徐昕 金雪瑩 高浩然 程杰 陸洋 陳東 于連棟

(合肥工業(yè)大學儀器科學與光電工程學院, 合肥 230009)

不同的頻率失諧會在耦合光學微腔激發(fā)出不同的工作模式. 以兩個耦合光場的非線性薛定諤方程為理論模型, 分別研究了失諧參量正調諧和負調諧過程中微腔內光場的變化. 理論分析結果表明, 在正失諧區(qū)域中, 腔內光場可由多脈沖形式演變?yōu)榱凉伦? 但亮孤子存在范圍較小, 當失諧參量過大時, 腔內光場會演化為直流分布. 在負失諧區(qū)域, 腔內可以形成較高功率“圖靈環(huán)”形式的光場. 當耦合微腔沒有發(fā)生頻率失諧, 或者失諧參量接近0 時, 腔內只能形成混沌形式的光場分布. 當耦合微腔內激發(fā)出光孤子后, 通過選取合適的失諧參量和抽運功率, 可在腔內維持穩(wěn)定的亮孤子. 此外還可通過繼續(xù)調諧第一個微腔的失諧參量, 將亮孤子轉變?yōu)榈凸β实摹皥D靈環(huán)”. 理論分析結果對耦合微腔的實驗研究具有重要意義.

1 引 言

目前, 基于光學微腔的光頻梳技術憑借體積小、集成度高、低損耗, 尤其是梳齒間頻率間隔大等優(yōu)點, 廣泛應用于頻率測量、絕對距離測量、任意波形產生、精密光鐘等領域[1?4]. 光學微腔內, 由于其結構對光場的束縛, 使得腔內的光場因具有極高的功率密度而產生級聯(lián)的四波混頻效應, 從而將抽運光模式轉移到鄰近的模式上, 在腔內產生一系列寬帶的梳狀光譜[5]. 目前, 國內外很多單位已經開展了關于光學微腔的研究, 已經在理論和實驗上得到了各種形式的光場, 比如亮孤子、暗孤子、圖靈環(huán)、混沌等[6?9]. 其中, 模式鎖定的孤子光頻梳對于光學微腔的實際應用具有重大意義, 也為光頻信號和微波電信號之間的轉換提供了重要的技術支持[10]. 此外, 將以Si 為基底的Si3N4光學微腔和具有光放大功能的光纖環(huán)結合起來, 能夠獲得更加穩(wěn)定的光頻梳, 并且能夠有效避免熱效應和環(huán)境振動對系統(tǒng)產生的干擾[11], 這樣一種結構也被應用于測量鎖模激光器的光譜[12]. 光學微腔也因其優(yōu)異的光學性能, 成為當前的研究熱點.

近些年, 由于精密光刻技術的不斷發(fā)展, 以Si 為基底的Si3N4光學微腔的加工水平和加工精度都不斷提升[13]. 在此基礎上, 研究者提出了一種新型的耦合雙微腔結構. 通過采用雙微腔耦合的方式, 可以極大地增大抽運模式到其他模式的轉換效率, 抽運光的利用率被提高了一個數量級[14]. 且相比于單個微腔, 雙微腔耦合的光學系統(tǒng)能夠在實驗中提供更多的可調節(jié)參數, 以產生各種形式的穩(wěn)定光場, 但由于參數較多, 使得對其工作狀態(tài)和內部光場的控制變得更加復雜. 此外, 在普通微腔色散、非線性、損耗等作用的基礎上, 雙微腔結構中兩個微腔內的光場會相互作用, 因此還需要考慮兩個微腔之間的耦合效應. 所以, 需要更有效的方式對腔內光場進行調控. 研究中發(fā)現, 通過調諧雙微腔的失諧參量, 可以激發(fā)出耦合微腔的多種工作狀態(tài), 因此對耦合微腔的調諧過程進行研究具有重要意義. 目前, 關于耦合光學微腔的研究范圍還比較局限. 基于離散的非線性薛定諤方程, 有學者研究了耦合光學微腔中的自脈沖和混沌現象, 然而他們研究的耦合微腔采用的是波導阻隔微腔的結構, 即波導和微腔之間是串聯(lián)的結構[15,16], 這完全區(qū)別于我們討論的波導和微腔耦合的光學結構. 此外, 在由若干個光學微腔耦合形成的微腔鏈結構中, 也可產生光學脈沖, 但是缺少對微腔內光場調諧和演化過程的研究[17,18]. 因此, 關于耦合光學微腔調諧過程對工作狀態(tài)的激發(fā)和影響, 還沒有相關報道. 本文以雙微腔耦合的非線性薛定諤方程為理論模型,分別研究了失諧參量正調諧和負調諧過程中各階段微腔內光場和光功率的變化, 并且通過選擇合適失諧參數維持調諧過程中激發(fā)出的光孤子.

