【摘?要】“雞兔同籠”問題是中國古代的數(shù)學(xué)名題之一。它不僅是小學(xué)應(yīng)用題和初中二元一次方程組的一個范例，也是滲透數(shù)學(xué)文化、感悟數(shù)學(xué)素養(yǎng)和獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的一次機會。研究者將“嘗試與猜測——雞兔同籠”一節(jié)公開課的聽課札記與教師分享，對提高學(xué)生思維能力，生成數(shù)學(xué)素養(yǎng)等問題進(jìn)行了探究。

【關(guān)鍵詞】雞兔同籠;數(shù)學(xué)文化;數(shù)學(xué)模型;關(guān)鍵能力

【作者簡介】羅增儒，陜西師范大學(xué)教授，課程與教學(xué)論（數(shù)學(xué)）博士研究生導(dǎo)師，曾擔(dān)任陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究所所長、陜西師范大學(xué)教務(wù)處處長，2011年入選“國培計劃”首批國培專家。

“雞兔同籠”問題是中國古代的數(shù)學(xué)名題之一，大約在1500年前的《孫子算經(jīng)》中就記載了這個有趣的問題。它不僅是小學(xué)應(yīng)用題和初中二元一次方程組的一個范例，也是滲透數(shù)學(xué)文化、感悟數(shù)學(xué)素養(yǎng)和獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的一次機會。筆者將某位教師的一節(jié)“嘗試與猜測——雞兔同籠”公開課的聽課札記與大家分享。這節(jié)課既有值得肯定的“兩個精彩”，也有值得研討的“兩件事情”，還有引向深入的“三點建議”，教學(xué)過程體現(xiàn)綜合實踐活動的教學(xué)性質(zhì)，貼近核心素養(yǎng)教學(xué)的教育導(dǎo)向。

一、教學(xué)重現(xiàn)

本次公開課的內(nèi)容主要有以下五個教學(xué)環(huán)節(jié)。

1.調(diào)節(jié)氣氛，文化滲透（8：30—8：35，共5分鐘，7人次發(fā)言）

教學(xué)伊始，教師先和學(xué)生從拉家常引入（內(nèi)容涉及西安名勝和古詩），接著向?qū)W生提問“我是誰？”并提示了兩行字（如圖1），引發(fā)學(xué)生猜教師的姓。學(xué)生從上下兩行字的“立”“里”進(jìn)行聯(lián)想和組合，最后得出答案是“童”字。

2.創(chuàng)設(shè)情境，引出問題（8：35—8：40，共5分鐘，4人次發(fā)言）

教師從古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》引出“雞兔同籠”問題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉兔各幾何。以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。為降低學(xué)習(xí)難度以及讓學(xué)生更好地理解題目的意思，教師將題目簡化并改編為：雞兔同籠，一共有8個頭，20條腿，雞和兔各有多少只？

3.自主探究，解決問題（8：40—8：45，共5分鐘，6人次發(fā)言）

在分析完題目后，教師引導(dǎo)學(xué)生自行解題，有的學(xué)生用假設(shè)法、列表法（枚舉法）等得出以下答案：6只雞，2只兔子。

4.展示交流，深化提升（8：40—9：15，共35分鐘，19人次發(fā)言）

在教師的組織和引導(dǎo)下，學(xué)生積極思考，說出該題有假設(shè)法、列表法、逐一列舉法等多種解法，并說明算理。在對多種解法進(jìn)行分析后，學(xué)生討論得出逐一列舉法的關(guān)鍵是有序。最后，師生總結(jié)出逐一列舉法的解題規(guī)律是：將1只雞（兔）換成1只兔（雞）時，總腿數(shù)增加（減少）2條。因此，我們可以將逐一列舉法簡化為跳躍列舉或取中列舉，有的學(xué)生只通過跳躍列舉2次就得出答案，有的學(xué)生提到在跳躍列舉時要注意會不會遺漏，體現(xiàn)了學(xué)生思維的深度。學(xué)生還對比了假設(shè)法與列表法的相同點與不同點，找出不同解法之間的聯(lián)系。

5.遷移類推，反思升華（9：15—9：20，共5分鐘，4人次發(fā)言）

通過以上的學(xué)習(xí)，教師引導(dǎo)學(xué)生再回到課始“雞兔同籠”問題的處理上來。學(xué)生用同樣的方法得出問題的答案：23只雞，12只兔子。為培養(yǎng)學(xué)生的知識遷移思維能力，教師給出“龜鶴同游”等類似問題，落實學(xué)生的核心素養(yǎng)。

二、教學(xué)反思

這節(jié)課的教學(xué)活動設(shè)計精心，學(xué)生探究欲強，體現(xiàn)了綜合實踐活動的教學(xué)性質(zhì)，筆者主要從以下三個方面談?wù)勛约旱目捶ā?/p>

1.值得肯定的“兩個精彩”

