張志華

[摘? 要] 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，正向的思維在解題中起著決定性的作用，但是任何知識都是具有雙面性的，思維也是具有可逆性的. 如果我們完全局限地使用正向思維來解題，難免會在解題過程中付出加倍的辛苦，而最后也可能會是徒勞無功，百思不得其解.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，其實我們是常接觸到逆向思維的，比如反證法.文章主要探索的是逆向思維在高中階段數(shù)學(xué)教學(xué)中所起到的作用，以及教師應(yīng)該如何在教學(xué)中滲透、培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);解題;逆向思維

作為個人思維訓(xùn)練的基礎(chǔ)載體，逆向思維不僅是數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)造性思維的重要組成因素，更是培養(yǎng)學(xué)生逆向思維形成的重要依據(jù). 培養(yǎng)逆向思維的同時也促成了靈敏性的思維養(yǎng)成. 在解決問題時，學(xué)會從反向的角度入手，即在知道結(jié)果的前提下，去探究問題的根源.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，逆向思維的問題一直是教學(xué)的重點和難點，這體現(xiàn)了培養(yǎng)逆向思維的重要性，通過對學(xué)生逆向思維的訓(xùn)練，以此來幫助學(xué)生掌握運用逆向思維分析、解決問題的方法，形成良好的思維習(xí)慣.

逆向思維的內(nèi)涵

逆向思維聽上去似乎有些陌生，但是其實在生活和學(xué)習(xí)中很多地方都應(yīng)用了逆向思維. 當(dāng)前，有一些高中生由于缺乏觀察力、分析力、拓展力和創(chuàng)造力，導(dǎo)致他們的數(shù)學(xué)成績始終處于中等偏下水平，這與行業(yè)學(xué)者所稱的“逆向思維能力薄弱”有關(guān). 其實，簡單意義上，逆向思維就是將問題反過來思考，或者利用某些定理和數(shù)學(xué)公式、法則反向推理從而找到解決問題的辦法. 尤其是在面對一些特殊問題的時候，可以選擇從結(jié)論往回推導(dǎo)，換一種思維方式，從已知條件中找尋答案，這樣會使問題簡單化. 逆向思維也是重要的數(shù)學(xué)思維方式，逆向思維的訓(xùn)練是實現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生思維靈敏性思考的重要途徑，強化逆向思維的訓(xùn)練，可以更好地培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性和發(fā)散性，使學(xué)生所掌握的數(shù)學(xué)知識能夠得到有效的遷移.另外，通過正確的引導(dǎo)，將逆向思維運用到拓展解題的過程中，能夠調(diào)動出學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，改變學(xué)生的定向思維結(jié)構(gòu)，更好地從正向思維能力向逆向思維能力轉(zhuǎn)變，從而激發(fā)出學(xué)生探索數(shù)學(xué)奧秘的熱情，增強高中生的自主學(xué)習(xí)能力.

逆向思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中的培養(yǎng)

在我們學(xué)習(xí)與了解了逆向思維之后，我們意識到了逆向思維的重要性，在實際教學(xué)中，我們該采取何種有效的措施將其引入進來，并成為教學(xué)的重點？在綜合了解數(shù)學(xué)教學(xué)的各個環(huán)節(jié)之后，我們發(fā)現(xiàn)逆向思維的培養(yǎng)可以從以下幾個方面進行.

首先，可以依據(jù)教材來加強基礎(chǔ)知識學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維.從概念教學(xué)著手，教材中有很多的互逆概念，在解答這些概念時，可以適當(dāng)借助正向、逆向思維來回互換和相互關(guān)聯(lián)的方式來進行分析，引導(dǎo)學(xué)生在這個過程中，通過發(fā)掘數(shù)學(xué)中的互逆因素，自主形成逆向思維，幫助學(xué)生打破傳統(tǒng)思考模式的束縛，達到高效學(xué)習(xí)的目的. 如此一來，才會使學(xué)生更加充分、透徹地理解這些數(shù)學(xué)概念，逐步形成雙向思維能力.

其次，通過借助定義來進行逆向思維的鍛煉.某些跟定義直接相關(guān)的問題，其條件和結(jié)論是相互等價的，是可以互相推導(dǎo)出來的，因此從某種意義上講，定義是既可以正用，也可以逆用的. 例如，在進行哪些逆命題是真命題的練習(xí)中，有這樣一道練習(xí)題“當(dāng)集合A是集合B的子集時，A∩B=A”，反過來講，“當(dāng)A∩B=A時，集合A就是集合B的子集”. 在教學(xué)中，教師應(yīng)該多舉一些這樣的例子，從而鍛煉學(xué)生的逆向思維能力.

