張凱翔，陳久朋，熊彬州，李 奇，胡瓊瓊

(昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，云南 昆明 650500)

現(xiàn)階段，機(jī)器人作為工業(yè)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)之一，其占有量和創(chuàng)新性越來(lái)越成為國(guó)家綜合實(shí)力的標(biāo)志。運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真及軌跡規(guī)劃作為機(jī)器人控制的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。與此同時(shí)，基于MATLAB開發(fā)的機(jī)器人研究輔助工具箱也激發(fā)了相關(guān)學(xué)者極大的研究興趣[1]。在眾多MATLAB機(jī)器人仿真工具箱中，由澳大利亞Peter Corke教授開發(fā)的MATLAB Robotics Toolbox(Robotics Toolbox)是較為經(jīng)典的一個(gè)工具[2]，被廣泛應(yīng)用于機(jī)器人的輔助研究和教學(xué)示范，不僅能夠獲得機(jī)器人末端執(zhí)行器位姿的正反解，也可以進(jìn)行末端執(zhí)行器的軌跡規(guī)劃[3-5]。因此，作為一個(gè)強(qiáng)有力的輔助研究工具，Robotics Toolbox吸引了學(xué)者的廣泛關(guān)注。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外的研究人員通過(guò)Robotics Toolbox進(jìn)行了多項(xiàng)研究工作[6-7]。廈門大學(xué)的胡國(guó)清等學(xué)者在對(duì)柱面坐標(biāo)機(jī)器人的研究中利用了該工具進(jìn)行了建模與軌跡仿真，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)機(jī)器人的功能有效性[8]。哈爾濱工業(yè)大學(xué)的李瑞峰等研究人員通過(guò)該工具對(duì)仿人型機(jī)器人進(jìn)行了正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的仿真，得到了雙臂各關(guān)節(jié)的角度變化曲線，驗(yàn)證了該機(jī)器人設(shè)計(jì)參數(shù)的合理性[9]。不列顛哥倫比亞大學(xué)的Kulic′等人在對(duì)機(jī)器人的人機(jī)交互研究中，通過(guò)Robotics Toolbox進(jìn)行了仿真與分析，驗(yàn)證了該機(jī)器人的人機(jī)交互實(shí)時(shí)安全性[10]。以上相關(guān)學(xué)者的研究工作為機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)仿真開拓了新思路。但在軌跡規(guī)劃方面，以點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的軌跡為主，沒(méi)有涉及對(duì)復(fù)雜的連續(xù)曲線進(jìn)行仿真分析。

本文通過(guò)對(duì)Robotics Toolbox進(jìn)行二次開發(fā)，增加了循環(huán)算法，使點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的軌跡仿真擴(kuò)展為連續(xù)的任意曲線仿真。同時(shí)，得到連續(xù)曲線的各關(guān)節(jié)角度、角速度和角加速度曲線。在對(duì)平面余弦曲線和空間螺旋曲線的軌跡仿真中，實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)生成的末端軌跡與設(shè)定的目標(biāo)曲線吻合，驗(yàn)證了該算法的有效性。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1 D-H參數(shù)分析

本文采用ABB_IRB120型機(jī)器人作為分析模型，該機(jī)器人具有6個(gè)自由度，行動(dòng)靈活輕便，被廣泛應(yīng)用于電子電器、食品包裝、機(jī)械加工等各個(gè)行業(yè)。該機(jī)器人具體結(jié)構(gòu)如圖1所示。

通過(guò)對(duì)該機(jī)器人運(yùn)動(dòng)單元的結(jié)構(gòu)分析，建立數(shù)學(xué)模型，是對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真與分析的基礎(chǔ)。采用Denavit-Hartenberg(D-H)法對(duì)該型機(jī)器人的各個(gè)關(guān)節(jié)進(jìn)行參數(shù)分析，并建立機(jī)器人的關(guān)節(jié)D-H參數(shù)表為其運(yùn)動(dòng)學(xué)正反解的矩陣變換提供可參考的數(shù)值依據(jù)[11-12]。首先，以該機(jī)器人的底座為基坐標(biāo)系{0}，其余6個(gè)坐標(biāo)系依次建立在各個(gè)關(guān)節(jié)上。各坐標(biāo)系均以關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)軸為Z方向，按右手定則建立。通過(guò)對(duì)該型機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)與運(yùn)動(dòng)方向的分析，建立了該型機(jī)器人的D-H空間坐標(biāo)系如圖2所示。

