陳小俊，陳友明，A. 艾西瑪多夫，F(xiàn). 艾西瑪多夫

（1. 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川成都610064；2. 重慶理工大學(xué)理學(xué)院，重慶400054；3. 托萊多大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)系，美國俄亥俄州托萊多43606；4. 首都師范大學(xué)北京成像理論與技術(shù)高精尖創(chuàng)新中心，北京100048）

在代數(shù)幾何中，仿射概型(affine scheme)組成的范疇與交換代數(shù)組成的范疇是等價(jià)的。在此對應(yīng)下，一個(gè)幾何對象(或者結(jié)構(gòu))可以用代數(shù)的語言來描述，反之亦是如此。例如，仿射概型上的向量叢等價(jià)于對應(yīng)的交換代數(shù)上的有限生成投射模，概型上的切向量場等價(jià)于對應(yīng)的代數(shù)的導(dǎo)子(derivation)，等等。

像投射模、導(dǎo)子這些概念，不僅僅對交換代數(shù)可以定義，它們對一般的結(jié)合代數(shù)也是可以定義的。一個(gè)自然的問題是：對于一個(gè)結(jié)合代數(shù)，是不是也存在類似“仿射概型”這樣的空間，使得上面這些代數(shù)的概念可以對應(yīng)到相應(yīng)空間的幾何結(jié)構(gòu)上？

在過去幾十年中，數(shù)學(xué)家們一直在尋找這樣的空間，但是并不是很成功。雖然如此，我們?nèi)匀豢梢约傧脒@些空間是存在的，并稱之為“非交換空間”，這些非交換空間上的幾何稱為“非交換幾何”。實(shí)際上，我們在研究幾何結(jié)構(gòu)的時(shí)候，往往是通過這些幾何結(jié)構(gòu)與其他已知空間上的幾何結(jié)構(gòu)的關(guān)系來得到相應(yīng)的信息。如果我們收集的這種信息足夠多，那么“窺一斑而知全豹”，這個(gè)假想的“非交換空間”的各種幾何性質(zhì)也就足夠清楚了，或者更準(zhǔn)確地說，對我們的研究而言，就已經(jīng)足夠了。

1 背景介紹

本文接下來從所謂的Kontsevich?Rosenberg 原理出發(fā)，以非交換泊松幾何和非交換辛幾何為例，介紹非交換幾何的研究思想、內(nèi)容和方法。

我們需要指出的是，導(dǎo)出非交換代數(shù)幾何是一個(gè)非常宏大的研究領(lǐng)域，囿于作者的學(xué)識，我們甚至不能對這一領(lǐng)域做一個(gè)大概的介紹。在本文中，我們只對我們感興趣的幾個(gè)問題做一個(gè)簡介。讀者們不要誤認(rèn)為導(dǎo)出非交換幾何僅限于我們文中介紹的幾個(gè)專題。

1.1 Gelfand?Naimark定理和Gabriel定理

一般認(rèn)為，非交換幾何的研究肇始于Gelfand?Naimark 定理。設(shè)M是一個(gè)局部緊致的Hausdorff 拓?fù)淇臻g。我們記C(M)為M上復(fù)值連續(xù)函數(shù)組成的集合，可以證明它是一個(gè)交換的C*代數(shù)。1943 年，Gelfand和Naimark 證明了：一個(gè)交換的C*代數(shù)決定一個(gè)拓?fù)淇臻g(作為集合，它由該C*代數(shù)的極大理想組成)，使得該代數(shù)同構(gòu)于這個(gè)拓?fù)淇臻g上的復(fù)值連續(xù)函數(shù)。也就是說，M和C(M)互相決定對方。一般情況下，一個(gè)C*代數(shù)不一定是交換的，那么我們有沒有類似的Gelfand?Naimark 定理呢？菲爾茲獎(jiǎng)獲得者Connes 創(chuàng)立的非交換微分幾何說：對于不交換的C*代數(shù)，我們可以假想存在一個(gè)空間，使得上面的Gelfand?Nai?mark 定理“理論上”成立；特別是在做一些計(jì)算的時(shí)候，我們在很多時(shí)候并不需要關(guān)注這些C*代數(shù)是否來自于一個(gè)真實(shí)的空間。該假想存在的空間，一般就稱為“非交換空間”，其上的微分幾何，就是“非交換微分幾何”。

在Grothendieck 學(xué)派的代數(shù)幾何研究中，Gabriel證明了一個(gè)類似的定理：兩個(gè)概型同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)它們的凝聚層范疇是等價(jià)的。也就是說，概型的凝聚層范疇完全決定了這個(gè)概型本身。例如，概型的K?理論，它是凝聚層的不變量，因此要研究K?理論，我們只要知道凝聚層就夠了。

遵循Grothendieck 學(xué)派的這一思想，在1990年代，Artin和Zhang在非交換幾何領(lǐng)域做出了極富價(jià)值的探索。他們以及很多數(shù)學(xué)家們?nèi)鏣ate、Smith、Van den Bergh 的工作，成為了數(shù)學(xué)的一個(gè)研究分支，被稱為“非交換射影幾何”。

1.2 Kontsevich?Rosenberg原理

在2000 年左右， 菲爾茲獎(jiǎng)獲得者Kontsevich 和Rosenberg 提出了一個(gè)研究“非交換代數(shù)幾何”的原理［1］：對于一個(gè)非交換空間(在本文中，我們把它等同于一個(gè)結(jié)合代數(shù)；我們將會看到，實(shí)際情形不限于此)，其上的非交換幾何結(jié)構(gòu)(例如我們下面要討論的非交換辛結(jié)構(gòu)、非交換泊松結(jié)構(gòu)等)，如果存在的話，它一定誘導(dǎo)該代數(shù)表示概型(representation scheme)上的經(jīng)典幾何結(jié)構(gòu)(即通常的辛結(jié)構(gòu)、泊松結(jié)構(gòu)等)。

這一原理現(xiàn)在被人們稱為Kontsevich?Rosenberg 原理。那么，為什么要提出這個(gè)原理呢？它的道理何在？

要回答這個(gè)問題，我們需要回到文章開始提到的“交換代數(shù)?仿射概型”對應(yīng)。對于一個(gè)交換代數(shù)A，它對應(yīng)的仿射概型是A的素理想組成的集合(譜)，稱為素譜，記為SpecA。稍微熟悉代數(shù)幾何的人都知道，SpecA中真正與我們所熟知的“點(diǎn)”對應(yīng)的是A的那些極大理想，記為SpmA。這些極大理想組成的集合同構(gòu)于

而后者又可以看成A的一維表示組成的集合。

現(xiàn)在，如果我們令k是代數(shù)閉域，那么表示論告訴我們，A的所有不可約表示都是一維的。也就是說，在此情形下，A本質(zhì)上沒有高維的表示。但是，如果A是一個(gè)結(jié)合且非交換的代數(shù)，則情況大不相同：A存在非平凡的不可約高維表示！

從這個(gè)觀察，我們可以認(rèn)為：對于一般的結(jié)合代數(shù)，它對應(yīng)的“素譜”(或者更準(zhǔn)確地說，極大理想組成的譜)，應(yīng)該是它所有的表示組成的集合。如果我們記Repn A為A的n維表示組成的集合(容易證明，這是一個(gè)仿射概型)，那么

由此，我們得出：結(jié)合代數(shù)A所對應(yīng)的“非交換空間”(也即我們要找的“SpecA”)上的幾何結(jié)構(gòu)，一定會反映到Repn(A)上；反之，如果對所有n，Repn(A)上都自然地存在一個(gè)幾何結(jié)構(gòu)，我們就說A上存在相應(yīng)的非交換幾何結(jié)構(gòu)。這就是Kontsevich?Rosenberg原理提出的背景。

