□吳小燕 項祖法

（杭州市蕭山區(qū)教師發(fā)展學(xué)院，浙江杭州 311201）

問題提出在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有重要的地位，正如愛因斯坦所言：“提出一個好問題往往比解決一個問題更重要”.問題提出可以給學(xué)生提供更多的學(xué)習(xí)機會，從而培養(yǎng)他們的應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識.近兩年來，我們在長江學(xué)者、美國特拉華大學(xué)教授蔡金法團隊的引領(lǐng)下，對中小學(xué)數(shù)學(xué)問題提出教學(xué)進行了重點研究.蔡金法就數(shù)學(xué)問題提出的定義作了這樣的說明：數(shù)學(xué)問題提出是指基于某個問題情境，通過接受已知或改變已知的方式來發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)問題，然后將其以問題的形式表達出來[1].因此，有效的數(shù)學(xué)情境是學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ).我們針對不同內(nèi)容的不同需求，在通過任務(wù)驅(qū)動型、操作實踐型、變式教學(xué)型、質(zhì)疑問難型數(shù)學(xué)情境，加強問題提出與解決、促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)的教學(xué)實踐與研究中，收獲了一些成果.

一、利用任務(wù)驅(qū)動型情境激發(fā)學(xué)生的探究欲望

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準強調(diào)要加強生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系.在浙教版教材九年級上冊第三章“圓”第二課時的教學(xué)實踐中，我們從身邊的現(xiàn)象入手，創(chuàng)設(shè)了任務(wù)驅(qū)動型的情境，把學(xué)生原有認知基礎(chǔ)與當前情境背景下的問題有效結(jié)合起來.

學(xué)習(xí)該內(nèi)容之前，學(xué)生已經(jīng)理解確定圓心與半徑，就可以畫出圓，在此基礎(chǔ)上，還認識了弦、圓弧.而當前教學(xué)目標之一是經(jīng)歷不在同一直線上的三個點確定一個圓的探索過程，了解不在同一直線上的三個點確定一個圓.為此，我們創(chuàng)設(shè)了如下情境：

王奶奶有一個心愛的手鐲，不小心打碎了（如圖1），這是其中最長的一段.王奶奶非常想再定制一個一樣大小的手鐲.你能根據(jù)此圖想到并提出一些跟圓有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，幫王奶奶了卻愿望嗎？

圖1

面對這樣一個現(xiàn)實問題，學(xué)生非常愿意用自己所學(xué)的知識一展身手（約定破損的手鐲看成是一段圓弧）.在學(xué)習(xí)過程中，我們看到學(xué)生提出許多與圓有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，歸納如下：

問題1：可以根據(jù)圓的一部分畫出整個圓嗎？

問題2：一個圓中的任意一段圓弧是否可以通過旋轉(zhuǎn)或拼湊形成一個圓？

問題3：怎么找到這段圓弧所在圓的圓心？

問題4：這段圓弧的半徑怎樣確定？

問題5：是不是所有的破損圓都可以恢復(fù)原形？

問題6：這段破損的圓弧周長是多少？能求出所在圓的面積嗎？

針對學(xué)生提出的問題，教師引領(lǐng)學(xué)生探究討論，并轉(zhuǎn)化成利用這段圓弧來找出圓心和半徑，操作中學(xué)生提出如下問題：

問題7：經(jīng)過兩個已知點（比如圓弧的兩個端點）能畫幾個圓？

問題8：經(jīng)過圓弧上三個點，能畫出幾個圓？

問題9：經(jīng)過圓弧上四個點，能畫出幾個圓？

問題10：經(jīng)過圓弧上至少幾個點就可以找出圓心，畫出圓？

在這樣的任務(wù)驅(qū)動情境下，促進了學(xué)生有條理地進行數(shù)學(xué)思考和表達，使學(xué)生的學(xué)習(xí)不斷得到深入與發(fā)展.

在教學(xué)實踐中，我們注意到任務(wù)驅(qū)動型的數(shù)學(xué)情境創(chuàng)設(shè)，需順應(yīng)學(xué)生的年齡特征與生活實際，通過激發(fā)學(xué)生內(nèi)心的主動性來實現(xiàn)提出問題與解決問題.在圓弧上取一點探圓心，到圓弧上取兩點探圓心（如圖2），到圓弧上取三個點確定圓心（如圖3）的過程中，學(xué)生充分體會到探究這類問題的方法與數(shù)學(xué)思想，學(xué)會運用數(shù)學(xué)思維來思考當前數(shù)學(xué)情境，促進學(xué)生深度思考，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

圖2

圖3

二、利用操作實踐型情境形成學(xué)生的方法遷移

動手操作是探究數(shù)學(xué)知識、獲得活動經(jīng)驗的重要形式，不同學(xué)生的操作結(jié)果可能不一樣，但這為同伴互助探究提供豐富的素材，能引發(fā)更多數(shù)學(xué)問題的提出，有效促進學(xué)生學(xué)習(xí)的深入.圖形的折疊是幾何中最常見的一種軸對稱變換，折疊問題可以綜合特殊三角形、四邊形等知識，把方程思想、分類思想等思想方法蘊含其中.