在建立的坐標(biāo)系基礎(chǔ)上，分析各關(guān)節(jié)所對(duì)應(yīng)的子坐標(biāo)系及其各個(gè)關(guān)節(jié)的尺寸參數(shù)[13]，建立如表1所示的關(guān)節(jié)連桿D-H參數(shù)表。

表1 ABB_IRB120型機(jī)器人關(guān)節(jié)D-H參數(shù)表

其中，θ1=(-165°～165°)、θ2=(-110°～110°)、θ3=(-90°～70°)、θ4=(-160°～160°)、θ5=(-120°～120°)、θ6=(-400°～400°)。

1.2 工作空間分析

機(jī)器人的工作空間是機(jī)器人研究中的一個(gè)重要參數(shù)。工作空間受各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角范圍及連桿長(zhǎng)度影響，反映了機(jī)器人的末端執(zhí)行器在三維空間所能夠到達(dá)的位置。通過(guò)參考機(jī)器人的D-H參數(shù)表，可分析其正向運(yùn)動(dòng)學(xué)的齊次變換矩陣，然后采用蒙特卡洛(Monte Carlo)法模擬出該機(jī)器人的工作空間點(diǎn)云圖。

Ti=

(1)

式中，αi、ai、di和θi分別為第i個(gè)連桿所對(duì)應(yīng)的連桿轉(zhuǎn)角、連桿長(zhǎng)度、連桿偏距和關(guān)節(jié)角。

將各個(gè)關(guān)節(jié)所對(duì)應(yīng)的D-H參數(shù)代入式(1)中，得該機(jī)器人的末端執(zhí)行器到基坐標(biāo)系{0}的齊次變換矩陣如式(2)所示。

(2)

其中

m1=-S6(S4(C1C2C3-C1S2S3)+C4S1)-

C6(S5(C1C2S3+C1C2S2)+C5(S1S4-C4(C1C2C3-

C1S2S3)))

m2=S6(S5(C1C2S3+C1C3S2)+C5(S1S4-C4(C1C2C3-

C1S2S3)))-C6(S4(C1C2C3-C1S2S3)+C4S1)

m3=C5(C1C2S3+C1C3S2)-S5(S1S4-C4(C1C2C3-

C1S2S3))

px=0.072·C5(C1C2S3+C1C3S2)-0.072·S5(S1S4-

C4(C1C2C3-C1S2S3))+0.27·C1C2+0.07·C1C2C3+

0.302·C1C2S3+0.302·C1C3S2-0.07·C1S2S3

n1=S6(C1C4-S4(C2C3S1-S1S2S3))-C6(S5(C2S1S3+

C3S1S2)-C5(C4(C2C3S1-S1S2S3)+C1S4))

n2=C6(C1C4-S4(C2C3S1-S1S2S3))+S6(S5(C2S1S3+

C3S1S2)-C5(C4(C2C3S1-S1S2S3)+C1S4))

n3=C5(C2S1S3+C3S1S2)+S5(C4(C2C3S1-S1S2S3)+

C1S4)

py=0.072·C5(C2S1S3+C3S1S2)+0.072·S5(C4(C2C3S1-

S1S2S3)+C1S4)+0.27·C2S1+0.07·C2C3S1)+

0.302·C2S1S3+0.302·C3S1S2-0.07·S1S2S3)

l1=C6(S5(S2S3-C2C3)-C4C5(C2S3+C3S2))+

S4S6(C2S3+C3S2)

l2=C6S4(C2S3+C3S2)-S6(S5(S2S3-C2C3)-

C4C5(C2S3+C3S2))

l3=-C5(S2S3-C2C3)-C4S5(C2S3+C3S2)

pz=0.302·C2C3-0.302·S2S3-

0.072·C5(S2S3-C2C3)-0.27·S2-0.07·C2S3-

0.07·C3S2-0.075·C4S5(C2S3+C3S2)+0.29

式中，Si和Ci分別表示第i個(gè)關(guān)節(jié)角對(duì)應(yīng)的sin(θi)和cos(θi)。由此，可根據(jù)得到的齊次變換矩陣進(jìn)行正向運(yùn)動(dòng)學(xué)求解，得到不同關(guān)節(jié)角度變化對(duì)應(yīng)的末端執(zhí)行器的位姿。