1.3 Kontsevich?Rosenberg原理的應(yīng)用

Kontsevich?Rosenberg 原理是一個(gè)十分美妙、十分深刻但同時(shí)也是非常粗略的原理。它給出了一個(gè)尋找非交換幾何結(jié)構(gòu)的指導(dǎo)原則，但并不能給出一些非交換幾何結(jié)構(gòu)的具體刻畫。雖然如此，它仍然極大地激發(fā)了人們的研究興趣，并努力地尋找符合這一原理的“非交換幾何結(jié)構(gòu)”。

在2009 年左右，英國數(shù)學(xué)家Crawley?Boevey［2］、比利時(shí)數(shù)學(xué)家Van den Bergh［3］各自給出了一個(gè)版本的“非交換泊松結(jié)構(gòu)”的定義；與此同時(shí)，Crawley?Boevey 和美國數(shù)學(xué)家Etingof、Ginzburg 一起定義了“非交換辛結(jié)構(gòu)”［4］。

在第2 小節(jié)中，我們將給出這些結(jié)構(gòu)的具體定義。從Crawley?Boevey 等的工作中，我們可以觀察到“喜憂參半”的兩點(diǎn)：

(i)對于一般的結(jié)合代數(shù)A，Repn(A)是一個(gè)不光滑的仿射概型，因此要刻畫其上的通常幾何對象如微分形式、切向量場等等，都是非常困難的；

(ii)對于自由的結(jié)合代數(shù)，Repn(A)又是相當(dāng)簡單的，就是多項(xiàng)式的素譜，因此其上的幾何對象很容易給出。

這兩點(diǎn)促使康奈爾大學(xué)的數(shù)學(xué)家Berest等思考如下問題：對于一般的結(jié)合代數(shù)A，能否找自由的結(jié)合代數(shù)來逼近A，從而得到相應(yīng)的多項(xiàng)式來“逼近”Repn(A)？如果我們擴(kuò)大研究的范疇，考慮“微分分次結(jié)合代數(shù)”組成的范疇，那么，上述問題的答案是可能的。Berest 等［5?6］的結(jié)果說：一個(gè)結(jié)合代數(shù)A，總存在一個(gè)自由的微分分次代數(shù)的逼近，與此同時(shí)，該逼近也給出了Repn(A)的自由的微分分次交換代數(shù)的逼近。該Repn(A)的充分逼近，被Berest等稱為“導(dǎo)出表示概型”(derived representation scheme)。當(dāng)然這些“逼近”，并不是任意的，而是基于1960 年代菲爾茲獎(jiǎng)獲得者Quillen 發(fā)展的“有理同倫論”(Ratio?nal homotopy theory)。

1.4 Berest等的導(dǎo)出表示概型

根據(jù)有理同倫論，特征為0 的數(shù)域k上的微分分次結(jié)合代數(shù)組成的范疇，記成DGA，具有“模型范疇”結(jié)構(gòu)，因而每一個(gè)結(jié)合代數(shù)(把它看成具有0微分的微分分次代數(shù))可以由一個(gè)自由的微分分次結(jié)合代數(shù)來逼近，也就是存在一個(gè)“預(yù)解”(resolution)

(QA，d) →A

其中d是微分，使得同調(diào)群H.(QA，d) ?A，并且這個(gè)逼近是內(nèi)蘊(yùn)的、在相差一個(gè)同倫的意義下是唯一的。

類似地，數(shù)域k上的交換微分分次代數(shù)組成的范疇，記作CDGA，作為微分分次結(jié)合代數(shù)的子范疇，也具有“模型范疇”結(jié)構(gòu)，因而每一個(gè)交換代數(shù)也可以由一個(gè)自由的、交換的微分分次代數(shù)來逼近。

這兩個(gè)范疇在擬同構(gòu)下的局部化，稱為它們的同倫范疇?，F(xiàn)在將Repn(A)與其對應(yīng)的交換代數(shù)等同，Berest等［5］證明函子

可以提升到兩者的同倫范疇上。直觀地說，對于一個(gè)結(jié)合代數(shù)A，如果QA是它的一個(gè)自由逼近，那么Repn(QA)就是Repn(A)的一個(gè)“充分好”的逼近。

當(dāng)然，在這里我們需要證明，對于微分分次代數(shù)，Repn(A)也是有意義的，但這并不困難。Berest等稱Repn(QA)為A的“導(dǎo)出表示概型”。

利用導(dǎo)出表示概型，我們可以將Crawley?Boevey 等的構(gòu)造推廣到微分分次代數(shù)的同倫范疇，從而非常輕松地構(gòu)造一大類(導(dǎo)出意義下的)非交換的泊松結(jié)構(gòu)和非交換的辛結(jié)構(gòu)。

我們需要注意到一點(diǎn)是：我們這里所有的構(gòu)造都需要將“微分分次”這個(gè)條件考慮進(jìn)去。例如在研究導(dǎo)出的非交換辛結(jié)構(gòu)時(shí)，我們需要構(gòu)造“切空間”與“余切空間”的同構(gòu)，如果把微分分次這樣條件考慮進(jìn)去，我們需要將其中一個(gè)空間(實(shí)際上是鏈復(fù)形)進(jìn)行一定的平移，才能得到同構(gòu)(或者擬同構(gòu))。這樣的辛結(jié)構(gòu)稱為“平移辛結(jié)構(gòu)”(shifted symplectic structure)。類似地，我們也有“平移泊松結(jié)構(gòu)”的概念。

1.5 卡拉比?丘范疇與卡拉比?丘代數(shù)

假設(shè)X是一個(gè)卡拉比?丘射影代數(shù)簇。我們考慮X上的有界凝聚層范疇的導(dǎo)出范疇，記為D(X)。由于X的典則層(canonical sheaf)是平凡的，因此D(X)上的Serre 函子是恒同函子。對于任意兩個(gè)凝聚層?，?，我們有Serre對偶定理：

如果我們令? = ?，To?n 等［7］的結(jié)果說，HomD(X)(?，?)，作為分次線性空間在相差一次平移下，可以看成D(X)中凝聚層組成的?？臻g在? 處的切空間，因而同構(gòu)(1)可以看成切空間和余切空間的一個(gè)同構(gòu)(在相差(2?n)次平移下)。由此，我們可以得到一個(gè)結(jié)論：D(X)的模空間上存在一個(gè)平移辛結(jié)構(gòu)。

當(dāng)然，具有同構(gòu)(1)的三角范疇是很多的，這樣的范疇稱為“卡拉比?丘范疇”(Calabi?Yau catego?ry)。很多的卡拉比?丘范疇等價(jià)于一個(gè)結(jié)合代數(shù)的模范疇的導(dǎo)出范疇，這樣的結(jié)合代數(shù)在很多情況下是“卡拉比?丘代數(shù)”(Calabi?Yau algebra)。由此，我們得到一串構(gòu)造：

一個(gè)自然的問題是：卡拉比?丘代數(shù)上的什么結(jié)構(gòu)導(dǎo)致了其(模范疇的)導(dǎo)出范疇上的平移辛結(jié)構(gòu)？這個(gè)問題的答案，如果存在的話，可以看成是Kontsevich?Rosenberg原理的推廣。

在接下來的小節(jié)里，我們將對上面出現(xiàn)的這些概念和結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步的介紹。

2 非交換辛結(jié)構(gòu)和非交換泊松結(jié)構(gòu)

