鄭 濤,周欣然,張 龍

(新疆大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院,新疆 烏魯木齊 830046)

Lotka-Volterra種群模型在描述不同生物種群之間的相互關系之中扮演著重要的角色,這些模型包括捕食模型、競爭模型和合作模型。生物種群彼此之間經(jīng)常會為了有限的資源呈現(xiàn)相互捕食、競爭、合作的關系[1-6]。但是在現(xiàn)實環(huán)境中,許多物種之間的關系并不是單一的,而是要相對復雜一些。當生物種群周圍的環(huán)境發(fā)生變化時,種群之間的相互關系也會發(fā)生相應調整。比如，3個種群之間的捕食-競爭關系與捕食-合作關系的相互轉化。本文不同于前人對于種群間單種關系的研究,我們對于3個種群之間存在的捕食-競爭關系與捕食-合作關系隨時間做交替地周期變化的兩類模型合并成一類三種群的捕食-競爭-合作混雜模型進行研究,討論這樣的系統(tǒng)下正平衡點的全局漸近穩(wěn)定性[7-13]。

1 模型

具有時間周期的三種群捕食-競爭-合作混雜模型：

(1)

這里x和y是兩食餌種群密度,z是捕食者種群密度,其中z種群同時捕食x和y兩種群,x和y兩種群之間存在隨時間變化的相互關系,當時間t∈[2kτ,(2k+1)τ],種群x和種群y為相互競爭關系;當時間t∈[(2k+1)τ,(2k+2)τ],種群x和種群y為相互合作關系。其余各系數(shù)皆為正數(shù)。

為了方便研究,可以將式(1)合并為：

(2)

式中各系數(shù)為：

式中n∈N,各系數(shù)皆為正數(shù)。

2 正性與有界性

為了討論方便,系統(tǒng)(2)可以寫成矩陣形式

式中：

(3)

在討論系統(tǒng)(2)解的有界性之前,先引進定義1。

定義1設Q為實矩陣,如果存在一個正的對角矩陣W,使得WQ+QTW是正定的,則稱Q∈SW。

證明由于-B∈SW,所以存在正的對角矩陣

W=diag(ω1,ω2,ω3),ωi>0,i=1,2,3,

使得W(-B)+(-B)TW是正定的。

S(t)=ω1x+ω2y+ω3z。

那么由微分方程的比較原理[7]有

式中所有的二次項系數(shù)都為負,從而一定存在正數(shù)L,使得

3 正平衡點的全局漸近穩(wěn)定性

(4)

式中正平衡點為：

(5)

式中正平衡點：

設E={x*,y*,z*}為系統(tǒng)(2)的正平衡點,即E滿足：

(6)

式中

正平衡點：

下面給出正平衡點E全局漸近穩(wěn)定性的條件。

定理2若系統(tǒng)(2)滿足條件-B∈SW,且

(7)

則其正平衡點全局漸近穩(wěn)定。

證明定義Lyapunov 函數(shù)

式中ωi>0,i=1,2,3為待定常數(shù)。

沿著系統(tǒng)(2)的正解對V(h)求關于t的導數(shù)有

ω1(x-x*)(a1-b1x*+b1x*-c1z*+c1z*-d1y*+d1y*-b1x-c1z-d1y)+

ω2(y-y*)(a2-b2y*+b2y*-c2z*+c2z*-d2x*+d2x*-b2y-c2z-d2x)+

ω3(z-z*)(a3-b3z*+b3z*-c3x*+c3x*-d3y*+d3y*-b3z+c3x+d3y)=

ω1(x-x*)[b1(x*-x)+c1(z*-z)+d1(y*-y)]+

ω2(y-y*)[b2(y*-y)+c2(z*-z)+d2(x*-x)]+

ω3(z-z*)[b3(z*-z)+c3(x-x*)+d3(y-y*)]=

-b1ω1(x-x*)2-b2ω2(y-y*)2-b3ω3(z-z*)2+

(ω3c3-ω1c1)(x-x*)(z-z*)+(ω1d1+ω2d2)(x-x*)(y*-y)+

(ω2c2-ω3d3)(y-y*)(z*-z)≤

在此取定ω1=ω2=ω3=1,并利用式(7),則有

因此正平衡點E是全局漸近穩(wěn)定的。證畢。

4 數(shù)值模擬

通過MATLAB軟件進行數(shù)值模擬,驗證該系統(tǒng)正平衡點具有全局漸近穩(wěn)定性。在此取定相應系數(shù)值：

由此容易驗證

-B∈SW,且式(7)成立。

模擬1捕食-合作階段和捕食-競爭階段都滿足式(7)時，分別模擬出系統(tǒng)(2)中x、y、z三種群密度隨時間變化的時間序列與三維空間相。

圖1、2中的解曲線分別代表系統(tǒng)(2)的初始值(x0,y0,z0)取定為(2.5,2.2,5.0),(2.8,2.4,4.8),(3.0,2.7,5.5),(3.4,2.5,5.2)的種群x、y、z的種群密度的時間序列與三維空間相。

圖1 模擬1的時間序列Fig.1 Time series diagram of simulation 1

圖2 模擬1的三維空間相Fig.2 3D phase diagram of simulation 1

模擬2取定一組相關系數(shù)使得2個階段中的捕食-合作階段滿足式(7),然而捕食-競爭階段不滿足式(7),則模擬結果為圖3和圖4。

圖3 模擬2的時間序列Fig.3 Time series diagram of simulation 2

圖4 模擬2的三維空間相Fig.4 3D phase diagram of simulation 2

圖3、4中的解曲線分別代表系統(tǒng)(2)的初始值(x0,y0,z0)取定為(2.5,2.2,5.0),(2.8,2.4,4.8),(3.0,2.7,5.5),(3.4,2.5,5.2)的種群x、y、z的種群密度的時間序列與三維空間相。

模擬3取定一組相關系數(shù)使得2個階段中的捕食-合作階段與捕食-競爭階段都不滿足式(7),則模擬結果如圖5、6。

圖5、6中的解曲線分別代表系統(tǒng)(2)的初始值(x0,y0,z0)取定為(2.5,2.2,5.0),(2.8,2.4,4.8),(3.0,2.7,5.5),(3.4,2.5,5.2)的種群x、y、z的種群密度的時間序列與三維空間相。

圖5 模擬3的時間序列Fig.5 Time series diagram of simulation 3

由模擬出的圖像可以看出,圖1中的x、y、z3個種群密度隨時間呈現(xiàn)反復交替的周期變化,并且三者的種群密度三維空間相圖最終構成了一個閉合的圖像,由此可以看出,系統(tǒng)(2)的正平衡點E=(x*,y*,z*)構成了一個周期的閉軌。圖2兩個階段中若單個階段滿足條件式(7)，依舊能構成一個周期的閉軌,然而圖3中2個階段都不滿足式(7),可以看到其中有一個食餌種群最終滅絕了,并且得不到周期的閉軌。

圖6 模擬3的三維空間相Fig.6 3D phase diagram of simulation 3

5 結論

本文通過將3個種群之間的捕食-競爭與捕食-合作關系隨時間周期變化的兩類模型合并成一類三種群的捕食-競爭-合作混雜模型,討論該模型下的系統(tǒng)解的正性、有界性,給出了系統(tǒng)正平衡點全局漸近穩(wěn)定性的充分條件,證明了正平衡點的全局漸近穩(wěn)定性。最后通過數(shù)值模擬檢驗了這一結論,并給出了若2個階段中單個滿足這一充分條件下的數(shù)值模擬。