（1）學(xué)生活動很精彩

學(xué)生活動很精彩，主要體現(xiàn)在以下幾個方面。①學(xué)生發(fā)言積極。據(jù)統(tǒng)計，這節(jié)課學(xué)生的發(fā)言不少于40人次，且分布在四列課桌的前后左右，較為均衡。②學(xué)生思維活躍。學(xué)生提出了假設(shè)法、列表法、逐一列舉法、跳躍列舉法、取中列舉法等多種解法，對每種解法不僅能說出其中的道理，還能找出一題多解的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)出較好的邏輯推理水平。③學(xué)生善于總結(jié)規(guī)律。學(xué)生能總結(jié)出逐一列舉法的規(guī)律：將1只雞（兔）換成1只兔（雞）時，總腿數(shù)增加（減少）2條，并且能用這個規(guī)律解釋跳躍列舉法和取中列舉法的合理性和完備性。④學(xué)生見解深刻。比如，有的學(xué)生只跳躍列舉2次就得出答案（當(dāng)中有推理），而有的學(xué)生提出跳躍列舉是否會出現(xiàn)遺漏的疑問，體現(xiàn)出學(xué)生思維的深度性。

（2）教師活動很精彩

第一，教師教學(xué)功底扎實，精心設(shè)計教學(xué)活動。例如考慮到學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和知識接受程度，教師先從“8個頭，20條腿”的較小數(shù)字的問題引入，待問題得到解決后，教師再引導(dǎo)學(xué)生求解《孫子算經(jīng)》的“雞兔同籠”問題，達(dá)到了“進(jìn)退互化、前后照應(yīng)”的教學(xué)效果。教師不滿足于獲得題目的答案（部分學(xué)生一見題目就表示曾“學(xué)過”“見過”），還注重學(xué)生思維能力、分析問題和解決問題能力的提升以及數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累，體現(xiàn)了綜合實踐活動的教學(xué)性質(zhì)，緊扣了“嘗試與猜測”的教學(xué)主題。

第二，教師完成了課前預(yù)設(shè)的三個教學(xué)目標(biāo)，這三個教學(xué)目標(biāo)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的四個維度：知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度。課前預(yù)設(shè)的三個教學(xué)目標(biāo)如下。

目標(biāo)1：結(jié)合解決“雞兔同籠”問題，體驗借助列表進(jìn)行嘗試與猜測的解題策略。

目標(biāo)2：經(jīng)歷不斷猜測、驗證、調(diào)整及優(yōu)化的探究過程，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

目標(biāo)3：初步了解與“雞兔同籠”有關(guān)的數(shù)學(xué)史，感受數(shù)學(xué)文化的博大精深，逐步樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

2.可進(jìn)行研討的“兩件事情”

（1）關(guān)于公開課的“猜謎”情境

教學(xué)伊始猜“我是誰”的教學(xué)情境主要有調(diào)節(jié)氣氛、拉近感情的作用，但與本課解決“雞兔同籠”問題既沒能構(gòu)成實質(zhì)性的邏輯聯(lián)系，也不具有假設(shè)法或列表法的必要因素與必要形式。這反映了教師把本課題“嘗試與猜測”（包含假設(shè)、列舉、推理）等數(shù)學(xué)方法有意或無意地想象為生活中的猜謎問題。

這個拉近感情的作用也有雙重性，它恰好表明這不是教師在原班上的常態(tài)課（因為若是原班學(xué)生早就知道是童老師了），而是一節(jié)為了公開課而安排的借班課。如果時間允許，通過猜謎調(diào)節(jié)課堂氣氛，拉近師生的感情并無不可，但是既然本節(jié)課已超時，那就應(yīng)該考慮將猜謎環(huán)節(jié)取消。

（2）關(guān)于公開課拖堂

公開課拖堂幾乎是一個“潮流”，本節(jié)公開課拖堂同樣也給人留下深刻的印象。這節(jié)課從8：30上到9：20共50分鐘，即使從“起立”算起，也有45分鐘了。如果課題不是太艱深，教學(xué)內(nèi)容不是太繁雜，教師是完全可以不拖堂的。因此，為避免拖堂，本節(jié)課的解決辦法有：①從猜謎環(huán)節(jié)壓縮時間，教師如果刪去該環(huán)節(jié)，可節(jié)省4～5分鐘;②從35分鐘的“展示交流，深化提升”教學(xué)環(huán)節(jié)中節(jié)省出10分鐘，其中5分鐘用于抵消課堂超時，5分鐘分配給“課堂小結(jié)”環(huán)節(jié)，以加強數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的感悟;③“遷移類推，反思升華”教學(xué)環(huán)節(jié)中的“龜鶴同游”等例子也可以壓縮或刪去，可節(jié)省1～2分鐘。

3.關(guān)于引向深入的“三點建議”