在物理學(xué)中，辛結(jié)構(gòu)和泊松結(jié)構(gòu)是最基本的概念之一，它們最初出現(xiàn)于19 世紀(jì)Poisson、Hamilton 和Jacobi 等關(guān)于理論力學(xué)的研究當(dāng)中，并由此獲得了人們廣泛的研究。到了20 世紀(jì)80 年代，數(shù)學(xué)和物理又進(jìn)入了一個(gè)大融合的時(shí)代，新的理論、新的結(jié)構(gòu)層出不窮。例如物理學(xué)中的楊?米爾斯理論、超弦理論，被很多數(shù)學(xué)家進(jìn)行了深刻的研究，數(shù)學(xué)中的紐結(jié)理論、陳?西蒙斯理論等等在物理中亦有重要的應(yīng)用。

在這些理論層出不窮的同時(shí)，有識之士如Kontsevich、Sullivan 等亦在不斷地反思，去蕪存菁，發(fā)掘、總結(jié)這些看上去毫不相關(guān)的理論背后的共同點(diǎn)，并通過演繹類比，探索、發(fā)現(xiàn)一些往往被人忽略了的新的結(jié)構(gòu)。

例如，對于我們耳熟能詳?shù)牟此山Y(jié)構(gòu)、辛結(jié)構(gòu)，經(jīng)過200多年的發(fā)展，我們幾乎不能夠期望再有什么新的發(fā)現(xiàn)了。但是，通過發(fā)展導(dǎo)出的非交換代數(shù)幾何，將這些經(jīng)典的概念作為這種新的幾何的特殊情形，我們不僅對這些概念有了全新的理解，而且通過將很多新出現(xiàn)的概念，如我們將要談到的凝聚層范疇、Fukaya范疇等納入這一范疇之中，這些古老的概念獲得了新的內(nèi)涵，煥發(fā)了新的生機(jī)。

下面，我們將從泊松代數(shù)的概念出發(fā)，開始我們的導(dǎo)出非交換代數(shù)幾何的探索之旅。

定義1(泊松代數(shù)) 設(shè)A是一個(gè)交換結(jié)合代數(shù)。如果A上存在著一個(gè)對每個(gè)分量都滿足Leibniz法則的李括號｛?，?｝，即對于任意的a，b，c∈A，

那么我們稱A為一個(gè)泊松代數(shù)。

當(dāng)代數(shù)A僅僅是一個(gè)結(jié)合代數(shù)而不具有交換性時(shí)，若我們?nèi)匀话凑談偛诺亩x來定義A上的泊松代數(shù)，則Farkas和Letzter在文［8，Theorem 1.2］中證明了下列結(jié)論。

定理1設(shè)A是一個(gè)非交換的整環(huán)，或者更一般地，是一個(gè)非交換素環(huán)。若A上有李括號｛?，?｝滿足Leibniz法則(2)，則存在一個(gè)A的中心元λ使得

也就是說，若按照上面這種直接的方法定義非交換泊松結(jié)構(gòu)，則李括號本質(zhì)上由交換子給出，因此這一定義給出的非交換泊松結(jié)構(gòu)是沒有太大的意義的。在下面的幾小節(jié)里，我們介紹幾種版本的非交換泊松結(jié)構(gòu)和辛結(jié)構(gòu)，它們分別是：Crawley?Boevey 的H0?泊松結(jié)構(gòu)，Van den Bergh 的雙泊松結(jié)構(gòu)(double Poisson structure)，以及Crawley?Boevey，Etingof 和Ginzburg 提出的雙辛結(jié)構(gòu)(bi?symplectic structure)，并指出它們之間的聯(lián)系。

2.1 Crawley?Boevey的H0?泊松結(jié)構(gòu)

注記1(i)Crawley?Boevey 稱上述概念為H0?泊松結(jié)構(gòu)的主要原因是因?yàn)锳［A，A］實(shí)際上是A的0?維Hochschild(也是循環(huán))同調(diào)群。后來，Berest 等將這一概念推廣到導(dǎo)出代數(shù)幾何中，這就涉及到所有的循環(huán)同調(diào)群了。

(ii)在上述定義中，如果A是交換的，我們可以看到：H0?泊松結(jié)構(gòu)就是通常的泊松結(jié)構(gòu)。在這個(gè)意義下，H0?泊松結(jié)構(gòu)可以說是交換代數(shù)的泊松結(jié)構(gòu)的非交換推廣(在§2.6我們將討論泊松結(jié)構(gòu)的非交換推廣的另一個(gè)版本)。

Crawley?Boevey在文章中證明：

定理2(［2］Theorem 1.6) 設(shè)A是特征為0的數(shù)域k上的一個(gè)結(jié)合代數(shù)。如果A上存在一個(gè)H0?泊松結(jié)構(gòu)，則

上存在著一個(gè)自然的泊松結(jié)構(gòu)。

這個(gè)定理主要用到了Procesi的一個(gè)結(jié)論：考慮“跡映射”

其中ρ∈Repn(A)，則Tr的像生成O( Repn(A)//GL(n) )。我們很容易在Tr的像集上定義一個(gè)李括號，并且利用H0?泊松結(jié)構(gòu)中的導(dǎo)子性質(zhì)，把這個(gè)李括號定義到整個(gè)Repn(A)//GL(n)上使之成為一個(gè)泊松代數(shù)。

我們注意到，這個(gè)H0?泊松結(jié)構(gòu)非常好地符合了Kontsevich?Rosenberg原理。

2.2 Van den Bergh的雙泊松代數(shù)

大約與Crawley?Boevey 同時(shí)，Van den Bergh 在文［3］中引進(jìn)了“雙泊松結(jié)構(gòu)”(double Poisson struc?ture)。

定義3(Van den Bergh) 設(shè)A是一個(gè)帶幺元的結(jié)合代數(shù)。A上的一個(gè)雙括號(double bracket)是一個(gè)雙線性映射{{?，?}}：A?A→A?A使得

其中(u?v)o=v?u。這里b和c的作用是由A?A的雙模結(jié)構(gòu)給出的，即：b(a1?a2)c：=ba1?a2c。

設(shè){{?，?}}是A上的一個(gè)雙括號。任取a，b1，…，bn∈A，s∈Sn，記

則A上的一個(gè)“雙泊松結(jié)構(gòu)”(double Poisson structure)是一個(gè)滿足“雙雅可比恒等式”(double Jacobi identity)的雙括號{{?，?}}，即對于任意的a，b，c∈A，

類似地，Van den Bergh證明了以下定理：

定理3(［3］ Proposition 7.5.2) 設(shè)A是一個(gè)結(jié)合代數(shù)。如果A上存在一個(gè)雙泊松結(jié)構(gòu)，則Repn(A)上存在一個(gè)自然的泊松結(jié)構(gòu)。

Van den Bergh 的這個(gè)定理也非常好地符合了Kontsevich?Rosenberg 原理，它與Crawley?Boevey 定理的區(qū)別是：這兩種非交換泊松結(jié)構(gòu)誘導(dǎo)的泊松結(jié)構(gòu)，一個(gè)是定義在Repn(A) 上，一個(gè)是定義在Repn(A)//GL(n)上。

2.3 Crawley?Boevey，Etingof和Ginzburg的雙辛結(jié)構(gòu)

在本小節(jié)，我們討論Crawley?Boevey，Etingof 和Ginzburg 在文［4］中提出的“雙辛結(jié)構(gòu)”(bi?sym?plectic structure)。

通過萊布尼茨法則，導(dǎo)子d誘導(dǎo)了Ω.A上的導(dǎo)子d。從而(Ω.A，d)是一個(gè)微分分次代數(shù)。然而，對于帶幺元的結(jié)合代數(shù)A，(Ω.A，d)的同調(diào)卻總是平凡的：

