繆幸吉 王紅星 劉傳輝 陸發(fā)平 康家方

摘? 要： 針對(duì)橢圓球面波函數(shù)（PSWF）信號(hào)的頻率時(shí)變特性，通過引入Wigner?Ville分布時(shí)頻分析方法，在時(shí)頻域上建立PSWF信號(hào)Wigner?Ville分布與其自身特性之間的關(guān)系，重點(diǎn)研究了PSWF信號(hào)時(shí)頻分布特性與信號(hào)頻域區(qū)間、對(duì)應(yīng)階數(shù)和時(shí)頻能量分布特性的關(guān)系。理論分析和數(shù)值分析表明，PSWF信號(hào)時(shí)頻分布特性具有良好的對(duì)稱性、時(shí)頻能量聚集性，且時(shí)頻分布的特征參量與PSWF信號(hào)頻域區(qū)間、對(duì)應(yīng)階數(shù)和時(shí)頻能量分布特性密切相關(guān)。結(jié)論進(jìn)一步深化了對(duì)PSWF信號(hào)時(shí)頻分布特性的認(rèn)知，為下一步在時(shí)頻域上探索研究新型、高效PSWF調(diào)制信號(hào)檢測方法提供了重要的參考依據(jù)。

關(guān)鍵詞： 橢圓球面波函數(shù); 時(shí)頻分布; 能量聚集; Wigner?Ville分布; 理論分析; 數(shù)值分析

中圖分類號(hào)： TN911.7?34? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)： 1004?373X（2020）19?0014?05

Abstract： In view of the time?varying characteristics of the frequency of PSWF （prolate spherical wave function） signal， the Wigner?Ville distribution time?frequency analysis method is introduced to establish the relationship between the Wigner?Ville distribution of PSWF signal and its own characteristics in the time?frequency domain. The relationship between the time?frequency distribution characteristics of PSWF signal and signal frequency domain interval， and corresponding order and time?frequency energy distribution is emphatically studied. Theoretical analysis and numerical analysis results show that the time?frequency distribution characteristics of PSWF signal have good symmetry and time?frequency energy aggregation， and the characteristic parameters of time?frequency distribution are closely related to the frequency domain interval， corresponding order and time?frequency energy distribution character of PSWF signal. The conclusion further deepens the perception for the time?frequency distribution characteristics of PSWF signal， and provides an important reference for the next step to explore and study a new and efficient PSWF modulation signal detection method in the time?frequency domain.

Keywords： prolate spherical wave function; time?frequency distribution; energy aggregation; Wigner?Ville distribution; theoretical analysis; numerical analysis

0? 引? 言

1961年，針對(duì)香農(nóng)所提出的問題：一個(gè)函數(shù)能多大程度在它的頻譜限制在有限帶寬而同時(shí)又在時(shí)域上是集中分布的，貝爾實(shí)驗(yàn)室的D.Slepian和O.Pollak在研究報(bào)告中給出了PSWF（Prolate Spheroidal Wave Function）這類特殊函數(shù)的集合[1]。PSWF具有完備性、雙正交性、時(shí)域奇偶性和最佳時(shí)頻能量聚集性等優(yōu)良特性[2]?；赑SWF的優(yōu)良特性，文獻(xiàn)[3]提出了一種基于PSWF的非正弦時(shí)域正交調(diào)制方法，有效提高了系統(tǒng)頻帶利用率。在理想信道下，基于PSWF良好的正交性可以有效分離和解調(diào)PSWF調(diào)制信號(hào)，但在惡劣信道條件下，信號(hào)間正交性被破壞，相干檢測性能急劇惡化。如何從PSWF調(diào)制信號(hào)中高效分離、檢測各路PSWF信號(hào)，是目前亟需解決的關(guān)鍵性問題。目前，現(xiàn)有檢測方法主要利用PSWF信號(hào)特性在時(shí)域或頻域的能量密度分布特征規(guī)律對(duì)信號(hào)進(jìn)行檢測，而PSWF信號(hào)是典型的非平穩(wěn)信號(hào)，信號(hào)頻率分量隨時(shí)間不斷變化，PSWF信號(hào)在時(shí)頻域呈現(xiàn)什么分布特性，能否從中探索可用于信號(hào)檢測的時(shí)頻特征參量，相關(guān)研究文獻(xiàn)較少。充分研究PSWF信號(hào)的時(shí)頻分布特性，不僅能完善PSWF信號(hào)特性，還能為研究高效的PSWF調(diào)制信號(hào)檢測方法提供理論依據(jù)，具有十分重要的意義。