2 理論模型

以Si 為基底的Si3N4雙微腔耦合的結構如圖1所示, 抽運光通過腔2 一側的波導結構耦合進入微腔, 當兩個微腔的間距滿足適當條件時, 光場在兩個微腔之間發(fā)生耦合, 最終的光場由D 端口輸出.分別由E1和E2表示兩個微腔中的光場, 兩個微腔內的光場滿足以下耦合的非線性薛定諤方程[14]:

T 端口和D 端口的輸出光場ET和ED分別為

這里,z表示光場在微腔中的傳播距離;t是光的傳播時間, 即快時間, 可以用來表征圓形微腔的方位角;ai1和ai2分別為光場在兩個腔內傳播時的損耗, 損耗的大小主要取決于材料對光的吸收, 對Si3N4材料的光學微腔, 一般采用波長為1550 nm的連續(xù)光抽運, Si3N4材料對這一波長的光吸收效率非常低, 因此為了簡化模型, 本文中不考慮光在微腔傳播中的損耗, 即ai1=ai2= 0;d1和d2是兩個微腔抽運光頻率和微腔諧振頻率間的失諧參數,它們是由微腔自身的結構和抽運波長決定的, 在實驗中通過調節(jié)抽運光的波長可達到對失諧參數進行調節(jié)的目的;g1和g2是非線性系數, Dk'是群速度失配,和為光場的二階色散系數, 這些參數都和光學微腔的材料相關;L是微腔的長度, 在實驗中可根據對輸出光場的需求設計這一參數;ac1=q1/(2L),ac2=q2/(2L),q1和q2分別表示兩個微腔和抽運光場之間的耦合效率, 它由抽運光的輸入波導和第二個光學微腔之間的距離決定;κp=q12=q21是兩個微腔之間的耦合效率, 當兩個光學微腔之間的距離過大或者過小, 都會導致耦合效率的降低, 因此在設計雙微腔耦合系統(tǒng)時, 需要找到兩個微腔間的最佳間距, 以達到最大的耦合效率;Pin為抽運光的功率,. 此外, 光場在腔內循環(huán)一周的時間用tR表示, 自由光譜范圍FSR=1/tR. 采用分布傅里葉法求解方程(1)和(2), 可以分別得到兩個微腔中光場分布隨時間的變化情況,結合方程(3)和(4)可以得到耦合微腔的D 端口的輸出光場和T 端口輸出的殘余光場.

圖1 雙微腔耦合結構示意圖Fig. 1. Structure of the dual coupled optical microcavities.

3 理論分析

3.1 失諧參量調諧過程中耦合光場的變化

以Si 為基底的Si3N4耦合微腔的各項參數如下:g1=g2= 1 m–1·W–1, Dk'= 1.282 × 10 –10 s·m–1,q1= 9.114 × 10–3,q2= 1.063 × 10–2,q12= 3.038 ×10–3,=?100 ps2/km,=?100 ps2/km. 此外,假設耦合的兩個微腔尺寸相同,FSR1=FSR2=200 GHz. 失諧參量d1, 2= 2π·Df1, 2/(FSR1, 2·L),其中, Df1, 2是抽運和微腔諧振之間的失諧頻率,改變Df1, 2可通過調節(jié)抽運光頻率或給光學微腔施加外力產生微小形變來實現. 假設耦合的光學微腔初始的失諧參量d1, 2= 0, 使用連續(xù)光對兩個微腔進行抽運, 抽運光功率Pin= 10 W. 腔內初始的光場是由調制不穩(wěn)定性(modulation instability,MI)產生的, 因此可以假設兩個微腔內的初始光場符合高斯分布:E10=E20=E0exp [ –(t/t0)2][19].在抽運過程中, 失諧頻率Df1, 2均以12.73 GHz/μs的速度變化, 即失諧參量d1, 2的值不斷增加, 這一調諧過程稱為正失諧區(qū)域. 根據(4)式可知, 雙耦合微腔結構中, 輸出的光場是由第一個光學微腔中的光場決定的, 因此重點討論第一個光學微腔中的光場分布.