但是，A的Karoubi?de Rham 復(fù)形

有非平凡的同調(diào)群，其上的微分由DR.A上的微分d誘導(dǎo)而來。

注意到Ω.A是Ω1A在A上的張量代數(shù)，因此縮并算子ι?Θ：Ω1A→A?A誘導(dǎo)了分次代數(shù)Ω.A的一個(gè)度數(shù)為?1 的“雙導(dǎo)子”ι?Θ，即ι?Θ∈Der(Ω.A，Ω.A?Ω.A)。更確切地說，任意給定α1，α2，…，αn∈Ω1A，我們有

下面，我們令

其中μ是乘積，τ：a?b?(?1)|a||b|b?a是置換算子。特別地，對于ω∈Ω2A，我們得到映射

容易看出，這一映射僅僅依賴于ω在DR2A中的等價(jià)類。

定義4(Crawley?Boevey?Etingof?Ginzburg) 設(shè)A是一個(gè)結(jié)合代數(shù)。A上的一個(gè)雙辛結(jié)構(gòu)(bi?symplec?tic structure)是指A的一個(gè)滿足以下條件的閉2?形式ω∈DR2A：映射

是A?雙模同構(gòu)。

Crawley?Boevey，Etingof和Ginzburg證明了他們引進(jìn)的該雙辛結(jié)構(gòu)也滿足Kontsevich?Rosenberg原理：

定理4(［4］Theorem 11.3.1) 設(shè)A是一個(gè)結(jié)合代數(shù)。如果A上存在一個(gè)雙辛結(jié)構(gòu)，則對于任意的自然數(shù)n，Repn(A)上有一個(gè)辛結(jié)構(gòu)。

2.4 以上三種非交換結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系

上面3小節(jié)介紹的三種非交換幾何結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系是非常密切的。Van den Bergh在文［3］中證明：

2.4.1 雙泊松結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含H0?泊松結(jié)構(gòu)

設(shè)(A，{{?，?}})是一個(gè)雙泊松結(jié)構(gòu)。記A上的乘法為μ，并令

根據(jù)雙泊松結(jié)構(gòu)的定義，固定{?，?}中的一個(gè)元素，則括號對另一元素相對于乘法都是一個(gè)導(dǎo)子。Van den Bergh 證明(由計(jì)算可以直接得到)：{?，?}可以下降到A?：=A［A，A］上成為其上的一個(gè)李括號。由此，我們可以得到

是一個(gè)H0?泊松結(jié)構(gòu)。

2.4.2 雙辛結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含雙泊松結(jié)構(gòu)

設(shè)(A，ω)是一個(gè)雙辛結(jié)構(gòu)。則對于任意的a∈A，存在著對應(yīng)的哈密頓向量場Ha∈Der(A，A?A)使得ιHa ω=da。若令

則{{?，?}}ω是A上的一個(gè)雙泊松結(jié)構(gòu)；證明見文［3］附錄。

2.5 箭圖代數(shù)的例

其中

則(P，ω)是一個(gè)雙辛結(jié)構(gòu)［4］。

2.6 另一種非交換泊松結(jié)構(gòu)

在1990年代，Block?Getzler［9］和賓夕法尼亞州立大學(xué)的徐平教授［10］分別給出了另一種非交換泊松結(jié)構(gòu)的定義。

定義5(徐平，Block?Getzler) 設(shè)A是一個(gè)結(jié)合代數(shù)。A上的一個(gè)“非交換泊松結(jié)構(gòu)”是指A的一個(gè)Hochschild上同調(diào)α∈HH2(A)滿足

如果我們記Z(A)為A的中心，則Z(A)是A的一個(gè)交換的子代數(shù)；反之，我們可以把A看成交換代數(shù)Z(A)的非交換擴(kuò)張?，F(xiàn)在假設(shè)α是一個(gè)非交換泊松結(jié)構(gòu)，那么α誘導(dǎo)了Z(A)上經(jīng)典意義下的泊松結(jié)構(gòu)(見文［10，Proposition 2.1］)。在這個(gè)意義下，定義5 給出的非交換泊松結(jié)構(gòu)也是泊松結(jié)構(gòu)在結(jié)合代數(shù)范疇上的推廣。這種非交換泊松結(jié)構(gòu)曾被Getzler和唐翔等仔細(xì)研究過。

另一方面，我們難以看到這種非交換泊松結(jié)構(gòu)滿足Kontsevich?Rosenberg 原理。話又說回來，注意到Hochschild 上同調(diào)是結(jié)合代數(shù)的導(dǎo)出不變量，因此這種非交換泊松結(jié)構(gòu)可以在結(jié)合代數(shù)的同倫范疇下定義；與此同時(shí)，Crawley?Boevey 的H0?泊松結(jié)構(gòu)也可以在結(jié)合代數(shù)的同倫范疇下考慮。我們可以看到，在同倫范疇下，這兩個(gè)版本的非交換泊松結(jié)構(gòu)，實(shí)際上是統(tǒng)一的，具有很好的函子性，它們分別是導(dǎo)出意義下“多重切向量場”的Maurer?Cartan方程的解的一個(gè)分支。我們將另文做詳細(xì)的討論。

注記2 在本小節(jié)，我們詳細(xì)地介紹了非交換幾何而不是“導(dǎo)出代數(shù)幾何”的幾個(gè)例子。這樣做的原因是：我們首先要對經(jīng)典的幾何有充分的了解，然后才能在導(dǎo)出代數(shù)幾何中有跡可循而不致迷失。

3 表示概型與Van den Bergh函子

在本小節(jié)，我們稍加詳細(xì)地討論表示概型上的幾何結(jié)構(gòu)。特別地，我們討論如何將一個(gè)結(jié)合代數(shù)上的非交換幾何結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化到它的表示概型上。

3.1 表示概型

設(shè)k是一特征為0 的數(shù)域，A是一個(gè)帶幺元的k?結(jié)合代數(shù)，V是k上的線性空間。A在V上的一個(gè)表示是一個(gè)代數(shù)同態(tài)A→End(V)。A在V上的所有的表示構(gòu)成的空間RepV(A)是一個(gè)仿射概型。用函子的語言，這一問題表述如下：

記Alg 為所有帶幺元的結(jié)合k?代數(shù)所構(gòu)成的范疇，CommAlg 為其中的交換結(jié)合代數(shù)所構(gòu)成的子范疇?？紤]下列函子

其中Sets是所有集合構(gòu)成的范疇。

命題1RepV(A)是可表的，也就是說，存在一個(gè)交換代數(shù)AV，使得對任意的B，總有

該命題的證明可見參考文獻(xiàn)［11］的§4.1。我們稱由AV定義的概型為A在V上的表示概型(represen?tation scheme)，自然地記為RepV(A)，因此AV又可以寫成k［RepV(A)］。

在RepV(A)上，存在一個(gè)自然的GL(V)作用：

我們記RepV(A)GL(V)為對應(yīng)的約化RepV(A)//GL(V)。事實(shí)上，RepV(A)GL(V)表示A在V上的所有表示的同構(gòu)類。在文獻(xiàn)中，如果V=kn，則RepV(A)和RepV(A)GL(V)分別記為Repn(A)和Repn(A)GL(n)。

一般地，RepV(A)和RepV(A)GL(V)都不是光滑的。為此，我們先回顧一個(gè)定義：

定義6(Cuntz?Quillen［13］)如果一個(gè)有限生成的結(jié)合代數(shù)A滿足下列等價(jià)條件：

(i)給定任意的k代數(shù)R及其冪零雙邊理想N，任意的同態(tài)φ∈HomAlgk(A，R N)，總可以提升為一個(gè)同態(tài)-φ∈HomAlgk(A，R)使得φ是和自然投影R→R N是交換的；

