王成強(qiáng)

(成都師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,四川 成都 611130)

引言

高考數(shù)學(xué)在考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念、性質(zhì)、公式掌握水平的同時(shí),注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力[1,2]。圓錐曲線理論是高中階段的數(shù)學(xué)的教學(xué)重難點(diǎn),它所涉及的問(wèn)題形式豐富、問(wèn)題設(shè)置視角靈活多變,學(xué)好該部分理論要求學(xué)生具有較高的空間想象能力、抽象思維能力、邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化化歸能力與科學(xué)計(jì)算能力,因此,每一年的高考數(shù)學(xué)都設(shè)置關(guān)于圓錐曲線理論的考點(diǎn),且該考點(diǎn)所占分值穩(wěn)定。幾何變量的最值問(wèn)題(或幾何量取值范圍問(wèn)題)是近幾年的高考熱點(diǎn)之一,據(jù)筆者觀察,該類(lèi)問(wèn)題以圓錐曲線知識(shí)模塊、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)模塊、不等式知識(shí)模塊等為背景,求解思路來(lái)源于書(shū)本但遠(yuǎn)超出書(shū)本,能力立意突出,具有很高的研究?jī)r(jià)值。2019年高考數(shù)學(xué)浙江卷第21題(第(ii)問(wèn),更準(zhǔn)確地說(shuō))是典型的幾何最值問(wèn)題,其內(nèi)容完整表述如下:

圖1 拋物線y2=2px,S△AFG,S△CQG位置關(guān)系示意圖

一、用不同的幾何變量求解問(wèn)題(*)第(ii)問(wèn)

(一)利用點(diǎn)G的橫坐標(biāo)求幾何最值

經(jīng)計(jì)算,有

且

于是,當(dāng)t∈(1,2)時(shí),H′(t)>0;當(dāng)t∈(2,+∞)時(shí),H′(t)<0。由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系[3,4]可知,H(t)在區(qū)間(1,2)上嚴(yán)格遞減,在區(qū)間(2,+∞)上嚴(yán)格遞增,且在點(diǎn)t=2處取得最小值。即當(dāng)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2,0)時(shí),

(二)利用直線AB的斜率求幾何最值

令直線AB的斜率為t。經(jīng)計(jì)算,有

經(jīng)計(jì)算,有

與小節(jié)1.1一樣,可計(jì)算得出點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2,0)。

(三)利用點(diǎn)A的橫坐標(biāo)求幾何最值

與小節(jié)1.1及1.2一樣,可計(jì)算得出點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2,0)。

注2 (a)小節(jié)1.3中的想法源自于官方參考答案,官方參考答案是利用均值不等式求出J(t)在區(qū)間(2,+∞)上的最小值:

(b)小節(jié)1.3中的想法的優(yōu)點(diǎn)是新引入的幾何變量(點(diǎn)A的橫坐標(biāo))與幾何變量S△AFG/S△CQG之間的函數(shù)關(guān)系式最簡(jiǎn)潔,其缺點(diǎn)是,與小節(jié)1.2類(lèi)似,都不是直接求出點(diǎn)G的坐標(biāo)。

(c)小節(jié)1.1的想法直指問(wèn)題本身,第(ii)問(wèn)要求點(diǎn)G的坐標(biāo),那就引入點(diǎn)G的橫坐標(biāo)作為自變量,在求得S△AFG/S△CQG的最小值的同時(shí),直接求出的就是點(diǎn)G的坐標(biāo),小節(jié)1.1的想法在解答很多數(shù)學(xué)問(wèn)題中有重要應(yīng)用。

二、結(jié)語(yǔ)

本文分別以點(diǎn)G的橫坐標(biāo)、直線AB的斜率、點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為自變量給出了問(wèn)題(*)(即2019年高考數(shù)學(xué)浙江卷21題)第(ii)問(wèn)的解答。除了前述三種引入新幾何量的方法,還可引入點(diǎn)B的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)、點(diǎn)C的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)、點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)、直線AC的斜率、直線BC的斜率、直線AG的斜率或直線CG的斜率等幾何量完成對(duì)第(ii)問(wèn)的解答,基于這些想法的過(guò)程與本文的解答過(guò)程類(lèi)似,故過(guò)程從略。本文的思路是以S△AFG/S△CQG作因變量,引進(jìn)新的幾何量作為自變量,建立兩者之間的函數(shù)關(guān)系,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷此函數(shù)的單調(diào)性并進(jìn)而求出其最值。該最值就是問(wèn)題關(guān)注的幾何量的最值。本文用到的思路在幾何最值問(wèn)題有廣泛應(yīng)用性。從研究過(guò)程獲得的啟示是:(a)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中,除重視對(duì)基礎(chǔ)概念、性質(zhì)、公式的教學(xué)之外,還要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力;(b)大學(xué)數(shù)學(xué)類(lèi)課程教學(xué)過(guò)程中,要注重加強(qiáng)大學(xué)階段的數(shù)學(xué)與中小學(xué)階段的數(shù)學(xué)的銜接。