杜智景, 史 凱, 劉東帥, 董亮偉

(陜西科技大學(xué) 文理學(xué)院, 陜西 西安 710021)

0 引言

近年來(lái),具有宇稱-時(shí)間(Parity-time)對(duì)稱性的復(fù)外勢(shì)調(diào)制非線性系統(tǒng)中的孤子動(dòng)力學(xué)受到了廣泛關(guān)注.當(dāng)增益-損耗較弱時(shí),系統(tǒng)線性譜為全實(shí),當(dāng)增益-損耗超過(guò)相變過(guò)渡點(diǎn)時(shí),系統(tǒng)表現(xiàn)為復(fù)的本征譜[1-3].宇稱-時(shí)間(PT)對(duì)稱要求復(fù)勢(shì)滿足V(x)=V*(-x)這一條件,即其實(shí)部偶對(duì)稱,虛部奇對(duì)稱[1-3].

自PT勢(shì)引入非線性光學(xué)以來(lái),人們已對(duì)局域和周期性反對(duì)稱增益-損耗PT系統(tǒng)中的孤子進(jìn)行了深入研究,發(fā)現(xiàn)了基階[3]、偶極[4]、多峰[5]和缺陷[6]等形式孤子.此外,純非線性晶格[7]和線性與非線性混合晶格[8]中的孤子已被討論.最近,線性和非線性PT對(duì)稱外勢(shì)中的冷原子矢量時(shí)空孤子[9]、二次非線性介質(zhì)中的部分PT對(duì)稱孤子[10]、非局域PT對(duì)稱孤子[11]、分?jǐn)?shù)衍射PT對(duì)稱孤子[12]、Scarff 勢(shì)中PT對(duì)稱基態(tài)孤子[13]等也被報(bào)道.

非線性材料制備技術(shù)的最新進(jìn)展[14-22]表明,除了折射率之外,非線性也可以根據(jù)需要進(jìn)行調(diào)制[23].孤子可存在于非線性、線性與非線性組合勢(shì)調(diào)制的非均勻自聚焦介質(zhì)中[24,25].自散焦介質(zhì)中也存在相關(guān)的局域非線性結(jié)構(gòu).數(shù)年前得出的一個(gè)結(jié)論,當(dāng)非線性向介質(zhì)邊緣的增長(zhǎng)率大于rD時(shí)(D表示維度),亮孤子有可能被捕獲[26-29].

迄今,PT系統(tǒng)所支持的孤子的實(shí)部和虛部都為偶對(duì)稱或奇對(duì)稱[3-8].而文獻(xiàn)[17,30]中不對(duì)稱振幅的孤子是從對(duì)稱孤子中通過(guò)對(duì)稱破缺分歧出來(lái)的.此外,當(dāng)增益-損耗系數(shù)較大時(shí),已報(bào)道的PT對(duì)稱系統(tǒng)將不可避免地發(fā)生對(duì)稱破缺.不破缺的PT對(duì)稱只發(fā)生在非均勻自散焦介質(zhì)和局域反對(duì)稱增益-損耗組合分布的系統(tǒng)中[27].

本文揭示了局域或周期性增益-損耗調(diào)制的非均勻自散焦介質(zhì)可支持多個(gè)分支的、具有不對(duì)稱實(shí)、虛部分量的、振幅卻對(duì)稱的亮孤子.發(fā)現(xiàn)了一些有趣現(xiàn)象,包括不同孤子分支之間的合并、不破缺的PT對(duì)稱性、周期性增益-損耗分布下孤子分支合并對(duì)的變化等.

1 理論模型

光場(chǎng)在非線性介質(zhì)中的傳播由振幅為q的標(biāo)量非線性薛定諤方程描述:

(1)

方程(1)中：x和z分別是歸一化的橫向坐標(biāo)和縱向坐標(biāo),σ(x)是關(guān)于x的偶函數(shù),為散焦的非線性調(diào)制,R(x)表示反對(duì)稱增益-損耗分布,γ為增益-損耗強(qiáng)度.

