孫培芪, 卜俊洲, 陶庭葉, 房興博, 賀 晗, 馮佳琪

(合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

隨著近景攝影測(cè)量技術(shù)的發(fā)展以及非量測(cè)攝影機(jī)的廣泛應(yīng)用,由于非量測(cè)攝影機(jī)的畸變較大,需要經(jīng)過(guò)畸變參數(shù)矯正才可以應(yīng)用于后續(xù)的研究,越來(lái)越多的相機(jī)檢校場(chǎng)地以及檢校算法都得到了迅速的發(fā)展。其目的是利用檢校場(chǎng)通過(guò)共線方程快速計(jì)算出非量測(cè)攝影機(jī)的內(nèi)方位元素(x0,y0,f)和各種畸變參數(shù)(k1,k2,…,P1,P2,…)。傳統(tǒng)的室內(nèi)相機(jī)檢校場(chǎng)地(如武漢大學(xué)遙感信息工程學(xué)院建立的室內(nèi)檢校場(chǎng))環(huán)境要求較高,造價(jià)昂貴且日常維護(hù)較困難。在某些情況下,對(duì)非量測(cè)攝影機(jī)進(jìn)行臨時(shí)矯正并不適用。

本文提出了一種較為簡(jiǎn)便的相機(jī)檢校場(chǎng)地建立方法,并針對(duì)該檢校場(chǎng)對(duì)直接線性變換(direct linear transform,DLT)算法進(jìn)行了相應(yīng)的改進(jìn)。該算法可以使檢校場(chǎng)地的環(huán)境要求大大降低,只需要一面墻并且擁有一定的縱深,使設(shè)立的控制點(diǎn)保持不在同一平面即可。但是,實(shí)際情況下縱深程度往往達(dá)不到要求,使共線方程誤差系數(shù)矩陣呈現(xiàn)病態(tài),從而影響內(nèi)方位元素以及畸變參數(shù)的精度,因此本文通過(guò)整體最小二乘方法改進(jìn)的DLT算法可以解決縱深程度不夠的影響,使求得的檢校參數(shù)滿足要求。

1 校場(chǎng)的建立

相機(jī)檢校是非量測(cè)攝影機(jī)進(jìn)行近景攝影測(cè)量的前提,其目的就是要求得相機(jī)的內(nèi)方位元素、徑向畸變差以及偏心畸變差,從而恢復(fù)每一張影像光束的正確形狀[1]。相機(jī)檢校場(chǎng)建立的好壞往往會(huì)決定整個(gè)近景攝影測(cè)量的結(jié)果,因此場(chǎng)地的建立要滿足以下條件[2]:

(1) 控制場(chǎng)要具有一定的深度,使得布設(shè)的標(biāo)志點(diǎn)不在一個(gè)平面上。

(2) 地面控制點(diǎn)的建立要有利于單片空間后方交會(huì)。

(3) 標(biāo)志點(diǎn)所形成的控制網(wǎng)在一定時(shí)間內(nèi)保持穩(wěn)定。

(4) 所有的標(biāo)志點(diǎn)利用全站儀在統(tǒng)一坐標(biāo)系下進(jìn)行精確量測(cè)。

1.1 檢校場(chǎng)地的選擇

在考慮以上檢校場(chǎng)地的條件,并且滿足該實(shí)驗(yàn)所需要的縱深程度不夠的要求,場(chǎng)地選擇了一座普通辦公樓的一面墻。墻上具有排水所用的排水管,以此來(lái)作為一定程度的縱深。該墻面光照充足,可以在任何時(shí)間獲取實(shí)驗(yàn)所需的數(shù)據(jù),墻面整體為黃色,白色部分為反光貼。符合實(shí)驗(yàn)所要求的臨時(shí)簡(jiǎn)易檢校場(chǎng)的條件。建立的檢校場(chǎng)如圖1所示。

圖1 簡(jiǎn)易室外檢校場(chǎng)