在二維時(shí)頻域研究PSWF信號(hào)時(shí)頻特性，需要選取具有較高時(shí)域和頻域分辨率的時(shí)頻分析方法[4]。根據(jù)PSWF定義可知，PSWF信號(hào)頻率會(huì)隨時(shí)間發(fā)生非線性變化，可以看作是一類特殊的非線性信號(hào)?，F(xiàn)有非線性時(shí)頻分析方法主要包括：Cohen類[5]和Hilbert?Huang變換[6]等。Hilbert?Huang變換利用Hilbert變換研究由信號(hào)分解成的本征模態(tài)函數(shù)的瞬時(shí)屬性，從而得到多頻率分量信號(hào)的時(shí)頻特性，由于原理步驟的限制，利用該方法準(zhǔn)確分析沒有閉式解析解的PSWF信號(hào)的時(shí)頻分布特性十分困難。相比之下，Cohen類時(shí)頻分析方法通過構(gòu)造核函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行雙線性變換，可以避免對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解的步驟，更加適合分析PSWF信號(hào)時(shí)頻分布特性。Cohen類時(shí)頻分析方法中常用的是Wigner?Ville分布方法[7]，其中Wigner?Ville分布本質(zhì)上是二維時(shí)間?頻率能量密度函數(shù)，可以將信號(hào)能量映射到二維時(shí)頻域平面，并且具有較高的時(shí)頻分辨率。

本文首先從PSWF定義出發(fā)，給出了基帶、帶通PSWF信號(hào)的求解方法;其次，引入Wigner?Ville分布時(shí)頻分析方法，圍繞PSWF信號(hào)頻域區(qū)間、對(duì)應(yīng)階數(shù)和時(shí)頻能量分布特性三個(gè)方面，對(duì)PSWF信號(hào)時(shí)頻分布特性進(jìn)行研究，并通過理論分析和數(shù)值分析，結(jié)合時(shí)頻分布的特征參量，給出PSWF信號(hào)時(shí)頻分布特性。

1? PSWF定義

故帶通PSWF信號(hào)本質(zhì)上可通過基帶PSWF信號(hào)分別與正余弦信號(hào)相乘運(yùn)算后得到，即[n]階基帶PSWF信號(hào)分別乘正、余弦信號(hào)可得到[2n]和[2n+1]階帶通PSWF信號(hào)。

2? PSWF信號(hào)時(shí)頻分布特性

Wigner?Ville分布是典型的時(shí)頻聯(lián)合分析方法，用于分析非平穩(wěn)信號(hào)幅頻特性隨時(shí)間的變化情況。信號(hào)[s（t）]的Wigner?Ville分布定義如下：

式中，信號(hào)[s（t）]為任意非平穩(wěn)信號(hào)，通常式（4）也被稱為信號(hào)[s（t）]的自Wigner?Ville分布。該方法是利用時(shí)間?頻率聯(lián)合函數(shù)分析非平穩(wěn)信號(hào)的方法，其主要思想是通過設(shè)計(jì)時(shí)間和頻率的聯(lián)合函數(shù)，同時(shí)描述信號(hào)在不同時(shí)間、頻率的能量密度，其本質(zhì)就是將信號(hào)能量分布映射到時(shí)頻平面，反映信號(hào)在二維時(shí)頻能量域的能量密度分布。

本節(jié)根據(jù)基帶、帶通PSWF信號(hào)自身特性不同的特點(diǎn)，從信號(hào)在時(shí)域、頻域的能量密度分布特性兩個(gè)方面出發(fā)，分別建立基帶、帶通PSWF信號(hào)在時(shí)域和頻域的能量密度分布特性與信號(hào)性質(zhì)之間的關(guān)系，進(jìn)而分析PSWF信號(hào)的時(shí)頻分布特性。

2.1? 基帶PSWF信號(hào)時(shí)頻域能量密度分布

由于PSWF是帶限時(shí)限信號(hào)，其時(shí)域區(qū)間為[[-T2，T2]]，頻域區(qū)間為[[-Ω，Ω]]，第[i]階基帶PSWF信號(hào)[ψit]的Wigner?Ville分布為：

