辛冬梅， 楊必成

（廣東第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 廣東 廣州510303）

0 引言

則有如下具有最佳常數(shù)因子kp的Hardy－Hilbert 型積分不等式：

Hardy 等在文［3］定理350 中還建立了如下非齊次核Hilbert 型不等式：若

在不等式（3）及式（4）中，若0＜p＜1（q＜0），則還存在逆向的情形.

為Beta 函數(shù).

2004 年，楊必成［6］引入兩對共軛指數(shù)輔以獨立參數(shù)，推廣了不等式（2），且常數(shù)因子為最佳值；其后，文［7－10］還給出了該法的其它應(yīng)用.2016—2019 年，洪勇等［11］給出了一般齊次核離散Hilbert 型不等式常數(shù)因子最佳性的聯(lián)系參數(shù)的等價陳述；洪勇［12］給出了一般齊次核Hilbert 型積分不等式成立的聯(lián)系多參數(shù)的一個等價條件；楊必成［13－14］考慮了一般齊次核半離散及積分不等式常數(shù)因子最佳性的聯(lián)系多參數(shù)的等價陳述.類似的及逆向的結(jié)果可參閱文［15－19］.

本文借鑒文［11］的研究思想，引入多參數(shù)，應(yīng)用實分析的技巧及權(quán)函數(shù)方法，建立一個一般非齊次核逆向的Hilbert 型積分不等式，考慮了它的等價形式及聯(lián)系最佳常數(shù)因子與多參數(shù)的等價陳述.作為應(yīng)用，給出了若干特殊核的例子.本文的引理及定理對同一類積分不等式的研究有借鑒意義.

1 若干引理

且有如下兩組受控不等式：

引入如下控制函數(shù)：

因而函數(shù)k（σ）在點σ連續(xù).證畢.

引理2如下逆向的含非齊次核Hilbert 型積分不等式成立：

證明定義權(quán)函數(shù)ω（σ，x）如下：

固定x＞0，對上述積分作變換u＝xy，可算得

同理，由對稱性，還可求得另一權(quán)函數(shù)的關(guān)系式如下：

配方，應(yīng)用逆向的H?lder 積分不等式［21］及交換積分次序的Fubini 定理［20］，再由式（10）及式（12），有不等式：

下面用反證法證明此式取嚴(yán)格不等號.若取等號，則存在不全為零的常數(shù)A和B，使［21］

不妨設(shè)A≠0.則對于幾乎處處的y∈（0，∞），有

再由式（11）及式（12），可導(dǎo)出式（10）.證畢.

注1若σ1＝σ，則代入式（8）及式（9），有條件式

及如下逆向的非齊次核Hilbert 型積分不等式：

引理3若有常數(shù)δ0＞0，使k（σ±δ0）＜∞，則式（13）的常數(shù)因子k（σ）是最佳的.

證明任給0＜ε≤pδ0，設(shè)如下函數(shù)：

若有常數(shù)M（≥k（σ）），使取代k（σ）后，式（13）仍成立，則特別有

由式（12），還可算得

基于上面的結(jié)果，有如下不等式：

令ε→0＋，由引理1 中k（σ）的連續(xù)性，有k（σ）≥M.故常數(shù)M＝k（σ）是式（13）的最佳值.證畢.

注2若則它等價于σ－σ1∈（qδ0，－qδ0）.不等式（9）可簡寫為如下形式：

由逆向帶權(quán)的H?lder 積分不等式［21］，可得

2 等價形式及等價陳述

定理1不等式（9）與下列逆向的非齊次核Hilbert型積分不等式等價：

特別地，若σ1＝σ，存在δ0＞0，使k（σ±δ0）＜∞，則成立具有最佳常數(shù)因子的式（13）及如下等價的逆向Hilbert 型積分不等式：

證明若不等式（16）為真，則由逆向的H?lder 積分不等式［20］，有

代入不等式（16），有式（9）.反之，設(shè)不等式（9）為真.置函數(shù)

則可得如下等式：

若J＝∞，則不等式（16）自然成立；若J＝0，則不等式（16）必不成立，即有條件式J＞0.下設(shè)0＜J＜∞.由不等式（9），有

即有不等式（16），且它與不等式（9）等價.

同理可證，不等式（17）成立且它與不等式（9）等價.于是，不等式（9）、式（16）與式（17）齊等價.

若不等式（9）的常數(shù)因子為最佳值，則由式（20）知式（16）的常數(shù)因子必為最佳值.不然，則導(dǎo)致式（9）的常數(shù)因子不為最佳值的矛盾.同理，若不等式（17）的常數(shù)因子為最佳值，則可導(dǎo)出式（9）的常數(shù)因子也不為最佳值的矛盾.故不等式（16）及不等式（17）的常數(shù)因子是最佳值等價于不等式（9）的相同常數(shù)因子也是最佳值.證畢.

定理2若存在常數(shù)δ0＞0，使k（σ±δ0）＜∞，則下列陳述等價：

證明（i）?（ii）. 由條件及引理1 中k（σ）的連續(xù)性，有

（ii）?（iii）.設(shè)則不等式（15）取等號.由引理4，若σ－σ1∈（qδ0，－qδ0），則可得關(guān)系式σ1＝σ.

（iii）?（i）. 因σ1＝σ，有

它們與p、q無關(guān).因而（i）?（ii）?（iii）.

（iii）?（iv）. 若σ1＝σ，由引理3 及定理1，不等式（9）、式（16）及式（17）的常數(shù)因子（＝k（σ））都為最佳值.

（iv）?（iii）. 由引理4，因σ－σ1∈（qδ0，－qδ0），有σ1＝σ.因而（iii）?（iv）.故陳述（i）（ii）（iii）及（iv）齊等價.證畢.

3 若干特例應(yīng)用

取δ0∈（0，min｛σ＋α，λ－σ＋α｝）.則有－α＜σ±δ0＜λ＋α，k（σ±δ0）∈R＋.應(yīng)用定理1 及定理2，可得一些特殊核的結(jié)果.