在耦合效應、非線性效應和色散的作用下, 第一個光學微腔中光場隨時間的演化如圖2(a)所示,可以看到, 光場的演化過程可分為四個階段, 各階段區(qū)分明顯, 四個階段的劃分和相應階段中第一個微腔內的光場總功率隨時間的變化曲線如圖2(b)所示, 圖2(c)是各階段光場的分布情況和對應的光譜. 在第一階段中, 雖然兩個微腔的失諧參量較小, 但第一個微腔內處于混沌狀態(tài)[20], 光場由一系列不規(guī)則的、功率較大的尖峰組成, 且分布隨時間隨機變化, 此時的光譜由雜亂的梳齒組成, 每個梳齒的功率也隨時間時刻變化(圖2(c)中的(1-1),(1-2)). 混沌光場是由抽運在腔內激發(fā)出很多不穩(wěn)定的諧振模式產生的, 這些不穩(wěn)定的模式在抽運的作用下繼續(xù)產生二階或者更高階的梳齒, 最終導致腔內模式混亂, 光場分布無規(guī)則. 這種混沌光場也造成了圖2(b)中功率曲線的劇烈振蕩, 但兩個微腔內的功率總體呈增長趨勢, D 端口輸出的光功率和T 端口殘余的光功率相對較弱. 從第一階段到第二階段, 在圖2(b)的功率曲線中, 可以看到腔內功率出現了突變, 因此在實際中, 可以通過監(jiān)測D 端口輸出的光功率, 來判斷此時光場的狀態(tài). 光場的演化也出現了明顯的分界線, 第一個微腔內隨機地出現了若干脈沖, 對應的腔內光譜仍是無規(guī)則的梳齒, 但各梳齒的功率相對穩(wěn)定(圖2(c)中的(2-1), (2-2)), 由于微腔對光場模式具有選擇性, 產生的脈沖在維持一段時間后逐漸消失, 最終只剩下單脈沖形式的光場, 此時的光場歸納為光場演變過程中的第三階段. 在這一階段中, 腔內始終保持單脈沖的形式, 即在腔內形成了亮孤子, 此時的光譜是一個平整的寬帶梳狀光譜(圖2(c)中的(3-1),(3-2)), 腔內功率也相對穩(wěn)定. 由于失諧參量繼續(xù)不斷增大, 導致抽運光無法在腔內激發(fā)產生諧振模式, 亮孤子在腔內維持一段時間后消失, 此時為第四階段的光場. 在這一階段, 腔內光功率處于較低水平, 且腔內各位置的光功率差值僅為10–15W 數量級, 因此可以認為腔內為直流光場, 對應的光譜僅存在一個抽運光模式, 無梳狀光譜產生(圖2(c)中的(4-1), (4-2)). 此時兩個腔內的光功率都處于較弱的水平, 大部分的能量作為殘余的光場由D 端口輸出.

圖2 (a)失諧參量在正方向調諧過程中, 第一個光學微腔內光場分布隨時間的演化; (b) 失諧參量調諧過程中, 光功率隨時間的變化曲線; (c)與圖(b)中各個階段對應的光場分布和光譜圖Fig. 2. (a) Evolution of the optical field inside the first microcavity in the region of positive frequency tuning; (b) curves of the optical power variation in the process of frequency tuning; (c) field distribution and spectra corresponding to each stage in Fig. (b).