采用蒙特卡洛法對(duì)機(jī)器人末端執(zhí)行器的工作空間進(jìn)行概率模擬，生成的工作空間三維云圖如圖3所示。

2 點(diǎn)對(duì)點(diǎn)軌跡仿真分析

機(jī)器人末端執(zhí)行器的軌跡規(guī)劃是機(jī)器人研究的重點(diǎn)領(lǐng)域之一，影響著機(jī)器人在生產(chǎn)制造過(guò)程中的實(shí)際使用效果。首先，根據(jù)機(jī)器人的D-H參數(shù)，使用Robotics Toolbox，通過(guò)其中的link和robot等函數(shù)[16]構(gòu)建ABB_IRB120型機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真模型。通過(guò)teach函數(shù)可以調(diào)出機(jī)器人的虛擬示教器。移動(dòng)虛擬示教器上各關(guān)節(jié)對(duì)應(yīng)的滑塊，可調(diào)節(jié)仿真模型中各關(guān)節(jié)的角度，從而觀察末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真效果。

在建立的仿真模型基礎(chǔ)上，通過(guò)Robotics Toolbox的jtraj函數(shù)[16]對(duì)末端執(zhí)行器進(jìn)行兩點(diǎn)之間的軌跡規(guī)劃，并生成5次多項(xiàng)式曲線。指定機(jī)器人末端執(zhí)行器的起點(diǎn)與終點(diǎn)，起點(diǎn)(0.3,0,0.5)、終點(diǎn)(0.5,0.3,0.5)。對(duì)機(jī)器人進(jìn)行點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的末端軌跡規(guī)劃，生成軌跡的效果如圖4所示。

由圖4可看出，機(jī)器人在所給首末點(diǎn)之間自動(dòng)生成一條光滑的曲線。在Robotics Toolbox中求解其運(yùn)動(dòng)過(guò)程的角度、角速度和角加速度曲線。對(duì)其1～3關(guān)節(jié)進(jìn)行分析，其關(guān)節(jié)特性參數(shù)如圖5所示。

由jtraj函數(shù)自動(dòng)生成的軌跡是兩個(gè)關(guān)節(jié)之間的5次多項(xiàng)式曲線。從圖5(a)中可以看出其角度曲線光滑連續(xù)。圖5(b)中的角速度曲線顯示其速度變化平穩(wěn)。通過(guò)圖5(c)中可以看出其角加速度值較小，在合理范圍內(nèi)[17]。

3 連續(xù)軌跡仿真分析

在實(shí)際生產(chǎn)制造過(guò)程中，機(jī)器人末端執(zhí)行器需要加工各種不同的零件，其零件表面往往是復(fù)雜的曲面或是不規(guī)則形態(tài)。這對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的要求遠(yuǎn)不止點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡所能達(dá)到，而是需要進(jìn)行復(fù)雜且連續(xù)的軌跡規(guī)劃。因此，需要對(duì)Robotics Toolbox進(jìn)行二次改進(jìn)，使其能夠進(jìn)行復(fù)雜曲線的軌跡仿真。

3.1 平面正弦曲線軌跡仿真

機(jī)器人實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中，經(jīng)常需要對(duì)平面進(jìn)行加工。因此，對(duì)末端執(zhí)行器進(jìn)行平面曲線的仿真是機(jī)器人研究的重要環(huán)節(jié)。

通過(guò)在X-Z平面內(nèi)繪制余弦曲線來(lái)研究各關(guān)節(jié)在平面運(yùn)動(dòng)的性能。余弦函數(shù)曲線的空間表達(dá)式如式(3)所示。