第三，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題需要運用到大量的公式，不僅需要學(xué)生能夠了解公式，還要懂得如何運用公式，單純死記硬背并不利于掌握. 除了能正向運用公式解題，很多時候我們還要學(xué)會逆向運用公式，增強學(xué)生對公式的掌握程度，進而達到融會貫通的目的. 例如：證明（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan44°）（1+tan45°）=223. 分析這道題，我們發(fā)現(xiàn)tan45°=1，所以1+tan45°=2，題干中的等式就可以變?yōu)椋?+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan43°）（1+tan44°）=222. 只要證明左邊44個因式的乘積等于22個2的乘積就可以了，從tan45°=1入手，由于1°+44°=45°，而（1+tan1°）（1+tan44°）=1+tan1°+tan44°+tan1°·tan44°，此時運用逆向思維將正切公式變形，可以得到tan1°+tan44°=tan（1°+44°）（1-tan1°·tan44°）=1-tan1°·tan44°，所以（1+tan1°）（1+tan44°）=2，同理可以得到（1+tan2°）（1+tan43°）=2，…. 將左側(cè)的因式以首末對應(yīng)的方式兩兩相乘，（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan43°）（1+tan44°）=[（1+tan1°）（1+tan44°）]…[（1+tan22°）（1+tan23°）]=222.

最后，教師要發(fā)揮出對學(xué)生的引導(dǎo)作用. 以學(xué)生為主體，加強逆向思維的敏銳性和深刻性. 教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，起著主導(dǎo)性的作用，對于一些數(shù)學(xué)題目的解答，教師要適當(dāng)運用反證法和分析法，并著重加強這兩種逆向思維方式的使用. 培養(yǎng)學(xué)生的雙向思考能力，特別是逆向思維這一方面，學(xué)生需要不斷練習(xí)，將逆向思維靈活地運用到解題當(dāng)中，總結(jié)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在關(guān)系，使知識框架更加系統(tǒng)化.在習(xí)題課上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生親身體驗?zāi)嫦蛩季S的魅力，通過將復(fù)雜問題簡單化、特殊問題一般化，來激發(fā)其對逆向思維的學(xué)習(xí)興趣.

如何在解題中運用逆向思維

在有些數(shù)學(xué)問題的求解過程中，若能開拓逆向思維的天地，反彈琵琶，不僅能使學(xué)生學(xué)到更多的解題方法，打開解題思路，從而有所選擇，而且常常會有新穎獨到的發(fā)現(xiàn). 所以在數(shù)學(xué)解題中加強對學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)，能使他們逐步養(yǎng)成追求新知、探索問題的習(xí)慣，從而產(chǎn)生新穎的、前所未有的思維成果. 通過逆向思考來解決問題的主要思路是：直接解決有困難時考慮間接解決;從正面入手解決不了就變換思維方式，從問題的反面入手;順向推理不可行就考慮逆向推理……，它往往會得到意想不到的效果.說得具體一點，我們運用逆向思維解題的思路、方法有很多，比如逆用公式、定理，借用逆否命題，巧用反證法，妙用補集思想，變換“主元”思想等等，這里面最為典型的就是反證法. 下面以一題為例對此進行說明，已知f（x）=2x+■，證明：f（x）=0只有正數(shù)根.

分析：此題從正向直接入手較難.逆向思維f（x）=0有負(fù)數(shù)根（x=0不是f（x）=0的根），則只需論證f（x）=0有負(fù)數(shù)根是否成立.

證明：顯然，x=0不是f（x）=0的根.

假設(shè)x=x0<0是f（x）=0的根，則0<2x0<1.

只需-1<■<0，解得■

這與x0<0相矛盾.

因此，f（x）=0沒有負(fù)數(shù)根.

綜上所述，f（x）=0只有正數(shù)根.

從這個例題中可以看出，反證法其實就是一種思維方式的轉(zhuǎn)換（如果正面證明有困難時，或者直接證明需要分多種情況而反面只有一種情況時，可以考慮用反證法），有的問題采用反證法來解決非?？旖?，它鍛煉了學(xué)生的逆向思維，開拓了解決問題的新途徑，也為學(xué)生打開了思維的另一扇門. 在解題教學(xué)中，我們要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，使之深入“生”心，這不僅可以培養(yǎng)學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)知識，開拓解題思路，提高解決問題的能力;同時也可以拓展學(xué)生思維，促進良好思維素質(zhì)的形成.

結(jié)束語

總而言之，逆向思維作為在數(shù)學(xué)領(lǐng)域一種重要的思維方式，它不但能夠探索出解決問題的合適方法，獲得簡單化的解題路徑，同時也能幫助學(xué)生充分理解數(shù)學(xué)概念和原理. 教師作為教學(xué)的主導(dǎo)者，應(yīng)該更加積極地關(guān)注學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，與此同時，更要結(jié)合教材來訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維能力.