1.2 標(biāo)志點(diǎn)的選區(qū)與建立

標(biāo)志點(diǎn)的選擇應(yīng)有利于圖像中像點(diǎn)坐標(biāo)的提取,而且要使全站儀方便瞄準(zhǔn),獲得高精度的物方坐標(biāo)。因此利用反射片作為標(biāo)志點(diǎn),反射片模板為40 mm×40 mm。其布設(shè)要求是所有的標(biāo)志點(diǎn)不在同一平面內(nèi),并且擁有一定的縱深程度。

在實(shí)驗(yàn)中,為了保證縱深程度不夠的要求,僅在水管上布設(shè)少量標(biāo)志點(diǎn),其余標(biāo)志點(diǎn)均勻布設(shè)在墻面上。經(jīng)相關(guān)試驗(yàn)驗(yàn)證[3],標(biāo)志點(diǎn)布設(shè)9～14個(gè),精度為最佳。故該檢校場(chǎng)共布設(shè)10個(gè)標(biāo)志點(diǎn),其中3個(gè)布設(shè)在水管上,另外7個(gè)均勻布設(shè)在墻面上。

1.3 地面控制點(diǎn)的建立

在該檢校場(chǎng)中,采用相對(duì)坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算?？梢越O坐標(biāo)系,利用全站儀在地面布設(shè)的控制點(diǎn)對(duì)標(biāo)志點(diǎn)進(jìn)行量測(cè)即可獲得相對(duì)坐標(biāo)。首先在距離墻面5 m且正對(duì)檢校場(chǎng)中心的位置上埋設(shè)釘子作為坐標(biāo)原點(diǎn),接著在距離第1顆釘子10 m處埋設(shè)第2顆,并且要求2顆釘子的連線與墻面平行。

假定釘子的延伸方向?yàn)楸狈较颍瑸榱朔乐棺鴺?biāo)值出現(xiàn)負(fù)數(shù),將原點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)置為(1 000,1 000,10)。使用時(shí)將全站儀架在坐標(biāo)系原點(diǎn)且沿北方向置0,將2號(hào)釘子設(shè)立為后視點(diǎn),并輸入坐標(biāo)(1 010,1 000,10),校核后即可對(duì)檢校場(chǎng)標(biāo)志點(diǎn)進(jìn)行量測(cè),獲取相對(duì)坐標(biāo)。

2 共線方程與整體最小二乘

2.1 相機(jī)檢校的內(nèi)容與誤差來(lái)源

檢校目的[4]如下:

(1) 對(duì)主點(diǎn)(x0,y0)的測(cè)定以及主距f進(jìn)行測(cè)定。

(2) 光學(xué)畸變系數(shù)的測(cè)定。

數(shù)碼相機(jī)進(jìn)行檢校主要是為了恢復(fù)影像光束的正確形狀,即時(shí)獲取非量測(cè)相機(jī)的內(nèi)外方位元素以及光學(xué)畸變參數(shù)。光學(xué)畸變參數(shù)主要分為徑向畸變與偏心畸變2種。

2.2 含有鏡頭畸變參數(shù)的DLT解法

2.2.1 共線方程解法

根據(jù)中心投影的相片列出的方程[5]如下:

(1)

其中,(x0,y0)為像主點(diǎn)坐標(biāo);(Xs,Ys,Zs)為攝影中心的坐標(biāo);(X,Y,Z)為物方坐標(biāo);(x,y)為像方坐標(biāo)。

將共線方程線性化:

(2)

(2)式中有L1～L11共11個(gè)未知參數(shù),需要根據(jù)6個(gè)物方坐標(biāo)系坐標(biāo)以及6個(gè)像方空間坐標(biāo)列出11個(gè)方程才能解出11個(gè)未知參數(shù)。列出如下方程式:

(3)

(3)式的簡(jiǎn)化形式如下：

AL-w=0

(4)

其中,A為系數(shù)矩陣；L為參數(shù)矩陣；w為常量矩陣。

對(duì)于非量測(cè)相機(jī)來(lái)說(shuō),相機(jī)存在鏡頭畸變,需對(duì)鏡頭畸變進(jìn)行改正。而解出的值由于鏡頭畸變只是L1～L11的近似值,故需要考慮鏡頭畸變的影響。含有相機(jī)鏡頭畸變參數(shù)的共線方程為:

