周宇劍 唐耀平 蔣桃燕

[摘 要] 由生活實例引出解分式方程，感受模型思想，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力。引導(dǎo)探究增根及其產(chǎn)生的原因，理解檢驗的必要性。介紹相關(guān)數(shù)學(xué)史，滲透數(shù)學(xué)文化，適時歸納思路與方法及步驟，提升學(xué)生的歸納能力和思維能力。

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);解分式方程;教學(xué)設(shè)計

[基金項目] 2019年湖南省普通高校教學(xué)改革研究項目“專業(yè)認(rèn)證背景下師范生培養(yǎng)模式構(gòu)建與實踐”（湘教通[2019]291號No.854）;2018年湖南科技學(xué)院應(yīng)用特色學(xué)科項目資助——數(shù)學(xué)、教育學(xué)（湘科院校發(fā)[2018]83號）

[作者簡介] 周宇劍（1973—），女，湖南祁陽人，教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)教育研究;唐耀平（1973—），男，湖南永州人，教授，理學(xué)院院長，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究。

[中圖分類號] G642.0 ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A ? ?[文章編號] 1674-9324（2020）36-0315-02 ? ?[收稿日期] 2019-12-26

本文對解分式方程及增根產(chǎn)生的原因進(jìn)行教學(xué)設(shè)計。

一、教材分析

解分式方程是學(xué)生在學(xué)習(xí)分式概念、分式的加減乘除的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)的內(nèi)容。主要運用轉(zhuǎn)化思想，著重培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識。

二、學(xué)情分析

學(xué)生思維活躍，對新鮮事物充滿好奇心，學(xué)習(xí)興趣濃厚，具有強(qiáng)烈的探究欲。此前已經(jīng)學(xué)習(xí)過分式、分式的乘除、分式的加減以及含分母的一元一次方程的解法，但邏輯思維比較薄弱。

三、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識與技能目標(biāo)

會解簡單的可化為一元一次方程的分式方程;掌握解分式方程驗根的方法。

（二）數(shù)學(xué)思考目標(biāo)

將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程從而求解，滲透轉(zhuǎn)化思想;理解增根產(chǎn)生的原因以及解分式方程要檢驗的道理。

（三）問題解決目標(biāo)

初步學(xué)會在實際問題中，用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題，綜合運用數(shù)學(xué)知識解決簡單的實際問題。增強(qiáng)應(yīng)用意識，提高實踐能力。

（四）情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)

通過創(chuàng)設(shè)具體情境，結(jié)合實際問題，引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、交流，解決實際問題，豐富數(shù)學(xué)課堂的成功體驗，建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

四、教學(xué)過程片段

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

一艘輪船在靜水中的最大航速為30km/h，它以最大航速沿江順流航行90km所用時間，與以最大航速逆流航行60km所用時間相等，江水的流速為多少？

我們知道，像這樣的分母中含有字母的方程叫作分式方程。怎樣求出這個分式方程的解呢？這節(jié)課我們一起來探討解分式方程。

設(shè)計意圖：通過創(chuàng)設(shè)生活情境，列出分式方程，樹立數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

（二）合作交流、探索新知

1.解分式方程。

想一想：如何解含有分母的一元一次方程？

將方程兩邊同時乘以分母的最小公倍數(shù)而達(dá)到去分母的目的。

思考：那么分式方程可不可以也先去分母，如果可以的話又怎么去分母？

獨立思考后小組交流。教師巡視課堂，幫助有困難的小組或同學(xué)。至少達(dá)成以下共識：①分式方程也可以去分母，就是找各分母的最簡公分母，方程兩邊同時乘以各分母的最簡公分母;②去分母后，分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程。通過求解整式方程能夠求解分式方程。

師生共析方程的最簡公分母為（30+v）（30-v）

去分母后得到整式方程90（30-v）=60（30+v）

求解整式方程，得到v=6。（暫不講檢驗）

設(shè)計意圖：類比解含有分母的一元一次方程的方法，讓學(xué)生通過自主探索、合作交流的方式探究出解分式方程的方法。提高學(xué)生的自信心與主動獲得知識的意識。但若接著講檢驗的話，由于該分式方程沒有增根，體現(xiàn)不出檢驗的重要性，反而讓學(xué)生覺得突兀，不好理解，故暫且將檢驗這個步驟擱置。

2.發(fā)現(xiàn)增根。

解分式方程去分母時，方程兩邊要乘以最簡公分母。方程（1）去分母后，得到的整式方程的解是v=6，此時（30+v）（30-v）≠0，即去分母時，方程1兩邊同乘以一個不為0的式子，因此所得整式方程的解與方程1的解相同。

方程2去分母后，得到的整式方程的解是v=30，此時（30+v）（30-v）=0，即去分母時，方程2兩邊同乘以了一個等于0的式子，這時所得整式方程的解使方程2出現(xiàn)分母為0的現(xiàn)象，故這個解就不是方程2的解。

升華：由解兩個分式方程，最簡公分母都相同，可是一個未知數(shù)的值是原方程的解，而另一個值卻不是原方程的解。生活中很多事物也是如此，我們觀察事物需要究其本性，不可被表面現(xiàn)象所迷惑。

增根的概念及產(chǎn)生的原因分析：解分式方程時，把分式方程兩邊同乘以最簡公分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，若求得的整式方程的解使最簡公分母的值為0，那么它不是原分式方程的根，稱它為原方程的增根。產(chǎn)生增根的原因：分式方程兩邊同乘以最簡公分母時，方程的兩邊可能會同乘了一個使分母為零的整式，從而擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍。因而不能確保原分式方程與之后的整式方程是同解的。

3.檢驗。由于解分式方程有可能會出現(xiàn)增根，所以解分式方程時需要檢驗。如何檢驗才是最簡便的？在理解增根產(chǎn)生的原因后，就明白檢驗就是驗證“去分母”這一步是否滿足同解原理，從而確認(rèn)檢驗只要代入最簡公分母即可。

4.師生共同完成解答過程后介紹分式方程及其增根的研究歷史。

5.歸納。

（1）解分式方程的一般方法：通過去分母轉(zhuǎn)化為整式方程求解。

（2）解分式方程的步驟三字口訣：一轉(zhuǎn)化、二求解、三檢驗。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生在參與分析問題和解決問題的過程中發(fā)現(xiàn)增根，并理解增根產(chǎn)生的原因，從而明白解分式方程必須要檢驗，發(fā)展學(xué)生的推理能力。接著引導(dǎo)學(xué)生在思考中領(lǐng)會檢驗的要點，有利于記憶。借機(jī)引導(dǎo)學(xué)生感悟生活中觀察事物需要究其本性，適時介紹分式方程及其增根的研究史，滲透數(shù)學(xué)文化，達(dá)到立德樹人的目的。

本教學(xué)設(shè)計由生活實例引導(dǎo)學(xué)生列出分式方程，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性的同時引出分式方程的求解問題，體會轉(zhuǎn)化思想的優(yōu)越后，引導(dǎo)學(xué)生剖析增根產(chǎn)生的原因，明白檢驗的重要性。該設(shè)計體現(xiàn)發(fā)展學(xué)生的模型意識、符號意識，滲透轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)運算能力和推理能力，符合發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的目標(biāo)和立德樹人的要求。