季鳳茂

[摘要]通過數(shù)學特色課程這個載體，引導學生把數(shù)學學習和數(shù)學學科知識、其他學科知識、現(xiàn)實世界等關聯(lián)起來，打破學科之間的壁壘;把學習的時空拓展到家庭和社會，打破學習時空的局限;引導學生調(diào)查、實驗、嘗試、探究、合作，打破學習方式的固化，讓教與學變得可見，使數(shù)學的學習成為有廣度、有深度和有力度的綜合化學習。

[關鍵詞]特色課程;綜合化;折扇;關聯(lián)

[中圖分類號]

G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2020）29-0021-02

聯(lián)合國教科文組織出版的《反思教育：向“全球共同利益”的理念轉(zhuǎn)變》指出：“當今世界格局正在發(fā)生劇變，其中涉及學習內(nèi)容、學習方法和學習空間?！痹谡n程建設的過程中，很多學校重視特色課程的建設，借此培養(yǎng)學生數(shù)學綜合素養(yǎng)。折扇和數(shù)學有著密切的關系，制扇大師鄭寶元說過，他的制扇基礎就是源自看上去與制扇毫不相關的學科——數(shù)學。現(xiàn)以我校數(shù)學特色課程中“折扇中的數(shù)學”為例，談談如何通過特色課程，實現(xiàn)數(shù)學學習綜合化。

一、內(nèi)容關聯(lián)，走向有廣度的數(shù)學綜合化學習

1.內(nèi)容選擇

折扇是生活中的日用品，也是生活中的藝術(shù)品，還是生活中的裝飾品，多重“身份”的綜合更容易激發(fā)學生學習的興趣，誘發(fā)學生的探究欲望。數(shù)學特色課程需要聚焦數(shù)學，所以在選擇學習材料時首先要關注材料的數(shù)學價值?！罢凵戎械臄?shù)學”的數(shù)學成分不是一個點，而是發(fā)散的點，需要學生把這些點關聯(lián)起來。折扇中的數(shù)學元素表面上看起來只有扇形這一個知識點，其實還涉及統(tǒng)計（日常生活中人們扇子的擁有量）、分類（按功能分、材質(zhì)分、地域分）、計算、黃金分割（折扇的圓心角的度數(shù)和平角的度數(shù)比、扇面的環(huán)寬和扇骨長度的比）和等分（扇面平均分成的份數(shù)和扇骨有什么關系）等知識點。

2.問題解決

“折扇中的數(shù)學”沒有直接拋出數(shù)學問題，而是由教師提供現(xiàn)成的扇骨，讓學生根據(jù)扇骨制作折扇。表面上這是一個手工制作的問題，和數(shù)學問題關聯(lián)度不高，但是在制作的過程中，學生會出現(xiàn)困惑，這就需要學生調(diào)取已掌握的數(shù)學策略來解決問題：扇面的環(huán)寬是多少？扇面的圓心角是多少度？扇面平均分成多少等份？等份數(shù)和什么相關？沒有一個是告訴式的問題，都是生成性、自主發(fā)現(xiàn)式的問題。

要制作一把折扇，得知道扇面的大小。要確定扇面的大小首先要確定圓心角的度數(shù)，涉及度數(shù)的測量;扇面的大小還和扇面的環(huán)寬有關，涉及扇形面積的計算;扇形圓心角的度數(shù)和圓周角剩余度數(shù)的比是多少，扇形環(huán)寬和扇骨長度的比是多少，涉及黃金比……制作出科學美觀的折扇扇面需要掌握相當多的知識。

二、過程遞進，走向有深度的數(shù)學綜合化學習

1.從隨意開始

學習的初始階段是有效先學，教師沒有給學生精確的學習目標，也沒有指定明確的學習路徑。學生在既往的學習過程和生活過程中，已經(jīng)掌握了大量的數(shù)學知識，形成一定的數(shù)學能力，積累了較為豐富的數(shù)學學習經(jīng)驗，這些都為數(shù)學特色課程的學習奠定了良好的基礎。