在以上討論的基礎上, 圖2 中各參數取值不變, 僅改變失諧頻率Df1, 2的變化方向, Df1, 2均以–12.73 GHz/μs 的速度發(fā)生改變, 即失諧參量d1, 2的值往負方向不斷增加, 這一過程稱為負調諧區(qū)域, 光場分布的演化和腔內光功率的變化曲線如圖3 所示. 根據光場分布的變化, 將調諧的過程也分為四個階段. 在第一階段中, 抽運和微腔諧振頻率間輕微地失諧, 微腔內產生混沌光場(圖3(c)中的(1-1), (1-2)), 腔內的光功率同樣出現大幅的振蕩, 但總的功率呈現衰減的趨勢, 說明隨著頻率失諧參量在負方向上增加, 腔內由頻率失諧引起的損耗逐漸增大, 導致腔內的功率下降. 隨著失諧的進一步加劇, 腔內的MI 導致微腔工作于“圖靈環(huán)”狀態(tài)[21], 腔內光場演化出36 個近似的脈沖結構,光譜每隔36FSR, 就會有一個功率較大的梳齒(圖3(c)中的(2-1), (2-2)), 此時的脈沖峰值功率大約25 W. 失諧增加使得微腔光場的演化進入第三階段, 腔內仍然存在等間距的脈沖光場, 但由于MI 作用的增強, 光場強度明顯減弱, 脈沖數目增加為41 個, 相應的光譜圖中兩個相鄰的峰值間隔了41FSR. 到第四階段, 微腔內的光場由于失諧過大, 腔內僅存在直流光場分布, 無法產生梳狀光譜.

結合圖2 和圖3 可以看到, 耦合雙微腔結構中, 在正失諧區(qū)域腔內由于微腔對光場模式的選擇性, 在腔內可形成亮孤子形式的光場, 但亮孤子存在區(qū)域較小, 因此失諧參量需要選取合適的范圍來激發(fā)亮孤子光場. 在負失諧區(qū)域中, 耦合微腔內會因MI 形成“圖靈環(huán)”形式的多脈沖光場, 同樣地,該區(qū)域范圍也較小. 而當耦合微腔沒有發(fā)生頻率失諧, 或者失諧參量接近0 時, 腔內只能形成混沌形式的光場分布, 因此低失諧并不利于腔內亮孤子或者多脈沖形式的光場產生.

圖3 (a)失諧參量在負方向調諧過程中, 第一個光學微腔內光場分布隨時間的演化; (b) 失諧參量調諧過程中, 光功率隨時間的變化曲線; (c)與圖(b)中各個階段對應的光場分布和光譜圖Fig. 3. (a) Evolution of the optical field inside the first microcavity in the process of negative frequency tuning; (b) curves of the optical power variation in the process of frequency tuning; (c) field distribution and spectra corresponding to each stage in Fig. (b).

在耦合光學微腔中, 兩個微腔之間的耦合距離會對耦合強度k12和k21以及微腔的諧振頻率產生重要影響, 進而影響耦合微腔的頻率調諧過程. 當雙微腔的間距小于某一特定值時, 兩微腔之間的模式耦合強度較大, 同時會產生模式劈裂效應, 引起腔內失諧加重, 模式分布混亂, 進而導致微腔的品質因子降低、散射損耗增加; 而雙微腔間距較大時,雖然耦合作用減弱, 模式劈裂效應也會消失, 但也會無法在腔內激發(fā)出有效光場[22,23]. 為研究雙微腔強耦合過程中的模式劈裂效應對頻率調諧過程產生的影響, 在圖2 和圖3 耦合強度取值(k12=k21=37)的基礎上, 增加耦合強度進行了研究. 當k12=k21= 80 時, 在正調諧過程中, 光場經歷了混沌模式, 從混沌光場中演化出了穩(wěn)定的雙脈沖形式的光場分布, 且雙脈沖在腔內同時出現和消失, 腔內最終仍然為直流光場, 結果如圖4(a)所示. 圖4(b)是強耦合光學微腔的失諧頻率負調諧過程中光場的演化, 光場從混沌狀態(tài)直接演變?yōu)橹绷鞴鈭? 與圖3(a)相比, 缺少了“圖靈環(huán)”的過程. 研究中發(fā)現, 進一步增加耦合強度(k12=k21= 100), 腔內的模式劈裂和散射損耗過強, 腔內的光場直接衰減為直流光場. 因此, 當雙微腔耦合距離太小, 耦合強度過大的情況下, 強耦合作用和模式劈裂共同作用, 會導致腔內失諧加重, 光場分布更加混亂, 損耗更加嚴重, 因而在調諧過程中無法激發(fā)出有效的穩(wěn)定光場. 因此, 在對雙微腔結構設計時, 需要選取合適的耦合距離, 在保證耦合效率的同時, 減小由強耦合產生的模式劈裂效應, 避免腔內光場的混亂.