有一張長為20cm，寬為12cm 的矩形紙片，請將矩形紙片ABCD折疊一次；觀察你所折疊的圖形，并思考可以研究怎樣的數(shù)學(xué)問題（先個人操作思考，后小組合作討論）.

折疊情況如圖4所示.

圖4

小組提出的問題主要有：

問題1：折疊后發(fā)現(xiàn)多種情況看似因為折疊方式的不同，其實就是折痕位置的不同，當選定某一種方式時，我們要問，折痕位置在哪里？線段的長又是多少？

問題2：不同的折疊情況下都產(chǎn)生重疊面積，重疊面積分別是多少？

問題3：求面積的關(guān)鍵其實就是求相關(guān)線段的長度，我們怎樣求得折痕長度和一些相關(guān)線段的長度呢？

問題4：這么多的折疊情況，我們選擇哪幾個圖形來研究比較好？

有學(xué)生回答，應(yīng)該先解決一類特殊的折疊，就是通過折疊使得點B落在邊AD上（如圖5）.

圖5

創(chuàng)設(shè)動手操作的數(shù)學(xué)情境，能為問題提出提供可以觸摸的、現(xiàn)實的學(xué)習(xí)素材.學(xué)生在經(jīng)歷操作、觀察、抽象、運算等學(xué)習(xí)過程，考慮問題更加深入，從而提升數(shù)學(xué)的思考力.一般學(xué)生通過對這些操作素材的觀察，可以提出一些基礎(chǔ)性的問題，從而增進他們的學(xué)習(xí)機會；基礎(chǔ)較好的學(xué)生在簡單問題的基礎(chǔ)上能提出更有深度的問題，引發(fā)一題多解，并由特殊解法向一般解法推廣，從而促進學(xué)習(xí)方法的遷移.

操作實踐型情境給學(xué)生提供一個親身體驗的過程，使課程內(nèi)容的呈現(xiàn)更顯層次性和多樣性，能讓更多的學(xué)生有表達自己想法的機會.教師充分利用這些操作素材，及時抓住提問機會，不斷刺激學(xué)生形成新的想法和問題，可以將學(xué)習(xí)活動推向更深、更廣的層次.

三、利用變式教學(xué)型情境提升學(xué)生知識建構(gòu)能力

知識體系的建構(gòu)能促進知識的理解與掌握.問題提出教學(xué)中，學(xué)生提出的問題具有層次性與發(fā)展性，對知識鏈接起到極大的推動作用.在“三角形專題復(fù)習(xí)”的教學(xué)實踐中，我們以基礎(chǔ)問題為知識建構(gòu)型情境，在解決問題和知識重構(gòu)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)生成新的問題（如變式問題）和學(xué)習(xí)內(nèi)容.

（一）基礎(chǔ)問題

已知在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=6，請?zhí)岢鐾ㄟ^計算求值的數(shù)學(xué)問題.

學(xué)生根據(jù)以前所學(xué)的三角形的高線、中線與角平分線等內(nèi)容，集中提出以下問題：

問題1：三角形的面積是多少？

問題2：三角形的高線是多長？

問題3：三角形的中線、角平分線又各是多少？

這些問題涉及面積、高、中線、角平分線，由于考慮到部分問題的解決方法類似，就統(tǒng)一選取BC邊上的高、BC邊上的中線及∠A的平分線長來解答.學(xué)生通過分析看到這些量之間的關(guān)系，抓住核心問題，順藤摸瓜，順利地解決了這些問題.下面是我們在教學(xué)中學(xué)生求高線、中線與角平分線的解答過程.

求高線：在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=6，求BC邊上高線AD的長（如圖6）.

圖6

求中線：在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=6，求BC邊上中線AH的長.

求角平分線：在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=6，求∠BAC平分線AF的長（如圖7）.

圖7

（二）變式問題

已知在△ABC中，AB=3，AC=5，請?zhí)岢鱿嚓P(guān)的數(shù)學(xué)問題.

