廖述美

[摘? 要] “定點(diǎn)定值”問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的綜合性問(wèn)題，問(wèn)題中呈現(xiàn)了“動(dòng)”與“靜”的辯證統(tǒng)一關(guān)系，分析時(shí)存在諸多的難點(diǎn)，需要采用對(duì)應(yīng)的解題策略. 文章對(duì)其問(wèn)題背景進(jìn)行剖析，結(jié)合例題來(lái)總結(jié)解題策略，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 解析幾何;定點(diǎn)定值;向量;方程;變式

問(wèn)題背景

解析幾何中的“定點(diǎn)定值”問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問(wèn)題，在高考中出現(xiàn)的頻次很高，問(wèn)題的綜合性較強(qiáng)，解析過(guò)程存在一定的難度，對(duì)學(xué)生的分析思維有著較高的要求，基于問(wèn)題考查內(nèi)容，有以下幾點(diǎn)需要關(guān)注：

1. 直線中的定點(diǎn)問(wèn)題，實(shí)則也是考查對(duì)直線方程的變形，應(yīng)關(guān)注點(diǎn)斜式和斜截式方程的過(guò)定點(diǎn)情形.

2. 解析幾何中的定值問(wèn)題實(shí)則就是解析幾何量與參數(shù)無(wú)關(guān)的過(guò)程，因此需要掌握線長(zhǎng)、幾何面積、角度及斜率等量的代數(shù)表達(dá)方式，通過(guò)化“動(dòng)”為“靜”來(lái)確定定值.

3. 部分定點(diǎn)定值問(wèn)題也以探究的方式考查，可采用“假設(shè)—驗(yàn)證”的思維方式順推求解，討論是否存在滿足條件的情形.

總之，定點(diǎn)定值問(wèn)題不僅強(qiáng)調(diào)知識(shí)綜合，同時(shí)也重視思想方法的運(yùn)用，關(guān)注問(wèn)題考點(diǎn)，把握知識(shí)關(guān)聯(lián)是問(wèn)題突破的基礎(chǔ).

典例引路

問(wèn)題：已知橢圓的解析式為■+■=1（a>b>0），點(diǎn)F1和F2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A和B是橢圓的短軸端點(diǎn)，連接AF1，AF2，BF1，BF2，四邊形F1AF2B為正方形，且邊長(zhǎng)為2，回答下列問(wèn)題.

（1）試求橢圓解析式中a和b的值.

（2）設(shè)點(diǎn)C和D分別為橢圓長(zhǎng)軸上的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)M為坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CM與橢圓的交點(diǎn)為P，若滿足MD⊥CD，試證明■·■為定值，并求出該定值.

（3）在（2）條件成立的情況下，分析坐標(biāo)x軸上是否存在一點(diǎn)Q（異于點(diǎn)C），使得以MP為直徑的圓始終經(jīng)過(guò)直線DP和MQ的交點(diǎn)？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：上述是以橢圓、直線、正方形和圓為背景的解析幾何問(wèn)題，設(shè)問(wèn)特點(diǎn)鮮明.（1）問(wèn)實(shí)則求橢圓解析式，考查橢圓定義;（2）問(wèn)求證向量積為定值，考查平面向量中數(shù)量積的運(yùn)算;（3）問(wèn)探究圓過(guò)定點(diǎn)，綜合考查直線與圓的位置關(guān)系及轉(zhuǎn)化.

解：（1）求a和b的值，核心條件是正方形F1AF2B的邊長(zhǎng)為2，可獲得相應(yīng)的焦距長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)，進(jìn)而獲得長(zhǎng)軸長(zhǎng)，簡(jiǎn)解可得a=2，b=■，橢圓方程為■+■=1.

（2）證明■·■為定值，顯然首先需要表示向量，然后通過(guò)數(shù)量積的運(yùn)算來(lái)確定其定值，常規(guī)思路分兩步進(jìn)行：第一步是設(shè)出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，推導(dǎo)直線CM的方程;第二步是聯(lián)立直線CM與橢圓的解析式，由韋達(dá)定理求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而將向量■和■統(tǒng)一表示，并通過(guò)數(shù)量積運(yùn)算化簡(jiǎn)來(lái)確定其為定值.