3.2 孤子產生后的調諧過程

亮孤子是光學微腔中重要的一種光場形式, 它對應的光譜是寬帶的梳狀光譜, 梳齒間的頻率間隔可以從十幾吉赫茲至幾百吉赫茲, 彌補了傳統(tǒng)基于鎖模激光器的光頻梳重復頻率受到腔長限制的缺點[24]. 因此, 需要研究在失諧參量調諧過程中產生的光孤子狀態(tài). 研究發(fā)現, 當腔內產生孤子后, 選取合適的失諧參量可維持腔內穩(wěn)定的孤子狀態(tài). 對圖2(a)中產生的亮孤子光場進行調諧, 設置失諧參量d1= 1.201 × 102m–1,d2= 8.809 m–1, 亮孤子可在微腔內穩(wěn)定存在, 光場演化的過程如圖5(a)所示, 在初始階段光場發(fā)生振蕩, 對應到圖5(d)和圖5(e)中兩個微腔內的光功率以及D 端口和T 端口輸出光功率曲線也出現振蕩. 經過一段時間振蕩后, 光場分布變得穩(wěn)定, 此時腔內的非線性、色散、損耗等作用處于平衡狀態(tài). 需要特別說明的是, 此階段抽運功率降低為1 W, 因為過高的抽運功率會使得非線性效應對腔內光場的分布起到主要作用, 導致腔內模數混亂, 出現混沌光場. 圖5(b)對比了調諧過程中的初始光場和最終穩(wěn)定的光場分布, 由于抽運功率降低, 穩(wěn)定后的光場峰值功率略有下降, 光譜如圖5(c)所示, 腔內也仍然保持寬帶的梳狀光譜.

圖4 (a)強耦合光學微腔在失諧頻率正調諧過程中光場的演化; (b) 強耦合光學微腔在失諧頻率負調諧過程中光場的演化Fig. 4. (a) Evolution of the optical field inside the first microcavity with strong coupling in the region of positive frequency tuning;(b) evolution of the optical field inside the first microcavity with strong coupling in the region of negative frequency tuning.

圖5 (a) 亮孤子在腔內穩(wěn)定存在的演化過程(d1 = 1.201 × 102 m–1, d2 = 8.809 m–1, P in = 1 W); (b) 亮孤子的光場分布; (c) 亮孤子的光譜圖; (d) 兩個微腔內的光功率隨時間的變化曲線; (e) D 端口和T 端口輸出功率隨時間的變化曲線Fig. 5. (a) Evolution of the stable existence of bright soliton in the microcavity (d1 = 1.201 × 102 m–1, d2 = 8.809 m–1, P in = 1 W);(b) field distribution of the bright soliton; (c) spectrum of the bright soliton; (d) curves of the dual power inside the dual coupled microcavities vary with the slow time; (e) curves of the dual power of Port D and T vary with the slow time.

圖6 (a) 亮孤子向多脈沖光場演化的過程(d2 = 16.1411 m–1, D f1 初始值為770 GHz, 以2.73 GHz/μs 的速度變化, P in = 1 W);(b) 多脈沖光場的光譜圖; (c) 兩個微腔內的光功率隨時間的變化曲線; (d) D 端口和T 端口輸出功率隨時間的變化曲線Fig. 6. (a) Evolution of a bright soliton to a multi-pulse optical field (d2 = 16.1411 m–1, the initial value of D f1 is 770 GHz, and the change speed of D f1 is 2.73 GHz/μs, P in = 1 W); (b) spectrum of the multi-pulse; (c) curves of the dual power inside the dual coupled microcavities vary with the slow time; (d) curves of the dual power of Port D and T vary with the slow time.

