陳海波 朱志棟

[摘? 要] 2017年版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)要通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)，使學(xué)生獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來(lái)發(fā)展所必需的“四基”，提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力;在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過(guò)程中，學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 課堂教學(xué)中如何落實(shí)四基，如何培育核心素養(yǎng)？ 關(guān)鍵還要看我們?cè)谝还?jié)課中如何確定教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng). 這是我們廣大一線教師關(guān)心的問(wèn)題，文章以一輪復(fù)習(xí)“圓的方程”的教學(xué)為例， 探討一輪復(fù)習(xí)中落實(shí)四基、培育核心素養(yǎng)的粗淺觀點(diǎn).

[關(guān)鍵詞] 四基;核心素養(yǎng);圓的方程

問(wèn)題的提出

2017年版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)要通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)，使學(xué)生獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來(lái)發(fā)展所必需的“四基”，提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力;在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過(guò)程中，學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

課標(biāo)中“四基”指的是基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、基本數(shù)學(xué)思想方法. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)通常包括六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，它指的是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析. 從新課標(biāo)中可以看出，四基是基礎(chǔ)，素養(yǎng)是目的. 數(shù)學(xué)素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想方法、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)中生成的. 一個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)高低關(guān)鍵看學(xué)生基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握是否牢靠、基本思想的領(lǐng)悟是否透徹，基本技能的操作是否嫻熟、基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是否豐富. “四基”教學(xué)就是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的主陣地，只有“四基”夯實(shí)了，數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升就有可能，“四基”越牢靠、越豐富，數(shù)學(xué)素養(yǎng)就會(huì)越來(lái)越豐厚.

課堂教學(xué)中如何落實(shí)四基，如何培育核心素養(yǎng)？關(guān)鍵還要看我們?cè)谝还?jié)課中如何確定教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng).這是我們廣大一線教師關(guān)心的問(wèn)題，筆者以一輪復(fù)習(xí)“圓的方程”的教學(xué)為例，探討一輪復(fù)習(xí)中落實(shí)四基、培育核心素養(yǎng)的粗淺觀點(diǎn).

從四基到核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)

圓的方程是解析幾何的重要組成部分，是高考命題的熱點(diǎn)，江蘇高考一般出現(xiàn)在填空題12-14位置、解答題17-18位置. 圓的方程內(nèi)容由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的一般方程和圓的參數(shù)方程三個(gè)部分組成.同時(shí)在圓的方程的復(fù)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生在掌握四基的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也能得到一定的培養(yǎng).

1. 教學(xué)目標(biāo)的確定

四基目標(biāo)的確定

掌握確定圓的幾何要素，掌握用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)和一般方程屬于基本知識(shí)和基本技能的內(nèi)容;學(xué)會(huì)把圓的幾何性質(zhì)與解析法結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)處理參數(shù)問(wèn)題，注重分類(lèi)討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和基本思想的內(nèi)容.

核心素養(yǎng)目標(biāo)的確定

通過(guò)觀察分析培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng);通過(guò)推理運(yùn)算培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng);通過(guò)方程的設(shè)立、編制題目的求解培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

2. 教學(xué)過(guò)程

問(wèn)題1：三個(gè)定點(diǎn)A（4，3），B（5，2），C（1，0）確定幾個(gè)圓？反之如何呢？

生：三個(gè)不共線的點(diǎn)確定唯一的圓，一個(gè)圓對(duì)應(yīng)無(wú)窮多組不共線的三點(diǎn).

師：很好，三個(gè)不共線的點(diǎn)直接可以抽象為三個(gè)獨(dú)立的條件，也就是說(shuō)三個(gè)獨(dú)立條件對(duì)應(yīng)著唯一的圓，一個(gè)圓對(duì)應(yīng)著無(wú)窮多組三個(gè)獨(dú)立的條件.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：從基本知識(shí)角度回顧確定求解一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立的條件，為圓的方程的求解方法登場(chǎng)做好鋪墊.從正向、逆向兩個(gè)方向讓學(xué)生弄清楚三個(gè)獨(dú)立條件和圓之間的邏輯關(guān)系，滲透辯證法思想，同時(shí)也滲透邏輯推理素養(yǎng)的培育.

問(wèn)題2：求經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A（4，3），B（5，2），C（1，0）的圓的方程有哪些方法？

生：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）.

生：設(shè)圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）.

生：直接求基本量a，b，r.

師：求圓的方程本質(zhì)上就是利用待定系數(shù)法建立a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組，體現(xiàn)了化歸思想和方程思想.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：此處設(shè)計(jì)通過(guò)已知三個(gè)點(diǎn)求圓的方程問(wèn)題引出圓的方程的所有的解法. 此處設(shè)計(jì)還包含了豐富的四基內(nèi)容和核心素養(yǎng)的內(nèi)容.具體來(lái)看，圓的方程的標(biāo)準(zhǔn)形式和一般形式屬于基礎(chǔ)知識(shí)，待定系數(shù)法屬于基本方法，方程思想運(yùn)用屬于基本思想方法的內(nèi)容，同時(shí)求圓的方程也體現(xiàn)了用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的解析幾何的核心思想. 再?gòu)暮诵乃仞B(yǎng)的角度看，一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的選擇培育了數(shù)學(xué)建模和邏輯推理的素養(yǎng)，方程組的求解培育了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

問(wèn)題3：從定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)辯證關(guān)系角度思考，對(duì)問(wèn)題1可以提出怎樣的問(wèn)題呢？

生：把例1中的定點(diǎn)改成動(dòng)點(diǎn)如何研究呢？

師：根據(jù)提出的問(wèn)題，你能對(duì)本題進(jìn)行改編嗎？

生：求經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A（4，3），B（5，2），C（m，0）（m≠7）的圓的方程.