(ii)對任意的A雙模M，二階Hochschild上同調(diào)HH2(A；M) = 0；

(iii)記乘法μ：A?A→A的核為Ω1(A)，則Ω1(A)是A的投影雙模，

那么我們稱A是“形式光滑”的(formally smooth)或“準(zhǔn)自由”的(quasi?free)。

例1下列代數(shù)是形式光滑的：

(i)由n個(gè)變量生成的自由結(jié)合代數(shù)k x1，x2，…，xn；

(ii)Matn(k)；

(iii)k［X］，這里X是一個(gè)光滑仿射曲線；

(iv)箭圖生成的路徑代數(shù)。

Ardizzoni，Galluzzi和Vaccarino在文［12］中給出了RepV(A)光滑的一個(gè)充分條件：

定理5(［12］，Theorems 4.6?4.7)若A是有限生成的形式光滑的k代數(shù)，則RepV(A)總是光滑的。

注意到形式光滑僅僅是一個(gè)代數(shù)的表示概型式光滑的充分條件，而非必要條件。一個(gè)例子是半單李代數(shù)的萬有包絡(luò)代數(shù)不是形式光滑的，但其表示概型式光滑的。文［12］給出了表示概型光滑的充要條件，即：

定理6(［12］，Theorem 3.3)設(shè)f：k［RepV(A)］→k是RepV(A)的一個(gè)點(diǎn)。則f是RepV(A)的一個(gè)正則點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)對應(yīng)的二階Harrison上同調(diào)

其中fk表示對應(yīng)的k［RepV(A)］?模k。

在上述定理中，交換代數(shù)的Harrison 上同調(diào)是平行于結(jié)合代數(shù)的Hochschild 上同調(diào)的一個(gè)同調(diào)理論，具體見Harrison 的論文［14］。換句話說，對于一個(gè)代數(shù)A，其表示概型RepV(A)光滑與否存在障礙，而通常情況下，這個(gè)障礙不是平凡的。

3.2 Van den Bergh函子

弄清楚表示概型之后，接下來的一個(gè)問題是：如何把A上的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)到RepV(A)上？Van den Bergh 在文［15］中給出了一個(gè)構(gòu)造，具體如下：設(shè)M是一個(gè)A?雙模，則

是一個(gè)AV?模。這樣，我們就得到了從A的雙模范疇到AV模范疇的一個(gè)函子

注意到交換代數(shù)的模范疇與其對應(yīng)的仿射概型上的擬凝聚層范疇是等價(jià)的，Van den Bergh 的函子實(shí)際上也給出了從A的雙模范疇到其表示概型的擬凝聚層范疇的一個(gè)函子。

在這個(gè)函子下，我們可以將A上的非交換切向量、非交換微分形式等(見§2.3)關(guān)聯(lián)到其表示概型上的切向量場、微分形式等等。作為推論，我們重復(fù)定理3和定理4：

定理7［3?4］設(shè)A是一個(gè)結(jié)合代數(shù)，V是任意的一個(gè)線性空間。我們有：

(i)設(shè){{?，?}}是A上的雙泊松結(jié)構(gòu)，則RepV(A)上存在一個(gè)泊松結(jié)構(gòu)；

(ii)設(shè)ω∈DR2A是A上的雙辛結(jié)構(gòu)，則RepV(A)上存在一個(gè)辛結(jié)構(gòu)。

至此，我們在Kontsevich?Rosenberg 原理的指導(dǎo)下，介紹了非交換泊松結(jié)構(gòu)和非交換辛結(jié)構(gòu)的構(gòu)造。這是非交換幾何的重要結(jié)果之一。當(dāng)然，正如我們前面的所說的，除了箭圖的例子之外，我們實(shí)際上是很難找到更多的例子了。注意到箭圖的路徑代數(shù)實(shí)際上是一個(gè)自由代數(shù)，同時(shí)注意到任何代數(shù)都存在一個(gè)自由的預(yù)解，那么我們有十足的動機(jī)作如下的考慮：我們是否可以在同倫的意義下考慮表示概型，并且在同倫的意義下考慮非交換的泊松結(jié)構(gòu)和辛結(jié)構(gòu)？這是我們下面要討論的內(nèi)容。

4 導(dǎo)出表示概型

在本小節(jié)，我們介紹Berest等引進(jìn)的導(dǎo)出表示概型的概念，討論它們的切空間、余切空間等性質(zhì)。

首先注意到：設(shè)A是一個(gè)結(jié)合代數(shù)，固定線性空間V，則A在V上的表示概型給出了一個(gè)函子

我們稱該函子為V上的表示函子。事實(shí)上，表示函子可以擴(kuò)展到微分分次代數(shù)上：對于任意給定的一個(gè)微分分次向量空間V，存在著一個(gè)函子

使得

根據(jù)前面提到的Quillen的有理同倫論，DGA和CDGA 這兩個(gè)范疇都具有“模型范疇結(jié)構(gòu)”，因此都存在相應(yīng)的同倫范疇，即這兩個(gè)范疇在擬同構(gòu)下的局部化，記為Ho(DGA)和Ho(CDGA)。這兩個(gè)范疇中的對象，都存在著“準(zhǔn)自由”的逼近(見§3)，也就是說對任意一對象(A，d)，其中d是微分，存在代數(shù)的擬同構(gòu)

并且QA是準(zhǔn)自由的，這些QA稱為余纖維化分解(cofibrant resolution)。對于函子(6)，可以證明，它能夠提升到相應(yīng)的同倫范疇上。這就是Berest，Khachatryan 和Ramadoss 在文獻(xiàn)［5］中證明的一個(gè)重要的結(jié)果：

為“導(dǎo)出表示函子”(derived representation functor)，并稱DRepV(A)為A在V上的“導(dǎo)出表示概型”(de?rived representation scheme)，稱其同調(diào)H.(DRepV(A))為A在V上的“表示同調(diào)”(representation homology)。

對結(jié)合代數(shù)導(dǎo)出表示概型的研究揭示了該代數(shù)很多隱秘的信息，比如循環(huán)同調(diào)群、Hochschild 同調(diào)群以及Hochschild 上同調(diào)群等等，都自然而然地出現(xiàn)了。接下來，我們介紹導(dǎo)出表示概型的“函數(shù)空間”、“切空間”和“余切空間”，并將它們與上述概念聯(lián)系起來。

4.1 導(dǎo)出跡映射和循環(huán)同調(diào)

回憶§2.1中，對任意的代數(shù)A∈Alg，任意的向量空間V，存在著一個(gè)跡映射

注意到這個(gè)跡映射通過(factor through)A?：=A［A，A］，并且像總是GL(V)不變的，因此一般把這個(gè)跡映射寫成

我們也稱A?為A上的函數(shù)，即跡映射把函數(shù)映到函數(shù)。

參考文獻(xiàn)［5］的另一個(gè)重要結(jié)論說跡映射存在著一個(gè)導(dǎo)出版本。為了說明該結(jié)論，我們首先回憶一下結(jié)合代數(shù)的循環(huán)復(fù)形(cyclic complex)的概念。代數(shù)A的循環(huán)復(fù)形CC.(A)是下圖中1 ?T的余核構(gòu)成的復(fù)形(這部分內(nèi)容可以參考Loday的書［16］)：

其中

其同調(diào)群稱為A的循環(huán)同調(diào)群，記為HC.(A)。在上圖中，b?復(fù)形稱為A的Hochschild 鏈復(fù)形，記為CH.(A)，其同調(diào)群稱為A的Hochschild 同調(diào)群，記為HH.(A)。若代數(shù)A是增廣的(augmented)，則我們有如下分解

