蔣雪梅

(重慶市永川區(qū)朱沱鎮(zhèn)四明初級(jí)中學(xué)校 重慶 402160)

尺規(guī)作圖指用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖，起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題。只使用圓規(guī)和直尺，并且只準(zhǔn)許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題。在人教版七年級(jí)下冊(cè)第五章相交線與平行線第二節(jié)中，得到了一個(gè)基本事實(shí)，即平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行?？墒墙滩闹幸寻堰@部分的尺規(guī)作圖簡(jiǎn)化了，部分教師是用三步法畫平行線，一放，二移，三畫。但這個(gè)平行公理的尺規(guī)作圖又該怎么畫呢？有沒有巧妙的方法呢？下面作者聚焦了幾種以幾何原型為參照的平行公理的尺規(guī)作圖方法。

問題：已知直線l與直線外一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作與直線l平行的直線。（要求：尺規(guī)作圖）

對(duì)于用尺規(guī)作圖來畫出平行公理中平行線的問題，從平行線判定的角度考慮，得到如下幾種尺規(guī)作圖原型。

一、平行線的判定原型

（一）同位角相等，兩直線平行

幾何原型1

畫法：1.在直線l上任取一點(diǎn)B，以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線l于點(diǎn)C（不與B點(diǎn)重合）；

2.構(gòu)造等腰三角形ABC；

3.作等腰三角形ABC頂角的外角∠CAD的角平分線AE，則直線AE即為所求。

證明：∵AB=AC

∴∠B=∠C

又∵∠DAC是∠BAC的一個(gè)外角，AE平分∠DAC

∴∠DAE=∠B

∴AE∥BC

（二）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

幾何原型2

畫法：1.在直線l上任取兩點(diǎn)B.C；

2.作∠ABC的角平分線BD；

3.以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫圓，交射線BD于點(diǎn)D；

4.連接AD，直線AD即為所求。

證明：由圖可知：AB=AD

∴∠ABD=∠ADB

又∵BD平分∠ABD

∴∠ABD=∠DBC

∴∠ADB=∠DBC

∴BC∥AD

二、平行四邊形原型

（一）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

幾何原型3

畫法：1.在直線l上任取兩點(diǎn)B，C；

2.分別以A、C為圓心，BC、AB為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D；

3.連接AD構(gòu)造平行四邊形ABCD，則直線AD即為所求。證明略。

（二）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

幾何原型4

畫法：1.在直線l上任取兩點(diǎn)B，C；

2.連接AC；

3.作AC的中點(diǎn)O；

4.連接BO并延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使得BO=DO；

5.連接AD，則直線AD即為所求。

證明略。

三、三角形的中位線原型

幾何原型5

畫法：1.在直線l上任取一點(diǎn)B，連接AB并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使得AB=AE；

2.在直線l上再取一點(diǎn)C（不與B點(diǎn)重合），連接EC；

3.作線段EC的中點(diǎn)D；

4.作直線AD，則直線AD即為所求。

證明略。

四、結(jié)束語(yǔ)

通過參照幾何原型對(duì)平行公理進(jìn)行尺規(guī)作圖，不僅給了學(xué)生尺規(guī)作圖的思考方向，而且能提高學(xué)生思考問題的能力和動(dòng)手能力，多角度思考問題的能力，體現(xiàn)了新課標(biāo)下的以學(xué)生為主體，老師為主導(dǎo)的思想，能使不同層次的學(xué)生得到不同的發(fā)展。