(5)

(5)式中,(Δx,Δy)像點(diǎn)坐標(biāo)為非線性改正量,具體計(jì)算公式為：

(6)

其中，k1、k2為鏡頭的徑向畸變系數(shù)；P1、P2為鏡頭的偏心畸變系數(shù)。從而得到共線方程的誤差改正方程為:

(7)

其中,(L1～L11,k1,k2,P1,P2)為L(zhǎng)矩陣的參數(shù)。

A=L9X+L10Y+L11Z+1

(8)

2.2.2 L矩陣的求解

誤差方程的簡(jiǎn)化形式如下：

V=BL-w

(9)

(10)

(11)

B1為B矩陣的1～4列:

B2為B矩陣的5～8列:

B3為B矩陣的9～11列:

B4為B矩陣的12～13列:

B5為B矩陣的14～15列:

從而,將(9)式變形為：

L=(BTB)-1BTw

(12)

即可獲得求解L矩陣的公式。內(nèi)方位元素(x0,y0,fx,fy)求解如下。

x0、y0的求解公式分別為:

(13)

(14)

fx、fy的求解公式分別為:

(15)

(16)

上述步驟是一迭代過(guò)程,其迭代判斷依據(jù)是相鄰2次fx之差是否小于0.01 mm。

2.3 基于奇異值分解的整體最小二乘方法

基于奇異值分解的整體最小二乘方法[6],其誤差方程的表現(xiàn)形式為:

L=(A-EA)X-el

(17)

其中,L為n×1維觀測(cè)向量;X為m×1維未知參數(shù)向量;A為n×m維觀測(cè)系數(shù)矩陣;EA為A的隨機(jī)誤差矩陣;el為n×1維觀測(cè)噪聲矩陣。為了解決整體最小二乘問(wèn)題,(17)式可改寫(xiě)為:

(18)

(19)

對(duì)上述SVD分解后的矩陣進(jìn)行分塊:

U1=[U11U12]

(20)

(21)

(22)

未知參數(shù)的最佳估值為:

(23)

在DLT算法中,可以對(duì)[Bw]矩陣進(jìn)行奇異值分解的方法進(jìn)行求解L矩陣[7]。

3 應(yīng)用實(shí)例

3.1 影像獲取及像平面坐標(biāo)提取

本文所檢校的相機(jī)為佳能5D MarkⅢ相機(jī)。該相機(jī)有效像素為2 230×104,4.4倍光學(xué)變焦鏡頭,等效35 mm焦距為24～105 mm,并配合全新的DIGIC5+處理器,常用感光度為ISO100～25 600。該相機(jī)為非兩側(cè)攝影機(jī),可固定焦距進(jìn)行拍攝,且支持高清影像。

拍攝前,將相機(jī)放置在腳架上,通過(guò)水準(zhǔn)氣泡將相機(jī)調(diào)制水平,固定好焦距,在光線充足的情況下對(duì)檢校場(chǎng)進(jìn)行拍攝。

拍攝時(shí),應(yīng)使被攝對(duì)象基本占滿整個(gè)像幅,以此來(lái)獲得較大比例尺,并且每張相片盡可能多地包含標(biāo)志點(diǎn),這樣可以盡可能地提高精度,也可以充分反映影像畸變差。