參考文獻(xiàn)［5］的Proposition 4.2 給出了該結(jié)論一個(gè)新的范疇化的證明。因?yàn)镃C.(A) →----CC .(A)是分裂的，滿的，且R?=Rˉ?+k，所以存在一個(gè)滿映射

結(jié)合式(7)～(9)，我們可以得到如下結(jié)論：

定理9(［5］Proposition 4.1)設(shè)A是一個(gè)微分分次代數(shù)，則存在一個(gè)自然映射，稱為“導(dǎo)出跡映射”(derived trace map)

使得該映射的像生成的函數(shù)在每一個(gè)分次上(degree?wise)是滿的。

換句話說，對于一個(gè)結(jié)合代數(shù)A，它的“導(dǎo)出函數(shù)”是其循環(huán)鏈復(fù)形，并且在導(dǎo)出意義下，我們有跡映射把導(dǎo)出的函數(shù)映到其導(dǎo)出表示概型上的函數(shù)。

4.2 切向量場與余切向量場

類似地，我們可以考慮導(dǎo)出意義下的“非交換切向量場”和“余切向量場”。這些概念完全平行于§2.3，因此我們只是簡略地提一下，具體內(nèi)容請參考文獻(xiàn)［5?6，18，20］。

設(shè)結(jié)合代數(shù)A的一個(gè)余纖維化分解為QA，我們稱Der(QA，QA?QA)和Ω1(QA)為A的導(dǎo)出意義下的“非交換切向量場”和“非交換余切向量場”；在Van den Bergh 函子下，它們分別映到A的導(dǎo)出表示概型DRepn(A)上的切向量場和余切向量場。

此 外， Ω1(QA) 和Der(QA，QA?QA)， 作 為QA雙 模， 對 應(yīng) 的 交 換 子 商 空 間， Ω1(QA)?和Der(QA，QA?QA)?分別對應(yīng)于A的Hochschild 鏈復(fù)形CH.(A)和上鏈復(fù)形CH.(A)，從而我們有導(dǎo)出的跡映射：

其中Ω1(?)和X(?)分別表示相應(yīng)空間上的微分1?形式(余切向量場)和切向量場。

4.3 導(dǎo)出非交換泊松結(jié)構(gòu)和辛結(jié)構(gòu)

有了上述這些背景，我們介紹導(dǎo)出的非交換泊松結(jié)構(gòu)和非交換辛結(jié)構(gòu)就非常容易了。

定義8［18］(導(dǎo)出非交換泊松結(jié)構(gòu))設(shè)A是微分分次代數(shù)。一個(gè)A上的度數(shù)為n的“導(dǎo)出非交換泊松結(jié)構(gòu)”(derived non?commutative Poisson structure)是A的一個(gè)余纖維化預(yù)解QA上的度數(shù)為n的微分分次H0?泊松結(jié)構(gòu)，即(QA)?是一個(gè)度數(shù)為n的微分分次李代數(shù)使得對任意的-a∈(QA)?

總是由代數(shù)QA的一個(gè)與微分交換的導(dǎo)子da：QA→QA誘導(dǎo)而來的。

在文獻(xiàn)上，度數(shù)為n的泊松結(jié)構(gòu)，也稱為n?次“平移泊松結(jié)構(gòu)”(見Calaque 等的論文［19］)。導(dǎo)出非交換Poisson括號在同倫意義下是不依賴于分解QA的選擇的，因此在微分分次代數(shù)的同倫范疇上是良定義的。下列結(jié)果為文獻(xiàn)［18］所證明：

定理10(［18］Theorem 2)設(shè)A是微分分次代數(shù)，且具有一個(gè)度數(shù)為n的導(dǎo)出非交換泊松結(jié)構(gòu)。則對任意的向量空間V，A的導(dǎo)出同調(diào)H.(DRepV(A)GL(V))上存在唯一的度數(shù)為n的分次泊松代數(shù)結(jié)構(gòu)使得導(dǎo)出跡映射是一個(gè)分次李代數(shù)同態(tài)。

當(dāng)然，我們也可以討論導(dǎo)出意義下Van den Bergh 的雙泊松結(jié)構(gòu)以及DRepV(A)上的泊松結(jié)構(gòu)，在此不再贅述。類似地，我們有：

定義9［21］(導(dǎo)出非交換辛結(jié)構(gòu))設(shè)A是微分分次代數(shù)。A上的度數(shù)為n的“導(dǎo)出非交換n?次平移辛結(jié)構(gòu)”(derived non?commutativen?shifted symplectic structure)是A的一個(gè)余纖維化預(yù)解QA上的度數(shù)為n的閉的、非退化的(2 ?n)?形式ω∈DR2(QA)。

在這里，注意到DR.(QA)實(shí)際上有兩個(gè)微分，一個(gè)是de Rham 微分，一個(gè)是從QA上遺傳來的微分，因此“閉”在這里的意思是：在DR.(QA)對應(yīng)的負(fù)循環(huán)鏈復(fù)形(negative cyclic complex)中是閉的。我們有如下定理：

定理11(［21］Theorem 5.7)設(shè)A是微分分次代數(shù)，且具有一個(gè)導(dǎo)出非交換n?次平移辛結(jié)構(gòu)。則對任意的向量空間V，DRepV(A)上存在n?次平移辛結(jié)構(gòu)。

在這個(gè)定理中，平移辛結(jié)構(gòu)的概念是Pantev等在文［22］中首次提出的；定義9中給出的可以看成是該概念的非交換版本。前面提到的文獻(xiàn)［19］是該論文的后續(xù)。

注記3在本小節(jié)，我們實(shí)際上模糊處理了DRepV(A)和DRepV(A)GL(V)的區(qū)別。在介紹非交換泊松結(jié)構(gòu)的時(shí)候，因?yàn)閂an den Bergh 的雙泊松結(jié)構(gòu)自然給出了Crawley?Boevey 的H0?泊松結(jié)構(gòu)，所以前者不僅給出了DRepV(A)上的泊松結(jié)構(gòu)，也給出了DRepV(A)GL(V)上的泊松結(jié)構(gòu)。在研究非交換辛結(jié)構(gòu)的時(shí)候，DRepV(A)和DRepV(A)GL(V)上的切向量場與余切向量場是有區(qū)別的，因此前者上的辛結(jié)構(gòu)并不能給出后者上的辛結(jié)構(gòu)，反之亦是如此。盡管如此，通過對非交換的切向量場和余切向量場的定義稍加改動(具體討論可見文［21，23］，并參見定理16)，我們可以分別得到DRepV(A)GL(V)上的辛結(jié)構(gòu)。為了得到DRepV(A)GL(V)上的辛結(jié)構(gòu)的例子，我們接下來討論卡拉比?丘代數(shù)。

5 卡拉比?丘代數(shù)

2007年，Ginzburg在arXiv論文預(yù)印本網(wǎng)站發(fā)表了論文［24］。在文中，他首次引入了“卡拉比?丘代數(shù)”的概念。這一概念不僅總結(jié)了前人(例如Kontsevich 等)在此領(lǐng)域的結(jié)果，而且開辟了很多新的研究方向，引起了很多數(shù)學(xué)家的關(guān)注與研究。

定義10(Ginzburg)假設(shè)A是一個(gè)特征為0 的數(shù)域k上的結(jié)合代數(shù)。我們稱A是一個(gè)n維的“卡拉比?丘代數(shù)”，如果它滿足以下兩個(gè)條件：