我們針對“折扇中的數(shù)學”設計了研學單，研學單只有兩個問題，一是“簡要描述我所認識的折扇”，二是“畫一幅折扇的結(jié)構(gòu)圖”。在畫結(jié)構(gòu)圖時，學生都會想到需要運用和扇形相關的數(shù)學知識，只不過用到什么程度還不是十分清晰，處于一種低水平的階段;學生都知道需要把扇面進行等分，但等分時卻是隨意的，在隨后會發(fā)現(xiàn)隨意等份數(shù)并不能制作出完美的折扇……

2.到有意進行

學生在根據(jù)已有的知識經(jīng)驗進行了初步嘗試后，會遇到各種問題。教師不要急于對學生發(fā)現(xiàn)的問題進行評價，更不要急于告訴學生解決問題的方法，而是對學生遇到的這些問題給予適當?shù)狞c撥，為學生運用什么知識和策略來解決問題指明方向。

在研究的過程中，學生發(fā)現(xiàn)只要是用來引風降溫的折扇，盡管規(guī)格各不相同，但圓心角都在138°左右。為什么扇形圓心角的度數(shù)都在138°左右呢？通過探究，學生發(fā)現(xiàn)圓心角的度數(shù)是由兩個因素決定的：一是適用性，圓心角的度數(shù)小了，風量不足;圓心角的度數(shù)大了，操作起來不方便。二是美觀性，當圓心角在138°左右時，138°÷（360°-138°）≈0.622，0.622非常接近黃金比0.618。

3.向深度邁進

數(shù)學特色課程，是教科書的一種補充，更是一種拓展。數(shù)學特色課程更重視實際情境的創(chuàng)設，呈現(xiàn)的不是某一個知識點，而是多個離散的知識點，學生需要把這些看似離散的知識點勾連起來，使之結(jié)構(gòu)化。

數(shù)學學習的最高境界不是發(fā)現(xiàn)而是創(chuàng)造，是能夠自主遷移，靈活運用習得的知識、技能嫻熟解決現(xiàn)實問題。學生在研究“折扇中的數(shù)學”時發(fā)現(xiàn)，不僅僅是圓心角和圓周角剩余度數(shù)的比是黃金比，扇面的環(huán)寬和扇柄長度的比也是黃金比。學生的發(fā)現(xiàn)和制扇大師鄭寶元的創(chuàng)作不謀而合，他在談制扇體會時曾說：“制扇通常是憑經(jīng)驗，或者約定俗成，沒有科學的理論依據(jù)，很難統(tǒng)一，甚至影響美觀。我經(jīng)過反復琢磨，采用數(shù)學中的‘黃金分割定律確定扇肩的位置，使扇形發(fā)生變化，扇子更加美觀?！笨梢?，這不僅是發(fā)現(xiàn)，學生還把數(shù)學主動運用于折扇的制作。

三、方法靈活，走向有力度的數(shù)學綜合化學習

1.時空延展

學習時間。特色課程的學習時間不局限于一節(jié)課的四十分鐘。教師可提前一個星期布置學習任務，這一個星期的時間包含有充分自主權(quán)的雙休日，這樣學生就有了充足的學習時間。一個星期后的四十分鐘的課堂教學主要用于交流討論、展示質(zhì)疑。

學習空間。數(shù)學特色課程具有開放性，課內(nèi)和課外、校內(nèi)和校外、線上和線下都是學習的空間。這樣的學習不是一種注入，而是一種探究和自主發(fā)現(xiàn)，學生可以開展調(diào)查研究、實驗操作、資料檢索，對于大多數(shù)學習任務，學生都是在校外完成的。學校還注冊了特色課程專題學習網(wǎng)站，學生可以在網(wǎng)站發(fā)表自己的見解，提出自己的問題。

