鄭元勛，李清華，王常虹，于文昭，孫 強

（1.哈爾濱工業(yè)大學空間控制與慣性技術研究中心，哈爾濱 150001；2.哈爾濱電氣集團哈爾濱電機廠有限公司，哈爾濱 150001；3.哈爾濱電氣集團哈爾濱汽輪機廠有限責任公司，哈爾濱 150001）

近年來，隨著導航定位技術要求逐年增高，特別是在地下、室內以及障礙物分布密集的導航環(huán)境中，高精度、高可靠性的導航信息源匱乏，磁信標導航逐漸成為一種在這些復雜環(huán)境中能提供準確導航服務的潛在信息源。相對于衛(wèi)星信號穿透性差，慣性導航元件導航誤差隨時間積累[1]，無法長時間提供穩(wěn)定，準確的導航服務，無線電導航技術如超寬帶（UWB）[2]等易受多徑效應影響且計算復雜的難點，利用磁信標產(chǎn)生低頻時變磁場進行導航解算的穿透力強，誤差不隨時間累積等優(yōu)勢[3,4]，可實現(xiàn)復雜應用環(huán)境提供高精度導航定位服務。

而在磁信標導航系統(tǒng)中，磁信標在空間中測量磁場模型的準確性是保證高精度磁信標導航的基礎，Dionigi[5]通過研究兩個通電線圈在空間中感應磁矩的關系，得出空間中感應磁場磁矩的模型。Angelis[6]在其模型基礎上，以建立至少三個磁信標的方式，利用測算感應磁場磁矩的大小，解決了三維空間中目標位置解算問題。

Hungsun 等研究者[7-10]對磁偶極子模型做了進一步優(yōu)化，改進了磁偶極子模型，從而提高系統(tǒng)定位精度。然而研究中均將磁偶極子默認為理想情況或將磁偶極子的幾何中心當做實際磁場中心，但實際情況中這種等效是存在誤差的。而在相關研究中缺乏磁信標先驗信息（包括磁信標實際磁場中心與磁信標坐磁場坐標系姿態(tài)角）的標定方法，這些先驗信息的準確性將直接影響最終磁信標系統(tǒng)的導航解算精度。

傳統(tǒng)方法中，磁信標的先驗信息包括磁信標的中心位置與磁信標坐標系的姿態(tài)角。常見的方法[11]是利用磁信標的幾何中心近似代替磁信標的實際磁場中心，而其坐標系默認為是被精確對準過的或直接將螺線管的軸線方向作為磁信標產(chǎn)生磁場坐標系的軸方向。然而由于磁信標的尺寸、制作工藝以及材質、安裝情況等因素，磁信標產(chǎn)生實際磁場的中心與坐標系相對磁信標的理想情況是存在誤差的。通常情況下，當目標距離磁信標足夠遠且并不需要利用磁信標解算目標姿態(tài)角信息時，這種誤差是可以近似忽略的。但在特殊條件下，如需要利用磁信標實現(xiàn)更高精度的目標位置與姿態(tài)角信息解算時，這種近似誤差將會對最終的解算精度產(chǎn)生不利影響，阻礙提高磁信標導航系統(tǒng)的精度。因此，欲達到磁信標導航的高精度，需要對磁信標的中心位置和姿態(tài)進行標定。

針對磁信標先驗信息標定問題，本文提出一種利用低頻時變磁場特征矢量實現(xiàn)對磁信標先驗實際磁場中心位置與姿態(tài)角的高精度標定方法，標定后的磁信標可進一步提高磁信標導航系統(tǒng)的導航解算精度。

1 磁場方向矢量模型與磁信標誤差模型

1.1 磁場方向矢量模型

根據(jù)空間中通電的導體產(chǎn)生磁場模型與Biot-Savart 定律，當目標與磁信標距離足夠遠時（工程上通常將距離在磁信標尺寸兩倍以上情況視為滿足模型精度要求），空間中磁偶極子在目標處的感應磁場模型可表示為

其中，單位矢量m，i分別表示磁矩方向單位矢量與磁信標指向目標的方向單位矢量，環(huán)境中磁導率為μ，M為磁信標的等效磁矩，在我們之前研究中[8]，磁信標可由一組通電螺線管陣列等效得到，空間中P=（r,θ,φ）處的感應磁場模型可表示為

其中，θ表示式(1)中目標方向單位矢量i在Δxoy平面投影與x軸的夾角，φ為i與z軸的夾角,r表示目標位置P與磁信標中心位置O=（mx,my,mz）的距離。磁信標激勵電流為I；磁信標中線圈的等效匝數(shù)Nd；等效半徑為Rd；磁信標的等效高度hd；磁信標的等效磁矩為M，可分別由式(3)計算