(i)A是同調(diào)光滑的(homologically smooth)，也就是說，作為Ae?模，A存在一個(gè)有限長度的、并且是有限生成的投射預(yù)解；

(ii)作為Ae?模范疇的導(dǎo)出范疇中的對象，存在同構(gòu)

注記4(i)在上述定義中，如果A是交換的，則：條件(i)等價(jià)于說，A對應(yīng)的仿射概型，也即素譜SpecA是光滑的(這是Serre 的一個(gè)結(jié)果)；條件(ii)等價(jià)于說，SpecA的典則層(canonical sheaf)是平凡的。由此，我們得到：對于一個(gè)交換代數(shù)A，它是一個(gè)卡拉比?丘代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)SpecA是一個(gè)卡拉比?丘概型。對于同構(gòu)(12)，Van den Bergh后來證明：在相差一個(gè)內(nèi)自同構(gòu)的意義下，該同構(gòu)是唯一的。

(ii)卡拉比?丘代數(shù)與文獻(xiàn)中的Artin?Schelter 正則代數(shù)關(guān)系非常密切。實(shí)際上，如果我們在同構(gòu)(12)中，只要求同構(gòu)既是左A?模同構(gòu)，又是右A?模同構(gòu)，但是不一定是雙模同構(gòu)，則在此情形下，該代數(shù)就是一個(gè)Artin?Schelter 正則代數(shù)。換句話說，卡拉比?丘代數(shù)是Artin?Schelter 正則代數(shù)的特殊情形，反過來，Artin?Schelter 正則代數(shù)也稱為“扭曲”的(twisted)卡拉比?丘代數(shù)(具體內(nèi)容見Reyes 等的論文［25］)。

下面我們給出卡拉比?丘代數(shù)的幾個(gè)例子(以下代數(shù)有時(shí)候不限定基域是k)。

例2(包絡(luò)代數(shù))假設(shè)g 是一個(gè)有限維的李代數(shù)。我們稱g 是幺模的(unimodular)，如果任意a∈g 的共軛作用

并且稱?［x，y，z］?Γ)為?3/Γ 的“非交換無差異消解”(noncommutative crepant resolution，簡稱NCCR)。在一般情況下，一個(gè)奇點(diǎn)的非交換無差異消解，如果存在的話，都是卡拉比?丘代數(shù)。

例4(Ginzburg代數(shù))Ginzburg在文［24］中用箭圖構(gòu)造了一類微分分次代數(shù)(現(xiàn)在人們稱為Ginzburg代數(shù))，并猜測：這類代數(shù)是卡拉比?丘代數(shù)。這一猜測后來被Keller和Van den Bergh證明(見文［28］)。

Broomhead 證明，任意一個(gè)3?維仿射、Gorenstein 孤立奇點(diǎn)，都存在非交換的無差異消解；該無差異消解是一個(gè)3維Ginzburg代數(shù)［29］。

例5(基本群的群代數(shù))一個(gè)流形M稱為“無球”(aspherical)的，如果它的萬有復(fù)疊空間是可縮的。對于一個(gè)無球閉流形，它的基本群的群代數(shù)是一個(gè)卡拉比?丘代數(shù)。在文［24］中，Ginzburg曾經(jīng)猜測，3維無球閉流形的基本群的群代數(shù)，作為一個(gè)卡拉比?丘代數(shù)，是由一個(gè)非交換勢函數(shù)給出的Jacobi 代數(shù)。這一猜測后來被Davison否定［30］。

5.1 從卡拉比?丘代數(shù)到卡拉比?丘范疇

在1990年代初，日本數(shù)學(xué)家Fukaya(深谷賢治)在研究辛流形上相交型Floer同調(diào)群的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)了辛流形的Lagrange子流形組成一個(gè)特殊的結(jié)構(gòu)，他稱之為A∞范疇。簡單地說，一個(gè)A∞范疇不是一個(gè)范疇，而是在相差一個(gè)“同倫”的意義下形成一個(gè)范疇，而這些同倫之間又存在同倫，以及同倫的同倫等等，一直至于無窮。這一結(jié)構(gòu)，現(xiàn)在稱為Fukaya范疇，可以說是Stasheff在1960年代發(fā)現(xiàn)的流形的閉路空間上的A∞結(jié)構(gòu)的范疇化版本。

在1994 年的世界數(shù)學(xué)家大會上，在數(shù)學(xué)界嶄露頭角的Kontsevich 提出了著名的“同調(diào)鏡像對稱猜測”(Homological Mirror Symmetry Conjecture)指出：對于一個(gè)卡拉比?丘流形，存在另一個(gè)卡拉比?丘流形，稱為前者的“鏡像”，使得前者的Fukaya范疇與后者的凝聚層范疇導(dǎo)出等價(jià)，前者的凝聚層范疇與后者的Fukaya范疇導(dǎo)出等價(jià)(見文［31］)。同調(diào)鏡像對稱猜測可以說是近二十多年來數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域最重要的猜測，獲得了人們廣泛的研究，并取得了豐碩的成果。

Kontsevich 還指出，這兩個(gè)范疇都是一類“非交換的辛空間”，后來Costello［32］等稱之為卡拉比?丘范疇，并且證明一個(gè)卡拉比?丘范疇等價(jià)于一個(gè)“開”的拓?fù)涔残螆稣?topological conformal field theory，簡稱TCFT)。下面，我們對這一重要概念稍微詳細(xì)地加以介紹(更詳細(xì)的內(nèi)容可見文［32］)。

定義11(A∞范疇)一個(gè)A∞范疇A是由對象集合Ob(A)，及對任意的對象A1，A2∈Ob(A)對應(yīng)的k上的分次線性空間Hom(A1，A2)構(gòu)成的，并且對所有n= 1，2，…，都存在著度數(shù)為|mn|= 2 ?n的多重線性映射：

在文獻(xiàn)中，有時(shí)候也把上述范疇的同倫范疇稱為卡拉比?丘范疇而不加以區(qū)分；在文［33］中，作者們也稱之為非交換的卡拉比?丘空間。

例6(凝聚層范疇)設(shè)X是一個(gè)d維卡拉比?丘流形，則X上的有界凝聚層范疇D(X)是一個(gè)d維的卡拉比?丘范疇。

在本例中，m1是相應(yīng)的態(tài)射空間上的微分，m2是態(tài)射的復(fù)合，而m3及后面的mn都是0；相應(yīng)的配對則由Serre對偶給出。具體證明可以參見Huybrechts［34］的書第三章。

例7(Fukaya范疇)設(shè)M是一個(gè)辛流形。直觀地說，辛流形M的Fukaya范疇Fuk(M)定義如下：其對象為M中的Lagrange 子流形，對任意兩個(gè)橫截相交的對象L1和L2，其態(tài)射空間Hom(L1，L2)定義為對應(yīng)的Floer 上鏈復(fù)形，即由所有L1和L2的橫截相交點(diǎn)張成的空間，并且對任意的n+ 1 個(gè)Lagrange 子流形L1，…，Ln+1，多重線性映射

的定義是通過計(jì)數(shù)邊界落在L1，…，Ln+1的擬全純圓盤的個(gè)數(shù)而得到。Fukaya和Seidel等證明：如果M的條件充分好(例如第一陳類為0)，則Fuk(M)是一個(gè)卡拉比?丘范疇，其中的配對由流形的Poincaré 對偶給出。

這一結(jié)論中A∞范疇結(jié)構(gòu)(13)的證明，可以參考Fukaya等［35］的專著以及Seidel［36］的專著，而其中非退化配對(14)的存在性在Seidel的書中亦有證明。后來Fukaya告訴本文作者，對于一般的辛流形，這一結(jié)論也是成立的。