通過對亮孤子光場進行不同的調諧, 可以得到其他形式的光場. 仍然對圖2(a)中的亮孤子進行調諧, 當按照圖2(a)中的調諧方式產生亮孤子后,保持第二個微腔的失諧頻率Df2= 770 GHz 不變,對應的失諧參數d2= 16.1411 m–1, 第一個微腔的失諧頻率Df1仍然以12.73 GHz/μs 的速度變化.此外, 為避免抽運功率過高引起的非線性效應, 抽運功率同樣減小為Pin= 1 W. 這一過程的光場演化情況如圖6(a)所示. 圖6(a)給出了不同時刻的光場分布, 由于失諧參量d1增加, 導致腔內的MI作用加強, 孤子脈沖逐漸分裂成多脈沖形式的光場. 在初始階段, 中間脈沖的功率較強, 兩側的脈沖功率較弱, 在頻率失諧引起的MI 作用下, 中間脈沖的功率逐漸降低, 光場演化成等振幅的9 個脈沖(圖6(a)中的紅色曲線), 即多脈沖形式的光場.對應的光譜如圖6(b)所示, 在梳狀光譜的基礎上,梳齒強度增加了明顯的慢調制, 相鄰兩個峰值的之間相差了9FSR. 隨著Df1的不斷增加, 腔內失諧也越來越嚴重, 光場也會逐漸演化為直流光場, 除抽運模式外腔內無其他的模式產生.

4 結 論

本文在耦合微腔的非線性薛定諤方程的基礎上, 討論了雙微腔頻率調諧過程中腔內光場的演化. 研究結果表明, 在正調諧區(qū)域中, 光場的演化可明顯地分為四個階段. 當失諧頻率較小, 失諧參量接近零點的區(qū)域, 微腔內產生無規(guī)則的混沌光場, 兩個微腔內的功率出現劇烈的振蕩, 但總體呈增長的趨勢. 隨著失諧頻率的增加, 第一個光學微腔內的光場發(fā)生突變, 在隨機的位置產生若干脈沖, 這些脈沖在演化過程中逐漸消失, 最終剩下微腔中心處的單脈沖, 即腔內產生亮孤子. 這一過程中, 腔內的光功率驟降. 由頻率調諧過程激發(fā)出的亮孤子在腔內穩(wěn)定存在一段時間后消失, 光場變?yōu)榻浦绷鞯姆植? 腔內功率也處于較弱的水平.

在負調諧區(qū)域中, 也可將光場的演化劃分為四個階段. 初始時, 由于失諧作用不明顯, 在抽運的作用下腔內只存在混沌形式的光場分布. 在頻率調諧過程中, 由于MI 的作用, 混沌光場逐漸演化為高功率的 “圖靈環(huán)”, 腔內可存在36 個形狀近似的脈沖. 進一步頻率調諧后, 光場發(fā)生變化, 原先的36 個脈沖演化為41 個脈沖, 功率也相應減小. 最后在腔內失諧嚴重的情況下, 腔內演變?yōu)橹绷鞴鈭?

根據以上頻率調諧過程, 耦合微腔沒有發(fā)生頻率失諧, 或者失諧參量接近0 時, 腔內只能形成混沌形式的光場分布, 因此低失諧并不利于腔內亮孤子或者多脈沖形式的光場產生. 亮孤子只有在正失諧區(qū)域中能夠被激發(fā), 并且存在區(qū)域較小. 而當雙微腔耦合強度過大時, 強耦合和模式劈裂效應會造成腔內光場分布混亂, 散射損耗增大, 在頻率調諧過程中無法激發(fā)出穩(wěn)定的亮孤子, 因此在實際中要盡量避免這種情況的發(fā)生. 對調諧過程激發(fā)出的亮孤子, 通過選取合適的失諧參量, 可使亮孤子在腔內穩(wěn)定存在. 此外, 通過對第一個光學微腔繼續(xù)進行失諧頻率的調節(jié), 也可將亮孤子轉化為“圖靈環(huán)”光場. 該理論分析結果對耦合微腔的實驗研究具有重要意義.