變題1：（2017全國(guó)Ⅲ卷20題改編）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y=x2+mx-2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C（0，1）. 當(dāng)m變化時(shí)，求過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓的一般方程.

生：設(shè)方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0），由點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），C（0，1）得x■+Dx1+F=0，x■+Dx2+F=0，1+E+F=0得D=m，E=1，F(xiàn)=-2.圓一般方程為x2+y2+mx+y-2=0.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：三個(gè)獨(dú)立條件由靜態(tài)變成動(dòng)態(tài)，以此出發(fā)研究，體現(xiàn)了動(dòng)與靜的辯證關(guān)系.考查了學(xué)生的基本知識(shí)和基本經(jīng)驗(yàn)、基本方法，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).

變題2：求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（4，3），B（5，2）且與x軸相切的圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程.

生：設(shè)圓標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0），根據(jù)題意知（4-a）2+（3-b）2=r2，（5-a）2+（2-b）2=r2，b=r，由此可得圓的方程.

問(wèn)題4：若圓D與x軸相切，圓D標(biāo)準(zhǔn)方程有何特點(diǎn)？

生：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）中b=r.

追問(wèn)：圓D與x軸相切進(jìn)行類(lèi)比推廣，能提出什么問(wèn)題呢？

生：圓與y軸相切，圓過(guò)原點(diǎn)，圓與一般直線相切，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有何特點(diǎn)？

生：圓與y軸相切時(shí)a=r;過(guò)原點(diǎn)時(shí)a2+b2=r2;與一般直線相切時(shí)，圓心到直線距離等于半徑r.

變題3：（2016江蘇預(yù)賽題改編）兩圓和x軸、直線y=■x均相切，且一個(gè)交點(diǎn)為P（2，2），求兩圓半徑之和.

生：設(shè)兩個(gè)圓的方程為：（x-■r1）2+（y-r1）2=r■和（x-■r2）2+（y-r2）2=r■，再根據(jù)都過(guò)點(diǎn)P（2，2）得到3r■-（4+4■）r1+8=0和3r■-（4+4■）r2+8=0，所以r1，r2是方程3r2■-（4+4■）r +8=0兩根，由韋達(dá)定理知r1+r2=■.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：以上設(shè)計(jì)跳出題海，通過(guò)對(duì)例題題干的改編來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)點(diǎn)的考查，層層深入，環(huán)環(huán)相扣，能夠以較少的時(shí)間來(lái)完成知識(shí)的復(fù)習(xí)，同時(shí)也能夠引起學(xué)生的求知欲望和認(rèn)知沖突.具體地看，從四基角度的考查有，通過(guò)改變例題的一個(gè)條件來(lái)考查圓與x軸、y軸相切，過(guò)原點(diǎn)時(shí)參數(shù)的條件;通過(guò)改變兩個(gè)條件來(lái)考查與兩條直線相切的參數(shù)的條件要求，由此完成了對(duì)基本知識(shí)、基本技能和基本經(jīng)驗(yàn)的考查. 特別地，變題的求解過(guò)程達(dá)到對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)考查的目的，變題方法的每次選擇就是對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng).

變題4：求過(guò)點(diǎn)A（4，3），B（5，2），被x軸截得的弦長(zhǎng)為4的圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程.

生：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0），則（4-a）2+（3-b）2=r2，（5-a）2+（2-b）2=r2，r2=4+b2，……

變題5：求以點(diǎn)A（4，3），B（5，2）為直徑端點(diǎn)的圓D的方程.

生：根據(jù)AB中點(diǎn)為圓心，AB長(zhǎng)度是直徑求出基本量圓心和半徑.

生：根據(jù)直徑圓的方程直接得到（x-4）（x-5）+（y-3）（y-2）=0.

師：變題4、5如果是動(dòng)態(tài)的問(wèn)題，怎樣研究呢？

生：如果是動(dòng)態(tài)問(wèn)題，就是相當(dāng)于引入?yún)?shù)，求出來(lái)的是動(dòng)圓（含有參數(shù)）方程.

問(wèn)題5：在橫線上寫(xiě)一個(gè)適當(dāng)?shù)撵o態(tài)條件，編制一個(gè)新的題目：已知圓D經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（4，3），B（5，2），且_____，求圓D的方程.？搖

師：同學(xué)們可以相互討論交流，然后發(fā)表你的見(jiàn)解.

生：可以加一個(gè)條件為：和一個(gè)定直線相交、相切、相離的條件，求出來(lái)的方程是一個(gè)定圓的方程，比如說(shuō)與直線l：x+y+1=0所截得的弦長(zhǎng)為2.

