胡嘉葦

[摘? 要] 摘要：提到統(tǒng)計(jì)一章中涉及的核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析是比較明顯的兩條線，直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)卻容易在實(shí)際教學(xué)中被人忽略. 一個(gè)重要的原因在于，教材中數(shù)據(jù)的整理收集到最后的統(tǒng)計(jì)圖表直觀呈現(xiàn)，需要信息技術(shù)的支持，而一線教師擅長(zhǎng)的幾何畫板等工具在這方面的功能有限，所以實(shí)際的高中課堂就出現(xiàn)了直接“套用”“默認(rèn)”教材的圖表呈現(xiàn). 但缺少了學(xué)生的“建構(gòu)體驗(yàn)”，“直觀想象”也就大打折扣. 圖形計(jì)算器兼具數(shù)與形的優(yōu)點(diǎn)，相當(dāng)于移動(dòng)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室. 文章以線性回歸方程的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，探討其在培養(yǎng)學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的一些操作形式.

[關(guān)鍵詞] 直觀想象;圖形計(jì)算器;線性回歸

問題提出

1. 如何理解“直觀想象”核心素養(yǎng)

2014年3月教育部頒布的《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》，確立了核心素養(yǎng)在立德樹人中的突出地位. 林崇德教授曾提出：“學(xué)生應(yīng)具備能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力.”核心素養(yǎng)兼具個(gè)體發(fā)展和社會(huì)發(fā)展，連接個(gè)體價(jià)值和社會(huì)價(jià)值，是人從事社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)必備的知識(shí)、能力和品格的綜合表現(xiàn).直觀想象作為六大核心素養(yǎng)之一，其重要性不言而喻，也就順理成章成為一線教師認(rèn)真鉆研、努力踐行的重頭戲.

那什么是“直觀想象”？

著名數(shù)學(xué)家希爾伯特曾說：“要幫助我們的學(xué)生學(xué)會(huì)用圖形來描述和刻畫問題，學(xué)會(huì)用圖形去發(fā)現(xiàn)解決問題的思路.”這可以說是給出了直觀想象的本質(zhì)界定.

“直觀想象”在高中教學(xué)中的具體培養(yǎng)要求是什么？

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中“直觀想象”核心素養(yǎng)的界定：指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括：借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題. 主要表現(xiàn)為：建立形與數(shù)的聯(lián)系;利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

個(gè)人覺得，直觀和想象都是人們認(rèn)識(shí)和感知世界的一種基本方式.人們認(rèn)知世間萬物的一個(gè)基本特點(diǎn)就是將事物直觀化. 直觀的呈現(xiàn)方式是多種多樣的，可以是短視頻或圖片，可以是一張思維導(dǎo)圖. 直觀雖是低層次的認(rèn)知，但它可以為進(jìn)一步的抽象與想象做鋪墊.直觀能促進(jìn)更豐富有效的想象，所以直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).

2. 統(tǒng)計(jì)教學(xué)中“直觀想象”核心素養(yǎng)的現(xiàn)狀與困境

必修三中統(tǒng)計(jì)版塊的教材雖然處處可見直觀想象的素材，但真正在實(shí)際教學(xué)的過程中，我們卻常常選擇忽略這些金子般的直觀素養(yǎng)培養(yǎng)的種子. 一個(gè)重要的原因在于，教材中數(shù)據(jù)的整理收集到最后的統(tǒng)計(jì)圖表直觀呈現(xiàn)，需要信息技術(shù)的支持. 一線教師擅長(zhǎng)的幾何畫板等工具在這方面的功能有限，沒有辦法在教材呈現(xiàn)這一“從數(shù)據(jù)到圖像”的重要過程，而是被迫選擇直接“套用”“默認(rèn)”教材的圖表呈現(xiàn). 于是，“大家觀察圖……”這樣的話語就頻頻出現(xiàn)在課堂. 雖然學(xué)生基本不會(huì)懷疑教材中圖表呈現(xiàn)的真實(shí)性，但缺少了學(xué)生的“建構(gòu)體驗(yàn)”，“直觀想象”就變成了“讓我們看”，更別提教材為我們精心設(shè)計(jì)準(zhǔn)備的那些有著強(qiáng)烈實(shí)際背景的課后習(xí)題了，基本上被我們?cè)诮虒W(xué)中“打入冷宮”.

3. 圖形計(jì)算器的特點(diǎn)與優(yōu)勢(shì)

何為圖形計(jì)算器？圖形計(jì)算器通常指一種能夠繪制函數(shù)圖像、解聯(lián)立方程組以及執(zhí)行其他各種操作的手持計(jì)算器，大多數(shù)圖形計(jì)算器還能編寫數(shù)學(xué)類程序. 概括起來，其突出特點(diǎn)是：手持便攜，圖文并茂，能動(dòng)會(huì)變，形象直觀，及時(shí)反饋.正是由于它兼具數(shù)與形的優(yōu)點(diǎn)，所以在統(tǒng)計(jì)這一版塊知識(shí)的教學(xué)中，能夠成為直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)的重要載體.