由于Wigner?Ville分布為二維時(shí)間?頻率能量密度函數(shù)，對(duì)其進(jìn)行頻域積分便可得到時(shí)域能量密度分布函數(shù)。對(duì)式（5）進(jìn)行頻域積分得到基帶PSWF信號(hào)時(shí)域能量密度分布為：

由式（6）可知，基帶PSWF信號(hào)時(shí)域能量密度分布為其瞬時(shí)能量，其能量峰值個(gè)數(shù)與信號(hào)階數(shù)有關(guān)，且峰值位置關(guān)于時(shí)域中心時(shí)刻呈現(xiàn)偶對(duì)稱。結(jié)合第2.1節(jié)可知，0階基帶PSWF信號(hào)在時(shí)域區(qū)間[[-T2，T2]]內(nèi)能量聚集性最優(yōu)，隨著信號(hào)階數(shù)的增加，時(shí)域能量聚集性逐漸降低。

對(duì)基帶PSWF信號(hào)的Wigner?Ville分布進(jìn)行時(shí)域積分便可得到頻域能量密度分布。將式（5）進(jìn)行時(shí)域積分得到基帶PSWF信號(hào)時(shí)域能量密度分布為：

由式（7）可知，基帶PSWF信號(hào)頻域能量密度分布為其自功率譜，其中心頻率為[ψit]的中心頻率，信號(hào)在頻域的能量密度分布呈現(xiàn)偶對(duì)稱，其能量峰值位于中心頻率。

2.2? 帶通PSWF信號(hào)時(shí)頻域能量密度分布

結(jié)合式（3）和式（5）可知，相鄰兩階帶通PSWF信號(hào)的Wigner?Ville分布表達(dá)式如下：

與基帶PSWF信號(hào)時(shí)頻域能量密度分布分析相同，結(jié)合式（3），式（7）和式（8）可知，相鄰兩階帶通PSWF信號(hào)時(shí)頻域能量密度分布分別為：

由于[n]階基帶PSWF信號(hào)分別乘正、余弦信號(hào)可得到[2n]和[2n+1]階帶通PSWF信號(hào)，因此，與基帶PSWF信號(hào)時(shí)頻分布特性類似，0階帶通PSWF信號(hào)在時(shí)域區(qū)間[[-T2，T2]]內(nèi)能量聚集性最優(yōu)，隨著信號(hào)階數(shù)的增加，時(shí)域能量聚集性逐漸降低。能量峰值個(gè)數(shù)與其所對(duì)應(yīng)的基帶PSWF信號(hào)階數(shù)有關(guān)，且峰值位置關(guān)于時(shí)域中心時(shí)刻呈現(xiàn)偶對(duì)稱，能量峰值中心頻率為[ψDnt]的中心頻率，在頻域的能量密度分布呈現(xiàn)偶對(duì)稱。

由上述分析可知，第[2n]和[2n+1]階帶通PSWF信號(hào)對(duì)應(yīng)的能量峰值個(gè)數(shù)都與第[n]階基帶PSWF信號(hào)[ψnt]一致，從而導(dǎo)致無法直接利用能量峰值個(gè)數(shù)區(qū)分相鄰兩階帶通PSWF信號(hào)。因此，這里通過引入瞬時(shí)頻率對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析[8]，瞬時(shí)頻率作為瞬時(shí)物理量之一，能在非平穩(wěn)信號(hào)分析中起到重要作用，PSWF信號(hào)瞬時(shí)頻率為：

式中：下標(biāo)[i]代表瞬時(shí);[ψ′Dnt]表示第[n]階帶通PSWF信號(hào)的解析信號(hào)，瞬時(shí)頻率本質(zhì)是解析信號(hào)[ψ′Dnt]的相位的導(dǎo)數(shù)。由于帶通PSWF信號(hào)本質(zhì)上是基帶PSWF信號(hào)通過正余弦信號(hào)相乘得到，相鄰兩階帶通PSWF信號(hào)的相位差異必然導(dǎo)致其瞬時(shí)頻率不同。因此，通過將瞬時(shí)頻率作為特征參量，能夠有效區(qū)分出相鄰兩階帶通PSWF信號(hào)。