師：很好，相當(dāng)于加一個(gè)和直線相關(guān)的靜態(tài)的數(shù)的條件或靜態(tài)的形的條件.

生：也可以加一個(gè)條件為：和一個(gè)動(dòng)直線相交、相切、相離的條件，求出來(lái)的方程是一個(gè)動(dòng)圓的方程，比如說(shuō)與直線l：x+y+m=0（m為常數(shù)）相切.

師：很好，相當(dāng)于加一個(gè)和直線相關(guān)的動(dòng)態(tài)的數(shù)的條件或動(dòng)態(tài)的形的條件.

生：可以加一個(gè)條件為：和一個(gè)圓外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含的靜態(tài)條件，求出來(lái)的方程是一個(gè)定圓的方程.

生：可以加一個(gè)條件為：和一個(gè)圓外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含的動(dòng)態(tài)條件，求出來(lái)的方程是一個(gè)動(dòng)圓的方程.

師：同學(xué)們的想法很好，又想到了和圓的位置關(guān)系問(wèn)題啦！還有嗎？

生：可以加的條件為：涉及圓的任何一個(gè)形的條件或任何一個(gè)數(shù)的條件.

師：數(shù)學(xué)本身就是研究數(shù)和形的學(xué)科，本題中我們添加的條件可以是涉及圓的形的條件，也可以是涉及圓的數(shù)的條件，同學(xué)們的理解非常好.

問(wèn)題6：已知圓D滿足_____、_____、_____，求圓D的方程.

生：就是把上面的條件選擇三個(gè)互相獨(dú)立的就可以了.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：設(shè)計(jì)開(kāi)放性的問(wèn)題讓學(xué)生相互討論交流，在這樣的活動(dòng)過(guò)程中.求圓的方程的知識(shí)得到了加工、消化、吸收，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行內(nèi)化、轉(zhuǎn)化、升華，最終形成學(xué)生的核心素養(yǎng)，同時(shí)也關(guān)注到了學(xué)生創(chuàng)新精神、合作意識(shí)和實(shí)踐能力.

例題精講

例1：設(shè)圓滿足條件：（1）截y軸所得的弦長(zhǎng)為2;（2）被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為3∶1;（3）圓心到直線l：x-2y=0的距離為■，求這個(gè)圓的方程.

例2：（2008江蘇卷18題改編）設(shè)平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)f（x）=x2+2x+b（b≠0）的圖像與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，求經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓的一般方程.

幾點(diǎn)反思

本節(jié)課是一節(jié)高三復(fù)習(xí)課，從四基和核心素養(yǎng)的角度看，對(duì)四基的強(qiáng)化非常有效，提升了學(xué)生的能力，培育了學(xué)生的核心素養(yǎng). 課堂的教學(xué)中，我們可以做好以下兩點(diǎn)來(lái)落實(shí)四基和培育核心素養(yǎng).

1. 四基導(dǎo)向的課堂教學(xué)應(yīng)對(duì)策略

四基中的四個(gè)部分不是孤立的，而是同存在于同一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)中，彼此之間相互聯(lián)系、相互制約，但又有不同，基本知識(shí)和基本技能是顯性的，而基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是隱性的. 基本知識(shí)和基本技能是落實(shí)基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的載體，基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是在更高層次上的抽象.課堂的教學(xué)中，關(guān)注四基的落實(shí)需要做好以下幾點(diǎn)，首先，教學(xué)目標(biāo)的制定應(yīng)準(zhǔn)確把握四基的要求，基本知識(shí)和基本技能的教學(xué)應(yīng)關(guān)注知識(shí)之間的聯(lián)系和操作的程序和步驟，基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)應(yīng)在教學(xué)活動(dòng)中理解、感悟、思考;其次，精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，因?yàn)閷W(xué)生理解掌握基本知識(shí)和基本技能，感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)都不是一蹴而就的，都要經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程，所以可以設(shè)計(jì)一些具有開(kāi)放性、思考性和聯(lián)系性的問(wèn)題.

2. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課堂教學(xué)應(yīng)對(duì)策略

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實(shí)的主陣地在數(shù)學(xué)課堂，基本渠道是數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)應(yīng)用的過(guò)程，是不斷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程.課堂教學(xué)中，我們要設(shè)計(jì)合適的情境讓學(xué)生感悟、理解，讓學(xué)生在情境的基礎(chǔ)上獲得感受，揭示具體事例的數(shù)學(xué)本質(zhì)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的思維分析問(wèn)題，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述、表達(dá)問(wèn)題;課堂教學(xué)中，我們要在數(shù)學(xué)抽象過(guò)程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念、法則、命題和數(shù)學(xué)建模的基本方法，指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷上述知識(shí)和方法的學(xué)習(xí)過(guò)程，落實(shí)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);課堂教學(xué)中，我們要在探究的過(guò)程中，運(yùn)用邏輯推理培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力，錘煉論證和表述的方法，還要重視命題的猜想過(guò)程，兼顧合情推理和演繹推理，全面落實(shí)直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).