4. 《變量間的相關(guān)關(guān)系》教學(xué)設(shè)計(jì)片段

環(huán)節(jié)一、動(dòng)手操作，作散點(diǎn)圖

在一次對(duì)人體脂肪和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù).（PPT展示人教A版教材必修3第85頁人體的脂肪百分比和年齡圖）

問題（1）：針對(duì)上述數(shù)據(jù)所提供的信息，你認(rèn)為人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系？

問題（2）：怎樣直觀形象地展示兩個(gè)變量的關(guān)系？——引出散點(diǎn)圖.

問題（3）：你能想象一下作出的散點(diǎn)圖的大致情況嗎？嘗試用圖形計(jì)算器驗(yàn)證你的猜想.

學(xué)生操作：先把數(shù)據(jù)中成對(duì)出現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)分別作為橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，把數(shù)據(jù)輸入表格當(dāng)中（第一列橫坐標(biāo)、第二列縱坐標(biāo)）得到圖1;繪出散點(diǎn)圖，得到圖2.

問題（4）：這些散點(diǎn)圖有什么特點(diǎn)？——引出線性相關(guān)關(guān)系.

問題（5）：下面給出三組數(shù)據(jù)（PPT展示），請(qǐng)我們的三個(gè)學(xué)習(xí)小組，每個(gè)小組作出其中一個(gè)散點(diǎn)圖，并觀察數(shù)據(jù)特點(diǎn). 結(jié)合作出的散點(diǎn)圖，教師總結(jié)：線性相關(guān)關(guān)系，正負(fù)相關(guān)關(guān)系等概念.

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)回到了教材所舉的例子進(jìn)行探究，在引導(dǎo)學(xué)生得出圖像（散點(diǎn)圖）的必要性過后，筆者給時(shí)間讓學(xué)生嘗試在腦袋里暢想散點(diǎn)圖的大致形狀. 然后通過圖形計(jì)算器作出散點(diǎn)圖進(jìn)行對(duì)照，一是與自己的想象對(duì)照，二是把自己作出的散點(diǎn)圖與教材給出的散點(diǎn)圖進(jìn)行對(duì)照. 經(jīng)歷這個(gè)過程的目的是讓學(xué)生感受：直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).同時(shí)相比教材中“從天而降”的散點(diǎn)圖，自己動(dòng)手作出的散點(diǎn)圖將會(huì)更加真實(shí)、更加親切且讓人印象深刻.

環(huán)節(jié)二、直觀想象，引出回歸直線

問題：結(jié)合散點(diǎn)圖，你能說說人在62、63、64歲時(shí)的脂肪含量大約是多少嗎？你做出判斷的理由是什么？可以把你的想法在小組內(nèi)交流探討.

教師：參與到學(xué)生的小組討論中，了解學(xué)生的想法. 在了解的基礎(chǔ)之上，請(qǐng)一些具有典型想法的學(xué)生來與全班交流.

結(jié)合學(xué)生的回答，引導(dǎo)學(xué)生觀察：所有的點(diǎn)都大致分布在一條直線的附近，只要求出這條直線的方程，那么就可以知道人在62、63、64歲時(shí)的脂肪含量.如圖2，從整體上看，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)分布大致在一條直線附近，我們把這條直線叫做“回歸直線”. （教師引導(dǎo)學(xué)生在圖形計(jì)算器上作出回歸直線）？搖

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)可以說是本節(jié)課的精華所在，精彩之處就在于開放性的提問. “結(jié)合圖2”就是把學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)引到對(duì)散點(diǎn)圖的分析，“62、63、64歲時(shí)的脂肪含量大約是多少”本來就是一個(gè)沒有標(biāo)準(zhǔn)答案的提問，這樣可以讓學(xué)生有自由發(fā)揮想象的空間. 設(shè)置小組討論、全班交流的環(huán)節(jié)，就是想讓學(xué)生在交流中不斷修正、取舍、優(yōu)化. 結(jié)合教師引導(dǎo)，讓學(xué)生自然而然地過渡到找一條直線來“近似代替”，從而經(jīng)歷：獨(dú)立看圖自由想象—小組討論取舍方案—全班思考明晰方向.

5. 信息技術(shù)助力直觀想象變成學(xué)生可操作的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

新課程標(biāo)準(zhǔn)由原來的“雙基”拓展為“四基”，“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”成為核心素養(yǎng)培養(yǎng)必不可少的“關(guān)鍵詞”. 而在統(tǒng)計(jì)這一章節(jié)中，受信息技術(shù)條件和教師理念的影響，很多時(shí)候的課堂都是照搬、照抄教材中給出的圖表. 或許從知識(shí)理解以及最后的考試來看影響不大，但是學(xué)生的活動(dòng)操作經(jīng)驗(yàn)卻被簡(jiǎn)單粗暴地?fù)Q成了閱讀和接受. 直觀想象素養(yǎng)的滲透當(dāng)然也就無計(jì)可施，失去了知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn). 信息技術(shù)的介入，能夠讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，或許過程會(huì)出錯(cuò)，或許會(huì)走彎路，但這也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必不可少的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 此外，這種直觀想象的探究不僅可以在課堂上，也可以在課后、在家里;不僅可以研究教材的舉例，也可以研究課后的習(xí)題、課后的實(shí)習(xí)作業(yè)等. 這樣就拓展了學(xué)生基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)獲得的時(shí)間和空間，同時(shí)也為教師的教學(xué)設(shè)計(jì)提供了更多可能.