3? 數(shù)值分析

由于PSWF信號(hào)無閉式解析解，無法通過理論完全準(zhǔn)確地分析PSWF信號(hào)的時(shí)頻分布特性。因此，本節(jié)借助計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算，對(duì)理論分析進(jìn)行仿真驗(yàn)證，證明理論分析的正確性。同時(shí)，利用仿真結(jié)果進(jìn)一步探索PSWF信號(hào)的時(shí)頻分布特性。

3.1? 仿真條件

為了深入分析PSWF信號(hào)的時(shí)頻分布特性，利用Wigner?Ville分布方法分別對(duì)基帶PSWF信號(hào)和帶通PSWF信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析，驗(yàn)證理論分析的正確性。仿真的PSWF信號(hào)參數(shù)設(shè)置如表1所示。

3.2? 仿真結(jié)果與分析

3.2.1? 基帶PSWF信號(hào)時(shí)頻分布特性

圖1為前4階基帶PSWF信號(hào)的Wigner?Ville分布圖。從圖1中可知：

1） 0階基帶PSWF信號(hào)時(shí)域能量聚集性最佳，能量集中在中心時(shí)刻，隨著信號(hào)階數(shù)的增加，信號(hào)能量峰值逐漸向邊緣時(shí)刻漂移，能量峰值位置在時(shí)域上分布跨度逐漸增加，且靠近中間時(shí)刻的能量峰值逐漸降低，導(dǎo)致信號(hào)時(shí)域能量聚集性不斷降低。例如，0階信號(hào)時(shí)域能量峰值位于時(shí)刻為1 s時(shí)，1階信號(hào)時(shí)域能量峰值分別位于時(shí)刻為0.5 s和1.5 s時(shí)，2階信號(hào)時(shí)域能量峰值分別位于時(shí)刻為0.25 s，1 s和1.75 s時(shí)，3階信號(hào)時(shí)域能量峰值分別位于時(shí)刻為0.125 s，0.75 s，1.25 s和1.75 s時(shí)。

2） 基帶PSWF信號(hào)頻域能量峰值位于中心頻率處，且頻域能量分布關(guān)于中心頻率對(duì)稱，0階基帶PSWF信號(hào)頻域能量聚集性最佳，隨著信號(hào)階數(shù)的增加，頻域能量分布區(qū)域逐漸擴(kuò)大，集中程度不斷降低，進(jìn)而導(dǎo)致頻域能量聚集性不斷降低。例如，基帶PSWF信號(hào)能量峰值點(diǎn)都位于0 Hz，0階信號(hào)頻域能量分布在[-1.5 Hz，1.5 Hz]，1階信號(hào)頻域能量分布在[-1.65 Hz，1.65 Hz]，2階信號(hào)頻域能量分布在[-1.8 Hz，1.8 Hz]，3階信號(hào)頻域能量分布在[-2.2 Hz，2.2 Hz]。

3） 基帶PSWF信號(hào)時(shí)頻平面能量密度分布分別關(guān)于時(shí)間、中心頻率呈現(xiàn)偶對(duì)稱特性，能量峰值都位于信號(hào)中心頻率處，且其個(gè)數(shù)[n]與信號(hào)階數(shù)[i]相關(guān)，滿足[n=i+1]。例如，0階、1階、2階和3階基帶PSWF信號(hào)分別有1，2，3，4個(gè)能量峰值點(diǎn)。

3.2.2? 帶通PSWF信號(hào)時(shí)頻分布特性

圖2為前四階帶通PSWF信號(hào)的Wigner?Ville分布圖。從圖2中可知：

1） 0階帶通PSWF信號(hào)時(shí)域能量聚集性最佳，能量集中在中心時(shí)刻，隨著信號(hào)階數(shù)的增加，信號(hào)能量峰值逐漸向邊緣時(shí)刻漂移，能量峰值位置在時(shí)域上分布跨度逐漸增加，且靠近中間時(shí)刻的能量峰值逐漸降低，導(dǎo)致信號(hào)時(shí)域能量聚集性不斷降低，與基帶PSWF信號(hào)一致。例如，0階和1階帶通PSWF信號(hào)時(shí)域能量峰值位于時(shí)刻為2 s時(shí)，2階和3階帶通PSWF信號(hào)時(shí)域能量峰值分別位于時(shí)刻為1.25 s和2.75 s時(shí)。