關(guān)于卡拉比?丘代數(shù)和卡拉比?丘范疇的關(guān)系，我們有如下定理(其證明見文［37］)：

定理12設(shè)A是一個(gè)卡拉比?丘代數(shù)，則A的有限維微分分次模組成的范疇的導(dǎo)出范疇是一個(gè)卡拉比?丘范疇。

因?yàn)檫@個(gè)密切的關(guān)系，有些文獻(xiàn)中也把滿足定義10 中兩個(gè)條件的范疇稱為卡拉比?丘范疇(例如文獻(xiàn)［38］)。

5.2 卡拉比?丘范疇與非交換幾何

如前所述，Kontsevich 等認(rèn)為(具體可見文［31，33］)，卡拉比?丘范疇實(shí)際上等價(jià)于非交換的辛空間。直到現(xiàn)在，人們還在發(fā)掘這一論斷背后的幾何意義。例如，Pantev等證明：

定理13(［22］Theorem 0.1)設(shè)X是一個(gè)卡拉比?丘射影流形。則X上的凝聚層的導(dǎo)出范疇的?？臻g上存在一個(gè)平移辛結(jié)構(gòu)。

關(guān)于Fukaya范疇上的非交換幾何理論，這方面的研究近年來有增多的趨勢。前面提到的Seidel及其學(xué)生Abouzaid、Sheridan，以及Lekili等都做出很重要的工作。對于其中的非交換Poisson結(jié)構(gòu)，試舉一例：

定理14(［39］Theorem 17) 設(shè)M是一個(gè)2d維的恰當(dāng)辛流形且滿足c1(M) = 0。則M的Fukaya 范疇Fuk(M)上具有一個(gè)度數(shù)為2?d的微分分次雙泊松結(jié)構(gòu)。

6 卡拉比?丘代數(shù)的導(dǎo)出表示概型

在本小節(jié)，我們討論卡拉比?丘代數(shù)的導(dǎo)出表示概型，并討論其上的非交換泊松結(jié)構(gòu)和辛結(jié)構(gòu)。為了表述的方便，我們假設(shè)這些代數(shù)都是Koszul的。事實(shí)上，我們遇到的大部分卡拉比?丘代數(shù)都是(某種意義下)Koszul的。

6.1 Koszul對偶

6.2 非交換泊松結(jié)構(gòu)和辛結(jié)構(gòu)

下面我們考慮Koszul 的卡拉比?丘代數(shù)。這類代數(shù)有一個(gè)非常好的性質(zhì)，這是由Van den Bergh 給出的：

定理17(［41］Theorem 11.1)設(shè)A是一個(gè)Koszul 代數(shù)，則A是一個(gè)n維卡拉比?丘代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它的Koszul對偶A！是一個(gè)對稱的Frobenius代數(shù)，即存在A！?雙模同構(gòu)

根據(jù)雙辛結(jié)構(gòu)的定義，結(jié)合定理16和定理17，我們立即得到：

定理18［21，23］設(shè)A是一個(gè)Koszul的n維卡拉比?丘代數(shù)。則A上存在一個(gè)導(dǎo)出意義下的非交換的雙辛結(jié)構(gòu)，該雙辛結(jié)構(gòu)誘導(dǎo)了DRepV(A)GL(V)上的(2 ?n)次平移辛結(jié)構(gòu)。

回憶§2.4中關(guān)于非交換辛結(jié)構(gòu)與非交換泊松結(jié)構(gòu)的關(guān)系，定理18有如下推論：

推論1［18，20，42，44］設(shè)A是一個(gè)Koszul 的n維卡拉比?丘代數(shù)。則A上存在一個(gè)導(dǎo)出意義下的非交換的雙泊松結(jié)構(gòu)，該雙泊松結(jié)構(gòu)誘導(dǎo)了DRepV(A)GL(V)上的(2 ?n)次平移泊松結(jié)構(gòu)。

6.3 應(yīng)用

通過學(xué)習(xí)非交換泊松結(jié)構(gòu)，我們得到了結(jié)合代數(shù)的一些以前不知道的結(jié)構(gòu)。在本文的最后，我們講述幾個(gè)這樣的例子。

首先回憶在微分幾何中，設(shè)(M，π)是一個(gè)泊松流形，則M上的微分形式空間Ω1(M)是泊松代數(shù)C∞(M)的一個(gè)李模：

其中f∈C∞(M)，ω∈Ω1(M)，Xf是函數(shù)f的漢密爾頓向量場。同時(shí)，de Rham 微分

是泊松代數(shù)C∞(M)的李模同態(tài)。

在導(dǎo)出泊松幾何中，我們也有類似的結(jié)論?；貞浨懊妗?.1～4.2所述，代數(shù)A的循環(huán)同調(diào)HC.(A)可以認(rèn)為是A的導(dǎo)出意義下的函數(shù)，而A的Hochschild同調(diào)HH.+1(A)與A的導(dǎo)出意義下的微分1?形式關(guān)系密切(見式(11))，Connes循環(huán)算子B則類似于de Rham微分。本文部分作者和楊松在文［20］中證明：

定理19(［20］Theorems 1.1?1.2)設(shè)A是一個(gè)n維的Koszul 卡拉比?丘代數(shù)。則：

(i)A上存在著一個(gè)度數(shù)為2 ?n的導(dǎo)出泊松代數(shù)結(jié)構(gòu)，且該導(dǎo)出泊松結(jié)構(gòu)誘導(dǎo)了A的循環(huán)同調(diào)HC.(A)上的一個(gè)度數(shù)為2 ?n的分次李代數(shù)結(jié)構(gòu)；

(ii)HH.(A)上具有一個(gè)度數(shù)為2 ?n的HC.(A)?李模結(jié)構(gòu)，并且正合序列

是度數(shù)為2 ?n的HC.(A)的李模映射。

關(guān)于定理中長正合列的具體內(nèi)容，請參考Loday的書［16］。在同一文章中，我們還給出如下論斷，后來被Ramadoss和張憶寧證明：

定理20(［44］Theorem 4.2)設(shè)A是一個(gè)n維的Koszul卡拉比?丘代數(shù)。我們有李模映射的交換圖

關(guān)于導(dǎo)出非交換泊松結(jié)構(gòu)的其他應(yīng)用，如在弦拓?fù)?、表示論和?dǎo)出代數(shù)幾何等領(lǐng)域的應(yīng)用，可參見文獻(xiàn)［42?43］等。最后，我們提兩個(gè)有趣的問題，與大家一起探討：

問題1 在§1.5小節(jié)，我們將卡拉比?丘流形上凝聚層范疇的Serre對偶定理解釋成其?？臻g上的平移辛結(jié)構(gòu)。對于一般的n維射影流形，我們?nèi)匀挥蠸erre對偶定理

其中S是Serre函子。我們的問題是：這個(gè)一般情形的定理給出了流形凝聚層范疇的?？臻g上的什么結(jié)構(gòu)？

問題2 在本文中，我們主要考慮了結(jié)合代數(shù)在線性空間上的表示及其導(dǎo)出情形。在代數(shù)幾何中，我們還可以考慮代數(shù)簇的Hilbert 概型和Quot 概型，這些函子也都存在導(dǎo)出的版本。一個(gè)自然的問題是：對于結(jié)合代數(shù)，是否存在導(dǎo)出的非交換Hilbert概型和Quot概型？如果存在，如何刻畫它們？

致謝本文的撰寫得到中山大學(xué)胡建勛教授的支持與鼓勵(lì)，并得到楊松、楊向東的協(xié)助，作者們向以上諸位表示誠摯的謝意。