拍攝完相片之后,就要提取影像中標(biāo)志點(diǎn)的像點(diǎn)坐標(biāo)[8]。首先,利用PhotoShop將每個(gè)標(biāo)志點(diǎn)的像素坐標(biāo)提取出的單位設(shè)置為cm。提取坐標(biāo)時(shí),應(yīng)用鼠標(biāo)對(duì)十字絲進(jìn)行精確定位[9]。此時(shí)由于像點(diǎn)坐標(biāo)系的原點(diǎn)為相片左上角,而且x、y正方向分別為向左和向下;接著,需要將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到相片中心,將相片分為4個(gè)坐標(biāo)系,并且將y軸方向反轉(zhuǎn),將其變換為熟悉的坐標(biāo)系,此坐標(biāo)系稱(chēng)之為像平面坐標(biāo)系。標(biāo)志點(diǎn)在相平面坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為像平面坐標(biāo),也是帶入共線方程所需要的數(shù)值;最后,將提取出的像點(diǎn)坐標(biāo)根據(jù)坐標(biāo)系的平移轉(zhuǎn)化為像平面的坐標(biāo),其結(jié)果見(jiàn)表1所列。

表1 像平面坐標(biāo) cm

3.2 獲取標(biāo)志點(diǎn)物方空間坐標(biāo)

本文使用海星達(dá)ATS-320全站儀,測(cè)距精度為3 mm±2 pm。在實(shí)驗(yàn)中,首先利用全站儀在2個(gè)地面控制點(diǎn)上分別架站測(cè)10個(gè)標(biāo)志點(diǎn),各測(cè)4次取平均值。兩站測(cè)得結(jié)果相差小于1 mm,滿足精度要求,再取平均值得到10個(gè)標(biāo)志點(diǎn)的坐標(biāo)[10]。

各標(biāo)志點(diǎn)坐標(biāo)見(jiàn)表2所列。

表2 物方空間坐標(biāo) m

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

(1) 將以上數(shù)據(jù)帶入共線方程,使用普通最小二乘方法求解,利用Matlab進(jìn)行解算。運(yùn)算結(jié)果顯示誤差系數(shù)矩陣接近奇異值。這正是由于檢校場(chǎng)的縱深程度不夠所造成的。

(2) 將數(shù)據(jù)帶入共線方程,使用改進(jìn)的整體最小二乘方法,并利用Matlab進(jìn)行解算,其結(jié)果見(jiàn)表3所列。

表3 Matlab計(jì)算結(jié)果

(3) 使用軟件對(duì)佳能5D MarkⅢ相機(jī)進(jìn)行檢校。將所得數(shù)據(jù)作為精確值，如圖3所示，精確值與實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比,見(jiàn)表4所列。發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)所得結(jié)果在小數(shù)點(diǎn)后n位與精確值一致,從而證明該方法所得檢校參數(shù)接近精確值。

圖3 Lensphoto檢校結(jié)果

表4 數(shù)據(jù)對(duì)比

4 結(jié) 論

(1) 本文所使用方法在一定程度上緩解了檢校場(chǎng)縱深程度不夠?qū)z校參數(shù)的影響。檢校場(chǎng)的建立要遵循其基本要求,即所有點(diǎn)不能在同一平面上,但是該方法可以完成一些場(chǎng)地?zé)o法滿足要求的情況下的相機(jī)檢校工作。

(2) 最小二乘方法其實(shí)質(zhì)是對(duì)接近奇異值的矩陣進(jìn)行求逆的一種近似解。其近似解的精度與精確解的差異很小,對(duì)于實(shí)際生產(chǎn)中所造成的影響已經(jīng)微乎其微。因此利用整體最小二乘方法可以在檢校場(chǎng)縱深程度不夠的情況下,代替最小二乘求解。該方法也提供了一種建立臨時(shí)簡(jiǎn)易相機(jī)檢校場(chǎng)的方法,即使在縱深程度不夠的情況下,也可得到檢校參數(shù)的近似解,使工作者可以快速獲取數(shù)據(jù)。

(3) 整體最小二乘方法是矩陣求逆近似解的方法之一,其他方法是否可以應(yīng)用于相機(jī)檢校,所得檢校參數(shù)的精度是否滿足要求,也是未來(lái)值得探討的問(wèn)題。

(4) 傳統(tǒng)相機(jī)檢校場(chǎng)地的建立需要滿足的要求較高、造價(jià)昂貴以及需要日常維護(hù)。因此簡(jiǎn)易的相機(jī)檢校場(chǎng)的建立還需要進(jìn)一步的研究。