學習伙伴。學習不僅僅是個體的行為，學習伙伴是學生根據(jù)學習的需要自主尋找的，可能是自己班級的同學，可能是教師（包括其他班級的教師、相近學科的教師），可能是父母，還可能是一些專業(yè)人士。有一個學生在交流的時候就提到，他爸爸是高中物理教師，他和爸爸通過實驗的方法來探究風量和扇面大小之間的關系，然后確定扇面的大小。

2.過程可見

教師毋庸置疑會對學生的學習產(chǎn)生影響，但不是所有教師都清楚地知道自己什么樣的教學行為會對學生產(chǎn)生正向的影響;同樣也不是所有的學生都清楚地知道什么樣的學習方式會對自己的學習產(chǎn)生正向的促進。新西蘭教育家約翰·哈蒂把這樣的學習稱之為可見的學習，他認為教師要成為自己教學的學習者，學生要成為自己學習的教學者。

做中學。“做中學”不是僅僅關注學生的學習興趣，或者說僅僅為了提高學生的學習興趣，也不是更重視學生的操作實踐?！白鲋袑W”的本質(zhì)是指讓學生真正參與到學習的活動中去，在活動中促進對知識的理解，促進技能的形成。在學習的初始階段，不要求學生去尋找折扇中的數(shù)學元素，而是讓學生設計一幅折扇的結(jié)構(gòu)。這是一個比較寬泛的學習要求，但要畫出科學完美的折扇結(jié)構(gòu)圖，就必須運用相應的數(shù)學知識。學生課前自主探究時，有的是通過實驗的方法得出結(jié)論，有的是通過請教他人得出結(jié)論，還有的是通過上網(wǎng)檢索得出結(jié)論……學生對實驗的方法特別認同。

合作學。這里合作有三點要素：一是合作是因為需要，二是合作對象自主，三是成果分享。在學習的過程中，學生發(fā)現(xiàn)扇面等份數(shù)和扇骨的關系是2n-l，需要根據(jù)這個關系將扇形平均分成若干等份，學生僅僅憑借手頭的學具是無法實現(xiàn)的。教師在教學過程中，適時引入計算機軟件中的幾何畫板，通過幾何畫板中的迭代和構(gòu)造功能，實現(xiàn)了扇形的精確等分。這樣，通過人與計算機合作，突破了探究難點。

遷移學。遷移的意識和能力可以給學生帶來持續(xù)的學習動力和積極性。數(shù)學特色課程的學習重點是幫助學生運用已有的學習經(jīng)驗來點化和提升學生的思維水平，繼而解決客觀世界中的數(shù)學問題。因此在教學的過程中，不僅僅著眼于學習的結(jié)果，更要著眼于學習的過程，著眼于學習結(jié)果成因的判斷。要形成遷移的能力，需要關注學生思維能力的培養(yǎng)。思維能力提升后，學生不僅能靈活運用舊知識，而且懂得如何獲得新知識，把獲得的新知識融人舊知識的體系中去，通過獲得新知識來解決舊知識解決不了的新問題。在研究“折扇中的數(shù)學”時，學生發(fā)現(xiàn)了一些新問題，如扇面的等份數(shù)和扇骨的根數(shù)是相關的，那扇骨的根數(shù)又是由什么決定的呢？新問題雖然具有挑戰(zhàn)性，但學生還是自主解決了。這是因為已有問題的解決為新問題的解決提供了可借鑒的脈絡，提供了經(jīng)驗基礎。

數(shù)學特色課程讓教師回到教的起點去反思“教什么”和“怎么教”;數(shù)學特色課程讓學生回到學的原點去體驗“學什么”和“怎么學”。數(shù)學特色課程的學習更多地關注過程、關注思維、關注生命、關注體驗、關注運用，更逼近真實生態(tài)的數(shù)學學習，真正讓學生的數(shù)學學習綜合化。

（責編金鈴）