其中，n為磁偶極子數(shù)量，Rj為第n列磁偶極子的半徑，hi為第i行磁偶極子的高度，單螺線管結構的磁偶極子陣列如圖1所示。

圖1 單軸螺線管磁偶極子陣列模型Fig.1 Model of magnetic dipole array of single axis solenoid

于是目標方向矢量i的參數(shù)θ與φ可由式(4)計算得到。關于目標方向矢量參數(shù)θ與φ單調性及解算問題可參考我們的研究[11,12]。

1.2 磁信標誤差模型

實際過程中，由于制作工藝、安裝誤差等因素，磁信標產(chǎn)生實際磁場中心及磁場坐標系軸線很難與理想情況重合，此時測量得到的目標方向矢量i將存在誤差，影響導航解算精度。以本文中應用的具有更高穩(wěn)定性的正交螺線管結構磁信標為例，如圖2所示，正交螺線管結構磁信標由圖1中兩組相互正交垂直的螺線管陣列組成。

圖2 理想磁信標與實際磁信標轉換關系Fig.2 The conversion relationship between ideal magnetic beacon and actual magnetic beacon

設磁信標三軸相互垂直，磁信標坐標系c（m）相對于理想坐標系c（0）分別存在以x軸、y軸、z軸正方向為角速度方向的旋轉姿態(tài)角λ、ψ、γ，如圖2中，每次旋轉前為黑色坐標系，旋轉后為藍色坐標系，經(jīng)過三次旋轉后，實現(xiàn)由坐標系c（0）旋轉變換為坐標系c（m）。磁信標實際磁場中心O與理想中心O存在位置偏差ΔO滿足

存在與旋轉角λ、ψ、γ相關的姿態(tài)轉換矩陣，使磁信標理想坐標系c（0）與實際磁場坐標系c（m）滿足如式(6)所示關系。

其中姿態(tài)轉換矩陣與姿態(tài)角λ、ψ、γ的轉換關系可如式(7)所示。

2 磁信標標定原理

磁信標為滿足較大的覆蓋范圍與較低的驅動成本，其尺寸往往較大。傳統(tǒng)方法通過磁信標的幾何尺寸估計磁信標的中心與三軸方向，這種方法估計誤差較大且計算復雜。而相對于磁信標的尺寸，磁強計的中心位置與三軸方向更容易獲取，因此本文將利用三個標定好的磁強計實現(xiàn)對磁信標的中心與姿態(tài)角信息進行標定，從而得到磁信標實際磁場中心位置偏移量ΔO與實際磁場坐標軸三軸旋轉姿態(tài)角λ、ψ、γ。

2.1 磁信標實際中心位置標定

在磁信標周圍布置三個位置與坐標系先驗已知的磁強計，如圖3所示，設三個磁強計的坐標系為理想坐標系，三個磁強計的位置坐標分別為，根據(jù)式(4)中的在三個磁強計位置處的測量信息，可計算得到磁信標實際磁場中心指向三個磁強計位置Pi，Pj，Pk的目標方向矢量

圖3 磁信標磁場實際中心位置標定原理Fig.3 Calibration principle of the actual central position of magnetic beacon

于是磁信標的實際磁場中心位置可由如下步驟計算得到:

步驟1:如圖3中所示，根據(jù)測量得到的三個目標方向矢量ii，ij，ik之間的夾角αij、αik、αjk可由式(9)計算得到

步驟2:根據(jù)三個已知位置磁強計位置Pi，Pj，Pk計算三個磁強計之間的距離lij，lik，ljk

步驟3:根據(jù)余弦定理，αij、αik、αjk與lij、lik、ljk以及磁信標與磁強計之間的距離li、lj、lk滿足如下關系:

于是即可計算得到磁信標實際磁場中心O與三個磁信標位置Pi，Pj，Pk之間的距離li、lj、lk。

綜上所述，根據(jù)步驟1 至步驟3，當在磁信標周圍共布置L個位置已知的磁強計時，磁信標實際磁場中心位置可通過求下面目標函數(shù)最小值獲得:

其中，Pi，i=1…L為先驗已知量，于是磁信標實際磁場中心位置標定完畢，選用磁強計數(shù)量L越多，標定結果越穩(wěn)定，標定精度越高。

2.2 磁信標坐標系姿態(tài)角標定

根據(jù)2.1 中對磁信標實際磁場中心位置的標定結果與圖2可知，磁信標的實際磁場中心為O。根據(jù)式(1)中對目標方向矢量的定義，ii為三維空間中由實際磁場中心O指向目標位置Pi的單位方向矢量，然而由于實際磁場坐標系與理想坐標系（磁信標坐標系）之間沒有重合，如圖4所示，存在如式(6)的轉換關系，因此根據(jù)測量磁場計算得到目標方向矢量方位角θ=θ（m），φ=φ（m）是測量磁場坐標系中的方位角與俯仰角，根據(jù)θ，φ計算得到的關于三個磁強計的目標方向矢量實際是偽矢量；根據(jù)式(6)，與之間存在關于姿態(tài)角λ、ψ、γ的轉換關系，