(3)

其曲線圖形如圖6所示。

要得到連續(xù)的復(fù)雜曲線，需要在曲線中設(shè)置多個(gè)中間點(diǎn)，讓機(jī)器人執(zhí)行器依次通過(guò)設(shè)定的各個(gè)中間點(diǎn)以完成整個(gè)復(fù)雜曲線的仿真。因此，對(duì)Robotics Toolbox進(jìn)行了二次開發(fā)，通過(guò)增加循環(huán)算法，再將各個(gè)中間點(diǎn)之間用5次多項(xiàng)式連接。所得到的生成余弦曲線軌跡的仿真效果如圖7所示。

由圖7的軌跡生成效果圖中可看出，機(jī)器人在仿真運(yùn)行中按照設(shè)定的余弦軌跡路徑來(lái)動(dòng)作，其行走的整條軌跡與設(shè)定目標(biāo)軌跡完全吻合。關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)3對(duì)應(yīng)的角度、角速度和角加速曲線如圖8所示。

由圖8中可以看出，在進(jìn)行平面余弦軌跡的仿真過(guò)程中，該機(jī)器人的各關(guān)節(jié)的角度曲線連續(xù)平滑，角速度變化平緩無(wú)突變，角加速度值在較小范圍內(nèi)變化，各特性參數(shù)達(dá)到運(yùn)動(dòng)學(xué)要求。

3.2 空間螺旋曲線軌跡仿真

機(jī)器人末端執(zhí)行器的空間運(yùn)動(dòng)軌跡是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)中更為普遍的狀態(tài)，也是機(jī)器人軌跡規(guī)劃中的基本研究對(duì)象之一。通過(guò)在X-Y-Z空間內(nèi)繪制螺旋曲線，來(lái)研究機(jī)器人的空間運(yùn)動(dòng)特性。其螺旋曲線的空間表達(dá)式如式(4)所示。

(4)

設(shè)定的螺旋線的空間三維模型如圖9所示。

通過(guò)改進(jìn)循環(huán)算法，得到生成螺旋軌跡的仿真效果如圖10所示。

在圖10中，機(jī)器人仿真過(guò)程中行走的軌跡與設(shè)定的目標(biāo)曲線一致。其關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)3的角度、角速度和角加速度曲線如圖11所示。

在對(duì)上述關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)特性圖的分析中，發(fā)現(xiàn)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的角度變化較為平滑，角度值在合理范圍內(nèi)。但在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中存在若干點(diǎn)的突變情況，從而引起角速度和角加速度值的突變。經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，突變點(diǎn)的數(shù)量占總數(shù)的4.8%以下。其原因可能是由于機(jī)器人逆解過(guò)程中的多解問(wèn)題造成的[18]，這也是Robotics Toolbox的一個(gè)局限性之一。在下一階段的研究中，研究者將提出相應(yīng)的優(yōu)化算法來(lái)處理這種機(jī)器人逆解過(guò)程中的多解問(wèn)題。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文根據(jù)ABB_IRB120型機(jī)器人的結(jié)構(gòu)特性，建立其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，通過(guò)MATLAB Robotics Toolbox對(duì)其進(jìn)行模型仿真和點(diǎn)對(duì)點(diǎn)軌跡規(guī)劃。文中對(duì)該工具箱進(jìn)行二次開發(fā)，增加了循環(huán)算法，使其能夠仿真復(fù)雜的連續(xù)空間曲線。同時(shí)，獲得了它們運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的角度、角速度和角加速度的運(yùn)動(dòng)特性曲線。通過(guò)對(duì)平面余弦曲線及空間螺旋曲線的軌跡進(jìn)行仿真和分析，驗(yàn)證了該算法的可行性和有效性。在對(duì)空間螺旋曲線的速度曲線分析過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)其速度存在突變情況，這是由于逆解過(guò)程中的多解性質(zhì)造成的，是Robotics Toolbox的一個(gè)局限性，也是下一階段將要研究的方向。下一階段研究將承接本文，重點(diǎn)進(jìn)行多解問(wèn)題的優(yōu)化算法研究。