分析可知點(diǎn)C（-2，0），D（2，0），設(shè)直線CM的解析式為y=k（x+2），點(diǎn)P坐標(biāo)為（x1，y1），根據(jù)MD⊥CD可推得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，4k）. 聯(lián)立直線CM和橢圓的解析式，整理可得（1+2k2）x2+8k2x+8k2-4=0，由韋達(dá)定理可得x1=■，結(jié)合直線CM的解析式可得點(diǎn)P■，■. 所以■·■=（2，4k）·■，■=■=4，即■·■為定值，且定值為4.

（3）分析以MP為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)DP和MQ的交點(diǎn)，由于MP為直徑，若經(jīng)過(guò)兩線的交點(diǎn)，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，可得MQ⊥DP，則■·■=0，后續(xù)只需要設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，求出兩向量，結(jié)合向量之積為零來(lái)構(gòu)建方程即可.

設(shè)點(diǎn)Q（x0，0）（x0≠-2），若以MP為直徑的圓經(jīng)過(guò)DP和MQ的交點(diǎn)，則有■·■=0. 由（2）問(wèn)可知■=（2-x0，4k），■=■，■，所以■·■=（2-x0）·■+4k·■=0，整理可得■·x0=0，解得x0=0，即存在點(diǎn)Q（0，0）使得以MP為直徑的圓始終經(jīng)過(guò)直線DP和MQ的交點(diǎn).

方法提升

解析幾何中的“定點(diǎn)定值”問(wèn)題的設(shè)問(wèn)形式眾多，上述例題只是其中的一種命題形式，實(shí)際解題是需要根據(jù)問(wèn)題特點(diǎn)和條件進(jìn)行分析推理，解題突破主要有兩種思路：順勢(shì)推演和倒推驗(yàn)證，具體如下.

1. 定點(diǎn)問(wèn)題的解法及思路

思路一：設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)問(wèn)題選定參數(shù)，建立直線或者曲線系方程，根據(jù)“方程與參數(shù)無(wú)關(guān)”來(lái)提取關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程，通過(guò)解方程確定定點(diǎn)坐標(biāo);

思路二：把握問(wèn)題中的特殊位置及特殊情形，直接提取其中的定點(diǎn)，然后證明定點(diǎn)符合題意即可.

2. 定值問(wèn)題的解法及思路

思路一：設(shè)出未知量，結(jié)合問(wèn)題條件進(jìn)行分析、推理、計(jì)算，逐步消去其中的變量;

思路二：從問(wèn)題的特殊情形入手，直接求出定值，然后證明該定值與題干變量無(wú)關(guān).

3. 探究性問(wèn)題的注意點(diǎn)

對(duì)于探究存在性問(wèn)題，一般采用“假設(shè)—驗(yàn)證”的方式，假設(shè)結(jié)論成立，分析是否合理，需注意以下幾點(diǎn)：

（1）關(guān)注問(wèn)題情形是否唯一，合理進(jìn)行分類討論;

（2）根據(jù)結(jié)論來(lái)逆推可能存在的條件，確保條件合理準(zhǔn)確;

（3）對(duì)于條件不確定的情形，適當(dāng)拓展思維，選用合理方法.

變式訓(xùn)練

該類問(wèn)題與幾何圖形有著一定的關(guān)聯(lián)，下面解析一道與三角形特性相關(guān)聯(lián)的探究性定點(diǎn)問(wèn)題.

例題：已知橢圓C的解析式為■+■=1（a>b>0），離心率e=■，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F且與x軸相垂直的直線與橢圓C相截弦長(zhǎng)為■，試回答下列問(wèn)題.

（1）試求橢圓C的解析式.

（2）點(diǎn)N為橢圓的上頂點(diǎn)，分析是否存在直線l與橢圓相交于點(diǎn)P和Q，使得點(diǎn)F為△PQN的垂心？若存在，請(qǐng)求出直線l的方程;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：（1）根據(jù)題干信息可求得a=■，b=1，則橢圓C的解析式為■+y2=1.

（2）假設(shè)存在直線l與橢圓相交于點(diǎn)P和Q，使得點(diǎn)F為△PQN的垂心，設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）. 又知點(diǎn)N（0，1），F(xiàn)（1，0），則kNF=-1，由于NF⊥PQ，則kPQ=1. 設(shè)直線l的方程為y=x+m，與橢圓方程聯(lián)立，整理可得3x2+4mx+2m2-2=0，由Δ>0可得m2<3，由韋達(dá)定理可得x1+x2= -■，x1·x2=■. 由于■·■=0，則■·■=（x1，y1-1）·（x2-1，y2）=2x1·x2+（x1+x2）（m-1）+m2-m=0，即2·■-■（m-1）+m2-m=0，從而解得m=-■或m=1. 分析可知當(dāng)m=1時(shí)，△PQN不存在，舍去;當(dāng)m=-■時(shí)，滿足條件，此時(shí)直線l的方程為y=x-■.

