吳廣國 滿娜 鄒斌

摘? ?要：2019年高考理綜卷（北京卷）物理部分最后一題（第24題），以較為復雜的雨滴下落模型為背景，求解雨滴下落過程中克服摩擦力做的功，充分體現了運動與相互作用觀和能量觀等要素。題設條件給出雨滴下落受到的空氣阻力正比于速度的平方，先將雨滴看成球體，來研究雨滴的收尾速度;后將雨滴簡化成圓盤模型，只考慮雨滴圓盤與空氣分子碰撞的情況下，證明其所受阻力正比于雨滴速度的平方。題目設計思想充分體現了“科學思維”中的模型構建、科學推理和科學論證等要素。文章對只考慮空氣分子碰撞雨滴圓盤模型下所受阻力的解法進行了改進，期望與同行進行探討。

關鍵詞：科學思維;雨滴圓盤模型;收尾速度;高考北京卷

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2020）9-0036-3

在《普通高中物理課程標準（2017年版）》中提出的物理課程基本理念，特別強調要注重體現物理學科本質，培養(yǎng)學生的物理學科核心素養(yǎng)。通過高中物理課程的學習，學生應具有建構模型的意識和能力，能運用科學思維方法，從定性和定量兩個方面對相關問題進行科學推理、找出規(guī)律、形成結論[1]。2019年北京高考第24題以“雨滴空中下落”為背景素材[2-6]，通過對相關知識的介紹，給出了雨滴球體模型和雨滴圓盤模型，以及雨滴球體模型所受空氣阻力的表達式。讓學生證明雨滴圓盤模型所受空氣阻力與雨滴速度平方成正比關系，考查考生通過新情境獲取信息、思考并解決問題和知識遷移的能力。

由流體力學可知，雨滴在空氣中下落所受阻力有兩種，分別是粘滯阻力和壓差阻力。比較小的物體在粘性較大的流體中緩慢運動，即雷諾數很小的情況下，粘滯阻力是主要因素，其大小正比于物體運動的速度。如果在雨滴下落過程中，雨滴上表面形成渦旋后，此時壓差阻力占主要因素，其大小正比于物體運動速度的平方。因此，有一類雨滴在下落過程中雖然半徑增加但尺度仍然極小，所受空氣阻力始終以粘滯阻力為主;而另一類半徑較大，下落過程中其上表面產生渦旋，所受空氣阻力以壓差阻力為主[7]。

雨滴通常形成于高空大約2000多米處，如果沒有空氣阻力，則雨滴落到地面附近時，速度可達200 m/s。而實際雨滴落到地面的速度通常僅為幾米每秒，這與雨滴下落過程中受到空氣阻力有關。第1問設置了求解雨滴下落過程中克服空氣阻力做的功，本質是雨滴的重力勢能轉化成雨滴的動能和摩擦產生的熱能，從學科核心素養(yǎng)上看充分體現了物理觀念中的能量觀。后兩問分別給出了雨滴的兩種模型：球體模型和圓盤模型，并且給出球體模型所受阻力的表達式，而后請考生證明雨滴圓盤模型所受阻力正比于雨滴速度的平方。試題設計巧妙，層層推進，考查了科學思維中的模型構建、科學推理和科學論證的核心素養(yǎng)。

1? ? 2019年高考理綜卷（北京卷）物理第24題原題

第24題原題如下：

雨滴落到地面的速度通常僅為幾米每秒，這與雨滴下落過程中受到空氣阻力有關。雨滴間無相互作用且雨滴質量不變，重力加速度為g。

（1）質量為m的雨滴由靜止開始，下落高度h時速度為u，求這一過程中克服空氣阻力所做的功W。

（2）將雨滴看作半徑為r的球體，設其豎直落向地面的過程中所受空氣阻力f = kr2v2，其中v是雨滴的速度，k是比例系數。

a.設雨滴的密度為ρ，推導雨滴下落趨近的最大速度vm與半徑r的關系式;

b.示意圖中畫出了半徑為r1、r2（r1>r2）的雨滴在空氣中無初速下落的v-t圖線，如圖1所示，其中______對應半徑為r1的雨滴（選填①②）;若不計空氣阻力，請在圖中畫出雨滴無初速下落的v-t圖線。

（3）由于大量氣體分子在各方向運動的幾率相等，其對靜止雨滴的作用力為零。將雨滴簡化為垂直于運動方向面積為S的圓盤，證明：圓盤以速度v下落時受到的空氣阻力f∝v2（提示：設單位體積內空氣分子數為n，空氣分子質量為m0）。

2? ? 對2019年高考理綜卷（北京卷）物理第24題第3問的解析和評述

該題第1小問和第2小問解答比較簡單，這里不再贅述。

關于第3小問的解答：根據題設條件，大量氣體分子在各方向運動的幾率相等，其對靜止雨滴的作用力為零。以下只考慮雨滴下落的定向運動。

簡化的圓盤模型如圖2所示。設空氣分子與圓盤碰撞前后相對速度大小不變。在時間Δt內，與圓盤碰撞的空氣分子質量為：

由牛頓第三定律，可知圓盤所受空氣阻力：

采用不同的碰撞模型，也可得到相同結論。

第3小問給出了雨滴的另一種模型——圓盤模型，并且題設指出由于大量氣體分子在各方向運動的幾率相等，其對靜止雨滴的作用力為零。而當雨滴以速度v下落的過程中，也看成分子熱運動引起的碰撞作用力為零，所以對于圓盤模型的雨滴下落時，其阻力簡化為假設大量的空氣分子靜止狀態(tài)下，雨滴圓盤與雨滴下方vΔt空間中空氣分子的碰撞作用力。模型設計層層遞進，考查考生知識和方法的遷移能力，由球體模型向圓盤模型的遷移，評價了考生科學推理和科學論證的能力。

3? ? 關于雨滴圓盤模型的進一步探討

考題中給出雨滴球體模型下所受空氣阻力f=kr2v2，第3問中給出大量氣體分子在各方向運動的幾率相等，其對靜止雨滴的作用力為零，而把雨滴簡化成圓盤模型后，讓證明雨滴所受空氣阻力與雨滴圓盤速度的平方成正比。在解答過程中也認為運動著的雨滴所受空氣分子熱運動的作用力也為零，這樣的假設值得商榷。從題目解答中可以看到，對于雨滴的阻力，命題組也是僅僅考慮與空氣分子的碰撞所帶來的阻力，而不考慮粘滯阻力，筆者給出了只考慮雨滴模型與均勻分布的空氣分子碰撞下的作用力的新解法。