（1）關(guān)于學(xué)生“學(xué)過”“會做”問題處理的建議

該授課教師在教學(xué)設(shè)計的“課前思考”中曾指出：“很多學(xué)生在課外輔導(dǎo)班已學(xué)習(xí)該問題，但大部分學(xué)生僅限于套用模板，不求甚解者居多。”于是，授課教師意識到在教學(xué)中，應(yīng)重在提高學(xué)生的解法基礎(chǔ)。下面筆者結(jié)合綜合實踐活動課的教學(xué)性質(zhì)，再提三個途徑供大家參考（教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生實際做出選擇，并不需要全部采用）。

途徑1：開闊思路，提供直觀形象

在教授假設(shè)法時，教師可先假設(shè)8只都是雞（如圖2，教師可以畫8個圓圈），因為雞有2條腿，所以一共有16條腿（教師可在每個圓圈下加2條線段，一共有16條線段），但是已知一共有20條腿，所以還應(yīng)添加4條腿（20-16=4）。因為每只兔子有4條腿，所以應(yīng)添加的4條腿可以認(rèn)為是增加了2只兔子。這樣一來，兔子有2只，雞有6只（教師給2個圓圈各加上2條線段，則2個圓圈各有4條線段，6個圓圈各有2條線段）。這就把假設(shè)法的運算推理過程呈現(xiàn)得更顯淺、直觀了，培養(yǎng)了學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)。

途徑2：變式練習(xí)，轉(zhuǎn)換為幾何題

教師可以把“雞兔同籠”問題轉(zhuǎn)換為一道幾何題：如圖3，兩個矩形AHEF和HBCD拼成一個組合圖形。在六邊形ABCDEF中，兩個矩形面積之和為94（表示雞兔共94條腿），AB=35（表示雞兔共有35個頭），BC=2（表示雞有2條腿），AF=4（表示兔有4條腿），求AH和HB的長（即求兔、雞各有多少只）。在“雞兔同籠”問題的求解時，可假設(shè)35只都是雞，延長CD交AF于點G，得到矩形ABCG的面積為70，即此時有70條腿，比實際94條腿少24條腿，也就是矩形DEFG的面積為24。由于該矩形的寬為2（即每只兔子比每只雞多2條腿），因此矩形DEFG的長為12，又AH=12（已得知兔有12只），從而HB=35-12=23，即雞有23只。

途徑3：抽象提煉，建立模型

根據(jù)學(xué)生表現(xiàn)出來的邏輯推理水平和思維深度，教師可以將學(xué)生解法中的數(shù)字提煉為文字或字母，從而得出公式（模型）。比如，由上面的假設(shè)法，可得兔的只數(shù)=（雞兔總腿數(shù)-雞兔總只數(shù)×2）÷2，雞的只數(shù)=雞兔總只數(shù)-兔總只數(shù)。也可以整理為兔的只數(shù)=雞兔總腿數(shù)÷2-雞兔總頭數(shù)（半足法），雞的只數(shù)=雞兔總頭數(shù)×2-雞兔總腿數(shù)÷2。

與Tina的對話，描述自己的春節(jié)計劃和過節(jié)感受，并鼓勵學(xué)生為同伴的創(chuàng)編或改編評價、打分。（E2，T）

（8）討論不同地方的春節(jié)活動計劃，學(xué)生在對比中討論“How to make a plan for Chinese New Year？”。（E1，R）

（9）小組選定節(jié)日，與同伴合作收集文化背景知識，并圍繞“節(jié)日前—節(jié)日中—節(jié)日后”制訂一份為期三天的節(jié)日計劃，并附上思維導(dǎo)圖或視頻;分小組在PPT上展示節(jié)日計劃，小組間相互點評，并依據(jù)其他組的評價、反饋進(jìn)一步修改、完善。（E2，O）

四、結(jié)語

逆向教學(xué)設(shè)計能有效促進(jìn)“教—學(xué)—評一體化”，幫助教師測評教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成度，提高英語教學(xué)實效性，促進(jìn)英語學(xué)科核心素養(yǎng)在課堂上落地，最終落實“立德樹人”的根本任務(wù)。當(dāng)然，“教—學(xué)—評一體化”這一理念對于大多數(shù)小學(xué)英語教師而言，還屬于新鮮事物，教學(xué)設(shè)計理念的轉(zhuǎn)變不可能一蹴而就，需要我們根據(jù)實際區(qū)域差異、校情、班情、學(xué)情進(jìn)一步深入探究。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中英語課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]王薔，李亮.推動核心素養(yǎng)背景下英語課堂教—學(xué)—評一體化：意義、理論與方法[J].課程·教材·教法，2019（5）：114-120.

[3]威金斯，麥克泰格.追求理解的教學(xué)設(shè)計：第2版[M].閆寒冰，宋雪蓮，賴平，譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2017.

（責(zé)任編輯：周彩珍）