圖4 磁信標實際磁場坐標系標定原理Fig.4 Calibration principle of the actual magnetic field coordinate system for magnetic beacon

由于與姿態(tài)角λ、ψ、γ相關姿態(tài)轉換矩陣C0m為正交矩陣，因此存在

其中I 為單位矩陣，又因為

因此可得到結論

即，根據(jù)式(12)計算得到磁信標實際中心位置O并不受磁信標實際坐標系與理想坐標系姿態(tài)不一致的影響，滿足O=O（m）。于是，理想目標方向矢量，，可根據(jù)式(12)的位置估計結果估計得到，即

綜上所述，當存在L個磁強計時，可建立磁信標實際磁場中目標單位方向矢量，i=1…L與理想目標單位方向矢量，i=1…L的最小二乘估計關系，

其中，

姿態(tài)角λ、ψ、γ可根據(jù)姿態(tài)角轉換矩陣計算得到

于是，磁信標實際磁場坐標系標定完畢，在實際過程中，根據(jù)式(12)與式(19)即可實現(xiàn)磁信標先驗信息的校正過程。

2.3 磁信標坐標系姿態(tài)角誤差分析

由于磁信標坐標系的姿態(tài)角λ、ψ、γ是根據(jù)磁信標實際磁場中心O的估計結果計算得到的。假設磁信標中心估計結果是無偏的，根據(jù)測量得到的偽目標單位方向矢量的測量誤差服從均值為零的高斯分布，則存在誤差滿足

根據(jù)式(19)與式(22)，設存在誤差矩陣 ΔT（m）滿足:

其中為磁信標實際磁場中心存在估計誤差時姿態(tài)轉換矩陣。

則對式(23)求期望，滿足

由于T與 ΔT（m）無關，因此將T當做常量，則存在

其中0 表示零矩陣，因此式(25)可表示為

即對于姿態(tài)矩陣的估計結果是無偏的，因此關于λ、ψ、γ的估計也是無偏的。設姿態(tài)角λ、ψ、γ的估計誤差Δλ、Δψ、Δγ為小角，于是存在近似關系

以ψ為例，設=ψ+ Δψ，存在

其中

其中為矩陣元素（3,1）的方差，根據(jù)C0m計算得到，因此假設其為已知量，于是ψ的估計方差可表示為

設 cos2ψ≠ 0，同理，可得λ、γ的估計方差

其中，與分別表示在式(21)中根據(jù)求得的對應位置元素的方差。

綜上可知，本方法中提出的關于磁信標實際磁場中心位置與實際磁場坐標系姿態(tài)角的估計方法是無偏估計。其中，實際磁場中心位置O的估計結果穩(wěn)定性（方差）與應用磁強計的測量精度以及數(shù)量相關，實際磁場坐標系姿態(tài)角λ、ψ、γ的估計結果穩(wěn)定性與的估計方差相關（實際上可等效認為與O的估計方差相關），同時還與λ、ψ、γ的真實值相關，在標定過程中根據(jù)式(31)與式(32)可知，應盡量滿足cos2ψ≈ 1，cos2λ≈ 0，cos2γ≈ 0以提高標定結果的穩(wěn)定性。

3 實驗驗證

磁信標實際磁場中心位置與實際磁場坐標系姿態(tài)角為本文的重點研究目標，而實際中未經(jīng)過標定的磁信標很難確定準確的中心位置與坐標系姿態(tài)角，因此本文先通過數(shù)值仿真的方式模擬實驗過程，以校驗本文提出標定方法的精度，再分別利用標定前后的磁信標通過實際實驗對已知先驗位置的目標進行估計解算，將實驗估計結果與先驗信息對比，從而達到校驗磁信標標定方法有效性的目的。

