楊方浩，呂中榮，汪利

（中山大學航空航天學院，廣東廣州510006）

地下水是我國甚至全球重要的淡水資源之一，約占我國水資源總量的30%。而在我國部分城市，地下水幾乎是唯一的供水水源［1］。由此可見，地下水資源具有一定的珍貴性。但是，我國地下水污染問題仍然相當嚴峻。并且，由于地下水具有隱蔽性和復雜性等特性，地下水污染的預防與治理工作十分困難。因此，通過已知的水文地質參數(shù)和監(jiān)測點濃度數(shù)據(jù)，反求污染源位置及釋放歷史等信息具有十分重要的研究意義和實際價值。

地下水污染源識別屬于典型的源項識別反問題，目的在于反演地下水污染源的位置及釋放歷史信息。然而，對于大多數(shù)反問題，往往是不適定的，即無法直接求解［2］。目前已有大量的研究通過正則化方法將地下水污染源識別問題轉變?yōu)檫m定問題進行求解。Skaggs 等［3］將Tikhonov 正則化應用于地下水一維均勻流模型反問題中，在已知單個污染源的位置的情況下，反演得到污染源釋放歷史，進而得到污染物的時空分布。Li 等［4］在Tikhonov 正則化的基礎上，提出了一種新的梯度正則化算法用于求解地下水一維均勻流的源項反演問題，有效地識別出線污染源的空間強度變化。Huang 等［5］通過共軛梯度法反演地下水二維均勻流模型中的線污染源空間變化強度。而邢利英等［6］通過改進的共軛梯度法重構地下水一維均勻流的線污染源空間釋放函數(shù)。Onyari 等［7］對二維各向異性地下水含水層中的污染物運輸反問題，通過格林函數(shù)法離散、奇異值分解及Tikhonov 正則化的最小二乘法等進行求解，重構了一維已知位點的污染源隨時間變化的釋放函數(shù)以及二維線污染源的空間變化強度，從而得到污染物的時空分布。Mazaheri 等［8］則是將格林函數(shù)法應用于一維對流?彌散方程，從而得到積分方程，并通過Tikhonov 正則化進行求解，以此準確地識別河流中的點污染源。Wang等［9］提出了一種基于有限元方法求解序列適定正問題的非迭代正則化優(yōu)化算法，重構了地下水一維均勻流模型反問題中線污染源釋放函數(shù)的空間變化。

綜上可知，以上研究大多采用正則化方法對地下水非點污染源和已知點源位置情況下點源源強進行反演識別，也就是說目前采用正則化方法對地下水點污染源的空間位置識別研究較少。而已有研究是將稀疏正則化理論應用于空氣污染源定位［10?11］、熱源定位［12］以及聲源定位［13］等領域。對此，本文將設計一種方法來識別地下水點污染源的位置及源強變化，即對反問題的目標函數(shù)引入l1范數(shù)項加以約束，然后利用交替優(yōu)化算法分別迭代求解濃度場和源強。

1 地下水污染源反演模型

1.1 地下水污染物運移控制方程

假定承壓含水層地下水的流動方向為x方向，且污染物為保守性污染物，初始濃度場為0，故采用不考慮吸附及化學反應的一維對流?彌散方程，為：

式中，T表示計算區(qū)域內的時間范圍，L表示計算區(qū)域內的空間范圍，C(x，t)表示污染物濃度，vx為沿x方向的地下水滲流速度，αL為縱向彌散度即沿x方向的彌散度，I表示源匯項。這里僅考慮點污染源，故有：

1.2 加稀疏約束的目標函數(shù)

1.3 交替優(yōu)化法

1.4 正則化參數(shù)選取

圖1 正則化參數(shù)μ的選取Fig.1 Selection of regularization parameter μ

2 數(shù)值算例

本文研究一個一維的地下水污染源識別問題，如圖2 所示。并令式(1)中，L= 100 m，T= 10 d，vx= 1m d，αL= 10 m，然后設空間步長為dx= 0.5 m，時間步長為dt= 0.01d，則將空間范圍劃分為200個單元，201個節(jié)點，并定義節(jié)點編號集合為{ni，i= 1，2，…，201}，其中ni表示第i個節(jié)點上；單元編號集合為{ei，i= 1，2，…，200}，其中ei則表示第i個單元內。

圖2 一維地下水污染物運移示意圖Fig.2 Schematic of a one?dimensional groundwater contaminant transport problem

式中，Cm(tj)為上文所提的t時刻真實節(jié)點濃度，可由式(4)求得；σ表示噪聲水平；Rn為由標準正態(tài)分布(即均值等于0，標準差等于1)求得的隨機數(shù)；RMS表示均方根誤差。

表1 一維點源識別的四種工況Table 1 Four scenarios for one?dimensional point sources identification

3 結 語

圖3 工況1的稀疏正則化識別結果Fig.3 Identified results for scenario 1 with sparse regularization

圖4 工況1的無正則化識別結果Fig.4 Identified results for scenario 1 without regularization

圖5 工況2的稀疏正則化識別結果Fig.5 Identified results for scenario 2 with sparse regularization

針對地下水一維點污染源識別問題，本文提出了一種基于稀疏正則化的點源識別方法，從而為地下水污染的預防與治理工作提供一定的理論支持。首先，構造一維點污染源對流?彌散方程的時域有限元格式，并進行拉普拉斯變化得到頻域方程，接著建立以l1范數(shù)項為約束的目標函數(shù)，從而克服污染源識別的不適定性并兼顧點源的稀疏性，然后利用交替優(yōu)化法在不同噪聲水平下進行迭代求解，發(fā)現(xiàn)所提方法能有效識別算例的點源位置及其強度變化，且其抗噪性較強，本論文方法可進一步推廣應用到地下水二維點污染源識別問題。

圖6 工況3的稀疏正則化識別結果Fig.6 Identified results for scenario 2 with sparse regularization

圖8 工況4的稀疏正則化識別結果Fig.8 Identified results for scenario 4 with sparse regularization