存在局域亮孤子要求自散焦非線性足夠快地增加到介質(zhì)邊緣[26-29].類似文獻(xiàn)[26],本文設(shè)置σ(x)=βexp(αx2).與傳統(tǒng)PT對(duì)稱系統(tǒng)不同,方程(1)中沒(méi)有偶對(duì)稱的線性折射率調(diào)制.偶對(duì)稱的折射率調(diào)制由振幅偶對(duì)稱的孤子所導(dǎo)致的非線性贗勢(shì)所提供.與均勻自散焦非線性相反,孤子的衰減尾部使其置于線性化系統(tǒng)的半無(wú)限帶隙中.本文設(shè)置β=1和α=0.5.只要|q|2是對(duì)稱的,R是反對(duì)稱的,方程(1)就滿足PT對(duì)稱.

假定方程(1)所支持的孤子為平面波解形式:q(x,z)=w(x)exp(ibz),其中孤子穩(wěn)態(tài)解w(x)=wr(x)+iwi(t),wr和wi分別是初始解的實(shí)部和虛部,b是傳播常數(shù).將上述表達(dá)式代入方程(1)可得到一個(gè)非線性常微分方程,該方程可以通過(guò)松弛迭代法、牛頓共軛梯度法等數(shù)值求解.

2 局域增益-損耗調(diào)制系統(tǒng)中的孤子

首先,討論局域增益-損耗調(diào)制系統(tǒng)中孤子的性質(zhì).考慮奇對(duì)稱增益-損耗分布R(x)=xexp(-αx2).為了理解增益-損耗調(diào)制部分對(duì)孤子動(dòng)力學(xué)的影響,可固定傳輸常數(shù)b而改變?cè)鲆?損耗強(qiáng)度系數(shù)γ.

(a)γ=1.5，基階孤子解

圖1(f)給出了孤子在(b,γ)平面內(nèi)的存在區(qū)域.γupp隨著傳播常數(shù)b的增加而非勻速減小,直到b=0時(shí)孤子消失.當(dāng)γ≤γupp時(shí)傳播常數(shù)b為純實(shí)數(shù).當(dāng)γ>upp時(shí),孤子不能存在.因此,現(xiàn)有系統(tǒng)中的孤子呈現(xiàn)出不破缺的PT對(duì)稱性.

孤子的穩(wěn)定性是一個(gè)非常重要的問(wèn)題,可用線性穩(wěn)定性方法加以分析.假定孤子微擾解形式為:

q=[wr+iwi+uexp(σz)+ivexp(δz)]exp(ibz)

這里u和v是振幅任意小的微擾,在傳播時(shí)以復(fù)指數(shù)δ增長(zhǎng),δ為孤子的線性不穩(wěn)定增長(zhǎng)率.將微擾解q代入方程(1),圍繞穩(wěn)態(tài)解wr,i線性化方程(1)將得到一個(gè)本征值問(wèn)題:

(2)

(a)γ=1.5，偶極孤子解

基于方程(2)的線性穩(wěn)定性分析,發(fā)現(xiàn)基階孤子和偶極孤子是完全穩(wěn)定的(如圖1(e)所示).如果γ低于臨界值,三極孤子能夠穩(wěn)定傳播.而當(dāng)γ較大或者γ位于狹窄的不穩(wěn)定窗口(點(diǎn)線)時(shí),四極孤子是不穩(wěn)定的.

與文獻(xiàn)[17,30]中所述的不對(duì)稱孤子相比,強(qiáng)調(diào)三點(diǎn):首先,這里的孤子實(shí)部、虛部是不對(duì)稱的,但其振幅是偶對(duì)稱的;其次,γ的增長(zhǎng)不會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的對(duì)稱破缺;第三,由于σ(x)的幾何分布,孤子的存在區(qū)域和相應(yīng)的線性譜之間沒(méi)有直接聯(lián)系.

3 周期性增益-損耗系統(tǒng)中的孤子

接下來(lái),考慮周期性增益-損耗系統(tǒng)中的孤子.簡(jiǎn)單起見,設(shè)R(x)=sin(Ωx).盡管對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng)的帶隙是完全封閉的,但孤子仍然可以存在.其物理原因在于非均勻介質(zhì)使系統(tǒng)非線性化.非均勻非線性系統(tǒng)與其對(duì)應(yīng)的線性化方程的頻譜之間沒(méi)有直接關(guān)系.對(duì)比圖1和圖2可發(fā)現(xiàn),對(duì)于Ω=4,x軸上的R虛部節(jié)點(diǎn)數(shù)導(dǎo)致孤子的虛部節(jié)點(diǎn)數(shù)大于在局域增益-損耗系統(tǒng)中孤子的虛部節(jié)點(diǎn)數(shù).實(shí)部和虛部的不對(duì)稱性仍然可出現(xiàn)在孤子的各個(gè)分支.基階孤子和偶極孤子在γupp=5.863處合并,三極孤子和四極孤子的合并點(diǎn)為4.134.這表明不同分支孤子之間的合并僅由非均勻散焦非線性決定.