3.1 數(shù)值仿真校驗

設磁信標的磁矩M=221.2 A ? m2，磁導率近似為真空中的磁導率，磁信標實際磁場中心位置O=（0m,0m,0m），磁信標坐標系相對于磁強計坐標系存在姿態(tài)角λ=88°、ψ=0°、γ=88°，觀測磁場信噪比為100，首先利用三個坐標系一致的磁強計實現(xiàn)標定過程，三個磁強計位置分別為P1=（2m,2m,0.5m），P1=（-2m,2m,0.5m），P3=（2m,-2m,0.5m）；再利用四個坐標系一致的磁強計實現(xiàn)標定過程，四個磁強計位置分別為P1=（2 m,2 m,0.5m），P2=（-2 m,2 m,0.5m），P3=（2 m,-2 m,0.5m），P4=（-2 m,-2 m,0.5m）。兩次仿真實驗中，測量磁場的信噪比均為100。于是首先根據(jù)2.1 中步驟1 至步驟3 以及式(12)解算目標實際磁場中心位置，再根據(jù)解算結果，結合2.2 中式(18)至式(21)解算相對姿態(tài)角λ、ψ、γ。分別以三磁強計以及四磁強計解算實現(xiàn)對比實驗，記錄位置解算誤差與姿態(tài)角解算誤差，重復上述過程1000 次，實驗蒙特卡洛過程以提高實驗結果的可靠性，根據(jù)實驗結果繪制積累誤差概率分布曲線，如圖5與圖6所示，其中利用三個磁強計標定的結果中，位置誤差期望約0.011 m，姿態(tài)角誤差期望約0.17 °；利用四個磁強計標定結果中，位置誤差期望約0.009 m，姿態(tài)角誤差期望約0.13 °，顯然根據(jù)實驗結果可發(fā)現(xiàn)，增加標定實驗中磁強計的數(shù)量可提高對磁信標標定結果的精度。

圖5 位置誤差積累概率分布曲線對比結果Fig.5 Comparison of probability distribution curves of position error accumulation

圖6 姿態(tài)角誤差積累概率分布曲線對比Fig.6 Comparison of probability distribution curves of attitude angle error accumulation

3.2 標定磁信標對比實驗

在前一節(jié)仿真校驗實驗中校驗了本文提出的磁信標標定方法的可行性，在本節(jié)中我們將重點檢驗磁信標標定方法的有效性。傳統(tǒng)方法中，根據(jù)磁信標的幾何尺寸估計磁信標的中心與坐標軸。本實驗中所用磁信標軸線長度為35 cm，螺線管直徑15 cm。于是磁信標根據(jù)軸線長及螺線管直徑可等效為長寬為d=35cm，高為h=15cm的長方體，如圖7所示，長方體八個定點的坐標分別為Pi，i=1… 8，于是傳統(tǒng)方法中磁信標的中心位置認為是長方體的幾何中心，即

將磁信標放置于水平地面上，以螺線管軸線方向為坐標系x軸與y軸方向，以水平面法線方向為z軸方向建立的坐標系為磁信標的坐標系。

圖7 傳統(tǒng)幾何標定磁信標方法Fig.7 Traditional geometric calibration method for magnetic beacon

實驗環(huán)境如圖8所示，由于實驗室條件限制，實驗中利用單個磁信標放置在不同位置，將目標處磁強計采集到的測量數(shù)據(jù)離線處理的方式等效為多個磁信標同時工作，如圖8所示。分別利用傳統(tǒng)標定方法與本文提出標定方法得出的磁信標先驗信息對目標位置與姿態(tài)進行解算，實驗中采用多個磁信標對目標位置與姿態(tài)進行解算，相關方法可參考我們之前的研究[11,12]，隨機選擇200 個已知先驗位置布置磁強計進行驗證實驗，實驗結果如圖9與圖10所示。

圖8 靜態(tài)目標位置與姿態(tài)解算實驗環(huán)境Fig.8 The experimental environment of static target position and attitude solution

圖9 傳統(tǒng)方法與本文方法定位精度對比Fig.9 Comparison of positioning accuracy between the traditional method and the proposed one

圖10 傳統(tǒng)方法與本文方法姿態(tài)精度對比Fig.10 Comparison of attitude accuracy between the traditional method and the proposed one

利用傳統(tǒng)方法標定的磁信標對目標進行解算，位置誤差期望為0.154 m，姿態(tài)角誤差期望為3.5 °；利用本文提出的方法標定的磁信標對目標進行導航解算，位置誤差期望為0.110 m，姿態(tài)角誤差期望為1.3 °。位置精度提高28.6%，姿態(tài)角精度提高62.8%。顯然，利用本文提出的方法標定后的磁信標對目標進行導航解算，具有更高的精度，驗證了本文提出磁信標標定方法的有效性。

4 結 論

針對磁信標導航系統(tǒng)中磁信標幾何中心、螺線管軸線與實際產(chǎn)生磁場中心、坐標系軸線方向不一致的問題，提出一種利用磁信標產(chǎn)生的實際磁場方向矢量標定磁信標實際磁場中心位置與坐標系相對姿態(tài)角的方法。仿真實驗中，所提方法標定磁信標實際磁場中心位置估計誤差期望最小為0.009 m，坐標系姿態(tài)角誤差期望為0.13 °，采用該方法標定后的磁信標對先驗信息已知的目標進行導航解算，相對于傳統(tǒng)幾何近似方法位置精度提高28.6%；姿態(tài)角精度提高62.8%。實驗結果表明該方法相對傳統(tǒng)幾何近似的方法，能得到更精確的磁信標先驗信息，具有較高的應用價值。