◇ 翟 彬 張竹萍

共軛復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)中比較重要且具有獨特性質(zhì)的一個概念，共軛復(fù)數(shù)是指兩個復(fù)數(shù)實部相等、虛部互為相反數(shù)．共軛復(fù)數(shù)的幾何特征是復(fù)平面上互為共軛復(fù)數(shù)的點關(guān)于實軸對稱，它的代數(shù)特征是互為共軛復(fù)數(shù)的虛部互為相反數(shù)．

1 基本性質(zhì)

設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，則ˉz＝a－bi，共軛復(fù)數(shù)有以下常用的基本性質(zhì):

這些基本性質(zhì)反映了互為共軛復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)之間的聯(lián)系，溝通了互為共軛復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)等量關(guān)系以及復(fù)數(shù)運算之間的關(guān)系．解答某些復(fù)數(shù)問題時，如果能依據(jù)題設(shè)條件巧妙地運用這些相關(guān)性質(zhì)，可使許多復(fù)數(shù)問題簡捷、快速地獲解．

2 巧妙應(yīng)用

2.1 巧求復(fù)數(shù)

例1若復(fù)數(shù)z滿足|z|＝1，且是 負實數(shù)，求復(fù)數(shù)z．

綜上，所求復(fù)數(shù)z的值是－1或

本題通過共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)的變形與轉(zhuǎn)化，巧妙應(yīng)用因式分解來達到求解復(fù)數(shù)的目的．

2.2 妙解最值

例2設(shè)z∈C且|z|＝1，求函數(shù)f(z)＝|z3－z2＋z|的最大值．

由題意可設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則

直接求解該函數(shù)的最值可以通過待定系數(shù)法利用復(fù)數(shù)的運算及相關(guān)性質(zhì)來求解，運算量大，計算復(fù)雜，而通過共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)加以巧妙轉(zhuǎn)化與求解，簡單易懂．

2.3 巧妙創(chuàng)新

例3定義:復(fù)數(shù)b＋ai是的轉(zhuǎn)置復(fù)數(shù)，記為z′＝b＋ai；復(fù)數(shù)a－bi是

(a，b∈R)的共軛復(fù)數(shù)，記為．給出下列3個命題:其中真命題的個數(shù)為個．

由于

③錯誤．

綜上，可知真命題的個數(shù)為2．

本題通過創(chuàng)新概念，并結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)與復(fù)數(shù)運算來綜合考查考生對信息的收集、加工和運用的能力．將新概念與已學(xué)過的相應(yīng)知識聯(lián)系在一起運用，是解決此類問題的關(guān)鍵．

在解題過程中，經(jīng)常利用共軛復(fù)數(shù)及其相關(guān)性質(zhì)對問題進行等價變形、化簡、轉(zhuǎn)化等，可以使復(fù)雜問題簡單化，達到事半功倍的效果．