與圖1(e)所示孤子不同,基階、偶極孤子的存在區(qū)間比三極、四極孤子寬(如圖2(c)所示).在圖2(c)中，f、d、t、q、five、six分別表示基階、偶極、三極、四極、五極和六極孤子.同時(shí),圖2(c)中所有孤子分支的存在區(qū)間比圖1(e)中寬.然而,周期性增益-損耗系統(tǒng)中孤子的穩(wěn)定區(qū)域收縮.典型的不穩(wěn)定性分析結(jié)果展示在圖2(d)中.當(dāng)γ超過(guò)臨界值時(shí),孤子是線性不穩(wěn)定的.

(a)前五分支孤子的U-γ 曲線(實(shí)線:穩(wěn)定;虛線:不穩(wěn)定)

當(dāng)周期性增益-損耗的空間頻率增加時(shí),仍然能夠發(fā)現(xiàn)不對(duì)稱孤子(如圖3所示).有趣的是,孤子分支合并對(duì)發(fā)生了變化(如圖3(a)所示).Ω=6時(shí),基階孤子不與任何其他孤子分支合并.偶極孤子和三極孤子在γupp=7.272合并,四極孤子和五極孤子之間的合并點(diǎn)是8.428.孤子的存在域隨著Ω的增長(zhǎng)而變寬.如果γ低于某一特定值,孤子的前四個(gè)分支是穩(wěn)定的,而第五個(gè)分支則是完全不穩(wěn)定的.

4 孤子傳播仿真模擬

最后,應(yīng)用分步傅里葉方法系統(tǒng)對(duì)于上述不同非線性調(diào)制作用下的多分支孤子做了傳播仿真模擬.初始輸入光場(chǎng)為q(z=0)=w(1+ρ) ,其中ρ為一個(gè)振幅較小的隨機(jī)噪聲.圖4展示了兩個(gè)代表性例子.直接數(shù)值傳播模擬和穩(wěn)定性分析結(jié)果完全符合.

在當(dāng)前模型中也可以找到具有奇對(duì)稱或偶對(duì)稱分量的PT對(duì)稱孤子.事實(shí)上,這種非線性激發(fā)孤子已經(jīng)在文獻(xiàn)[27,31]中報(bào)道.比較兩種對(duì)稱性不同的孤子,發(fā)現(xiàn)除了內(nèi)部對(duì)稱性外,不對(duì)稱孤子的其他性質(zhì),包括功率、功率流密度、存在范圍、穩(wěn)定區(qū)間、不同孤子分支之間的合并等,都與對(duì)稱孤子相同.這兩類孤子可以看作是由同一個(gè)非線性系統(tǒng)支持的不同對(duì)稱性的多穩(wěn)態(tài).這種現(xiàn)象在非線性導(dǎo)致的PT對(duì)稱系統(tǒng)中應(yīng)該是普遍存在的.

(a)γ=1.5,偶極孤子穩(wěn)定傳播模擬

5 結(jié)論

本文研究了局域或周期性奇對(duì)稱增益-損耗和局域偶對(duì)稱非線性折射率調(diào)制PT對(duì)稱系統(tǒng)中的實(shí)、虛部不對(duì)稱孤子的傳播特性,發(fā)現(xiàn)了不對(duì)稱多分支孤子之間的合并和不破缺的PT對(duì)稱性.直接傳播模擬和線性穩(wěn)定性分析結(jié)果表明,不對(duì)稱孤子要么是穩(wěn)定的,要么是弱振蕩不穩(wěn)定的.本文的結(jié)論可推廣到其它形式非均勻非線性贗勢(shì)誘導(dǎo)的PT對(duì)稱系統(tǒng)中.