前面已經(jīng)計算了三角形的中線、高線與角平分線，順此思路，學(xué)生自然想到長度，但不能計算具體的值，那么它們的范圍是否可以探究？于是有學(xué)生進一步提出：

問題1：BC邊上高線的最佳范圍是什么？

問題2：BC邊上中線的取值范圍是什么？

問題3：∠A平分線的取值范圍是什么？

問題1 比較簡單，學(xué)生畫圖后口答解決，問題2、問題3的解答如下：

變式一：△ABC中，AB=3，AC=5，求BC邊上中線AH的取值范圍.

解法1：倍長中線（如圖8）.

解法2：中位線（如圖9）.

圖8

在△ACE中AC-CE＜2AH＜AC+CE1＜AH＜4

在△AFH中AF-FH＜AH＜AF+FH1＜AH＜4

變式二：△ABC中，AB=3，AC=5，求∠A平分線AF的取值范圍（如圖10）.

圖10

在教學(xué)活動中，問題提出與問題解決是一個有機的整體.因此，問題情境的創(chuàng)設(shè)需同時考慮兩者的需要，既要有利于學(xué)生提出問題，又要有利于學(xué)生再次利用情境和素材解決問題，充分發(fā)揮問題情境的多重作用.本案例在設(shè)置基礎(chǔ)問題之上，巧妙變式求高線、中線、角平分線的范圍，這樣，使學(xué)生保持思考過程的連貫性，促進了學(xué)習(xí)的深化.此外，利用兼顧問題提出與解決的情境，有助于學(xué)生形成完整的解決問題的思路，經(jīng)歷完整的解決問題的過程，對于發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識與實踐能力也能起到較大的推動作用.

四、利用質(zhì)疑問難型情境完善學(xué)生數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個不斷完善的過程，在學(xué)習(xí)過程中，只有勇于挑戰(zhàn)困難，才能不斷彌補短板，形成更加完整的知識體系.在教學(xué)過程中，很多學(xué)生對于有難度的問題會采取回避的態(tài)度，不敢主動請教老師或同學(xué).在八年級上冊第五章“一元一次不等式”的學(xué)習(xí)中，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生對“在含有兩個字母的一次不等式中，明確了未知數(shù)的取值，求含參量字母的取值范圍”這類題型存在解法上的困難，其原因是不等式中的兩個字母干擾學(xué)生的思維，造成認知障礙和理解困難.教師有針對性地選擇素材，由學(xué)生來編題，再引導(dǎo)學(xué)生自行解決，改變學(xué)習(xí)方式，將主動權(quán)交還給學(xué)生，促使他們發(fā)現(xiàn)錯因并糾正錯誤.教學(xué)過程中，我們通過以下情境，引導(dǎo)學(xué)生提出問題：

對于不等式( )a-2x＞-2，請同學(xué)們添加一個條件，提出一個思維含量較高的數(shù)學(xué)問題考考大家.

在這一情境下，學(xué)生提出的問題充分展現(xiàn)其尚未掌握的“疑難雜癥”.這些問題按照難易程度排列如下：

問題1：當a＜2，求x的解集.

問題3：x＜4，求a的值.

問題4：不等式的正整數(shù)解為1，2，3，求a的取值范圍.

問題5：不等式有4個負整數(shù)解，求a的取值范圍.

在解答這些問題的過程中，學(xué)生逐步歸納出解系數(shù)含參的一元一次不等式的一般步驟：在系數(shù)化為1 時，先判斷系數(shù)的正負情況，從而根據(jù)不等式的性質(zhì)求出解集；將不等式中的字母看作常數(shù)，解出不等式的解集，將解出的解集和已知條件相對應(yīng)，確定大致范圍（利用數(shù)軸確定不等式的解集），驗證端點值（對范圍的端點進行代入驗證）.

這些問題都是平時易錯的題型，用“考考大家”的方式讓學(xué)生給同伴提出問題，更能滿足學(xué)生的表現(xiàn)欲，釋放其思維中的糾結(jié)點，同時也將學(xué)生的錯誤或困惑有效轉(zhuǎn)化為一種寶貴教學(xué)資源，成為提升學(xué)生深度學(xué)習(xí)能力的一服良藥.

質(zhì)疑問難型情境的創(chuàng)設(shè)，能再次激發(fā)學(xué)生的認知沖突，通過學(xué)生提出問題、解決問題來完善原有的認知結(jié)構(gòu)，從中反省自身的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).這樣的情境創(chuàng)設(shè)素材需要教師平時悉心觀察，敏銳地捕捉學(xué)生的易錯點，及時標記或記載，并進行分析與歸類.