評(píng)析：上述為橢圓與直線的解析幾何問(wèn)題，第（2）問(wèn)探究滿足條件的三角形是否存在，解析時(shí)由核心條件“F為△PQN垂心”提煉出“向量積為零”，然后通過(guò)方程聯(lián)立構(gòu)建與直線l參數(shù)相關(guān)的代數(shù)方程，通過(guò)解方程、合理性分析確定了最終的答案. 上述采用了“假設(shè)—驗(yàn)證”順勢(shì)推導(dǎo)的解題策略，同時(shí)緊密把握幾何特性與向量之間的關(guān)聯(lián)，構(gòu)建了代數(shù)方程，具有一定的參考價(jià)值.

教學(xué)建議

1. 解題教學(xué)中重視鞏固基礎(chǔ)

解題教學(xué)可以有效提升學(xué)生的思維能力，但教學(xué)中不能脫離教材基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)的基本概念、定理是教學(xué)核心，也是解題教學(xué)中需要重點(diǎn)鞏固的內(nèi)容. 教學(xué)中不能單純地只讓學(xué)生進(jìn)行知識(shí)回顧，而應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，使學(xué)生深刻領(lǐng)悟其中的內(nèi)涵和本質(zhì). 例如上述問(wèn)題中涉及了橢圓的性質(zhì)、向量積的運(yùn)算、三角形垂心、曲線相交等，具體教學(xué)時(shí)應(yīng)立足知識(shí)核心，開展本質(zhì)揭示，使學(xué)生掌握轉(zhuǎn)化方法的同時(shí)領(lǐng)會(huì)其內(nèi)在意義，這對(duì)于后續(xù)的方法總結(jié)和能力提升是十分重要的.

2. 解題教學(xué)中注重培養(yǎng)思維

解題教學(xué)中需要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，提升學(xué)生的分析推理能力，這是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心內(nèi)容. 教學(xué)中不僅要使學(xué)生掌握解題的方法和技巧，還要培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性、靈活性和創(chuàng)新性. 以定點(diǎn)定值問(wèn)題為例，需要深刻領(lǐng)會(huì)解題策略的內(nèi)涵，除了掌握順推和逆推的方法，對(duì)于一些特殊的問(wèn)題還要掌握聯(lián)系條件和結(jié)論進(jìn)行綜合構(gòu)建的方法. 解題教學(xué)中倡導(dǎo)采用一題多解、一題多變的方式，利用拓展探究來(lái)鍛煉學(xué)生的思維，拓展學(xué)生的解題視野. 課堂教學(xué)中應(yīng)以變式探究為引領(lǐng)，使學(xué)生養(yǎng)成變式思考的思維習(xí)慣.

3. 解題教學(xué)中滲透生長(zhǎng)之道

數(shù)學(xué)具有鮮明的特征，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)與思想的雙重融合，其中后者是其核心所在. 解題教學(xué)中需要將思想提升作為目標(biāo)之一，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)思想方法的理解，很多的經(jīng)典問(wèn)題中富含豐富的數(shù)學(xué)思想.例如上述“定點(diǎn)定值”問(wèn)題中，方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和化歸轉(zhuǎn)化思想是其本質(zhì)思想，只有理解了這些數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)內(nèi)涵才能真正掌握該類問(wèn)題的解題策略，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思想來(lái)分析問(wèn)題，由此真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的生長(zhǎng)之道，使學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)真正獲得提升.

寫在最后

總結(jié)“定點(diǎn)定值”問(wèn)題的解題思路和方法有著現(xiàn)實(shí)的意義，可以幫助學(xué)生強(qiáng)化知識(shí)理解、完善知識(shí)體系，同時(shí)可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展. 上述屬于綜合性極強(qiáng)的經(jīng)典問(wèn)題，教學(xué)中應(yīng)從基礎(chǔ)知識(shí)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生思考，結(jié)合代表性考題來(lái)總結(jié)解題方法，同時(shí)注重拓展學(xué)生的思維，使學(xué)生真正掌握考題.