2） 帶通PSWF信號(hào)頻域能量峰值位于中心頻率處，且頻域能量分布關(guān)于中心頻率對(duì)稱，0階帶通PSWF信號(hào)頻域能量聚集性最佳，隨著信號(hào)階數(shù)的增加，頻域能量分布區(qū)域逐漸擴(kuò)大，集中程度不斷降低，進(jìn)而導(dǎo)致頻域能量聚集性不斷降低。例如，帶通PSWF信號(hào)能量峰值點(diǎn)都位于0 Hz，0階信號(hào)頻域能量分布在頻域區(qū)間[3 300 Hz，4 700 Hz]，1階頻域能量分布在頻域區(qū)間[3 300 Hz，4 700 Hz]，2階頻域能量分布在頻域區(qū)間[3 200 Hz，4 800 Hz]，3階信號(hào)頻域能量分布在頻域區(qū)間[3 200 Hz，4 800 Hz]。

3） 帶通PSWF信號(hào)時(shí)頻平面能量密度分布分別關(guān)于時(shí)間、中心頻率呈現(xiàn)偶對(duì)稱特性，能量峰值都位于信號(hào)中心頻率處，且能量峰值點(diǎn)個(gè)數(shù)[n]與帶通PSWF信號(hào)階數(shù)[i]相關(guān)，滿足[n=i2+1]。例如0階、1階帶通PSWF信號(hào)由0階基帶PSWF信號(hào)產(chǎn)生，2階和3階分別由1階基帶PSWF信號(hào)產(chǎn)生，0～4階帶通PSWF信號(hào)分別有1，1，2，2個(gè)能量峰值點(diǎn)，與對(duì)應(yīng)的基帶PSWF信號(hào)能量峰值點(diǎn)個(gè)數(shù)一致。

4） 觀察圖2a）中2階和3階信號(hào)，可以發(fā)現(xiàn)2階信號(hào)在時(shí)間為1.75 ms和2.25 ms時(shí)，瞬時(shí)頻率位于頻域區(qū)間下限附近;而3階信號(hào)在時(shí)間為1.75 ms和2.25 ms時(shí)，瞬時(shí)頻率位于頻域區(qū)間上限附近。結(jié)合前文分析可知，由于1階基帶PSWF信號(hào)分別與正余弦函數(shù)相乘，得到對(duì)應(yīng)的2階和3階帶通PSWF信號(hào)，2階和3階帶通PSWF信號(hào)奇偶性和相位正好相反，故其瞬時(shí)頻率必然不相同，反映在圖中便是在頻域區(qū)間上、下限附近出現(xiàn)的“尖峰”。雖然相鄰兩階帶通PSWF信號(hào)能量峰值點(diǎn)個(gè)數(shù)、位置和能量密度分布區(qū)域是相同的，難以進(jìn)行區(qū)分，但通過觀察特定時(shí)刻的瞬時(shí)頻率，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)相鄰兩階帶通PSWF信號(hào)的甄別。

4? 結(jié)? 語

本文通過建立Wigner?Ville分布與PSWF信號(hào)自身特性之間的關(guān)系，深入研究了PSWF信號(hào)時(shí)頻分布特性與信號(hào)頻域區(qū)間、對(duì)應(yīng)階數(shù)和時(shí)頻能量分布特性之間的關(guān)系，將圍繞PSWF信號(hào)在單一能量域的相關(guān)研究拓展到二維時(shí)頻能量域。理論分析和數(shù)值分析表明， PSWF信號(hào)在時(shí)頻域分別呈現(xiàn)出眾多特征規(guī)律，其時(shí)頻分布的特征參量與信號(hào)的頻域區(qū)間、對(duì)應(yīng)的階數(shù)和時(shí)頻能量分布特性密切相關(guān)。相關(guān)結(jié)論進(jìn)一步完善了PSWF信號(hào)的基礎(chǔ)特性，如何充分利用挖掘出的PSWF信號(hào)時(shí)頻分布特性，確定具體PSWF調(diào)制信號(hào)的檢測邊界和規(guī)則，研究基于PSWF信號(hào)時(shí)頻分布特性的高效檢測方法，是下一步研究的重點(diǎn)內(nèi)容。

注：本文通訊作者為劉傳輝。

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