)(φ(z))，我們還有下面的結果.

定理3.5設α>-1，p≥1，u∈H(D),φ是D的解析自映射.下列陳述等價：

(ii) 函數u，φ滿足

以及

注意到CφMuRn=Mu°φCφRn，故由定理3.4可得

推論3.6設α>-1，p≥1，u∈H(D)，φ是D的解析自映射.下列陳述等價：

(ii) 函數u，φ滿足：

以及

定理4.1設α>-1，p≥1，u∈H(D)，φ是D的解析自映射.下列陳述等價：

(ii) 對每個k∈{0,1,…,n+1}，函數u和φ滿足Lk<∞，并且

(18)

(19)

(20)

其中j∈{0,1,…,n+1}{k}.因此，由引理2.1，有

(21)

從而對每個k∈{0,1,…,n+1}，我們得到

(22)

(23)

其中k∈{0,1,…,n+1}. 由Lk<∞，以及式(23)，我們有

(24)

Bj,k(φ′(z),…,φ(j-k+1)(z))|≤

(24)

(25)

顯然

(26)

故

由定理3.1中Lk的定義以及RnCφMu=RnMu°φCφ可得如下推論.

推論4.2設α>-1，p≥1，u∈H(D),φ是D的解析自映射.下列陳述等價：

(ii) 對每個k∈{0,1,…,n+1}，函數u和φ滿足

且

(27)

接下來的幾個定理可類似定理4.1給出證明，這里統(tǒng)一省略.

定理4.3設α>-1，p≥1，u∈H(D),φ是D的解析自映射.下列陳述等價：

(ii) 對每個k∈{0,1,…,n+1}，函數u和φ滿足

以及

定理4.4設α>-1,p≥1,u∈H(D),φ是D的解析自映射.下列陳述等價：

(ii) 對每個k∈{0,1,…,n+1}，函數u和φ滿足

以及

定理4.5設α>-1，p≥1，u∈H(D),φ是D的解析自映射.下列陳述等價：

(ii) 函數u和φ滿足u∈ΒΨ,

以及

推論4.6設α>-1,p≥1,u∈H(D),φ是D的解析自映射.下列陳述等價：

(ii) 函數u和φ滿足u∈ΒΨ,

以及