才瀚濤，黃 華，蘇 煒

(中山大學(xué) 航空航天學(xué)院 應(yīng)用力學(xué)與工程系，廣東 廣州 510275)

防波堤在近岸與離岸工程中用于抵抗波浪作用，從而對(duì)海工設(shè)施和海上作業(yè)水域?qū)嵤┍Ｗo(hù)。防波堤類型廣泛，常見類型包括直立直墻式防波堤、島式防波堤、梳式防波堤、斜坡式防波堤、T 形防波堤、潛堤、圓弧型防波堤以及V 形防波堤等。Stokes[1]推導(dǎo)了半無限長(zhǎng)薄壁單突堤的波浪繞射解析解形式。Lick[2]解析探討了楔形堤的微幅波繞射問題。洪廣文[3]對(duì)不完全反射邊界楔形堤和隅角堤的波浪繞射問題展開了理論分析。何軍等[4]對(duì)T 型防波堤與波浪的相互作用進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算。胡寶琳等[5]對(duì)半圓型潛堤所受波壓作用展開了數(shù)值模擬研究。朱夢(mèng)華等[6-7]分別解析計(jì)算了橢圓余弦波對(duì)無限長(zhǎng)直墻防波堤的波浪反射與透射作用以及波浪引起的防波堤底部的滲流作用。楚玉川等[8]對(duì)Airy 微幅波作用于單層圓弧型薄壁防波堤的繞射波浪力進(jìn)行了解析研究。張敖等[9-10]分別應(yīng)用橢圓余弦波和孤立波一階模型推導(dǎo)并理論計(jì)算了淺水波對(duì)圓弧型防波堤的繞射力與波面。蔣學(xué)煉等[11]基于微幅波對(duì)單突堤的繞射解析理論，提出了單突堤總波浪力相位差修正公式，探討了波浪力和波高的沿堤波動(dòng)。V 形防波堤在美國首次提出并構(gòu)建，其目的主要為建造可臨時(shí)快速構(gòu)建和撤收的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。它具有建造方便省料和使用便捷且防浪效果良好等優(yōu)點(diǎn)。Chang 等[12]數(shù)值研究了微幅波作用下的V 形防波堤的防浪效應(yīng)。

本文基于橢圓余弦波的淺水波模型，推導(dǎo)任意張角下V 形防波堤的波浪繞射解析解，從而將現(xiàn)有的Airy 波模型和相應(yīng)的各種結(jié)果加以有效拓展。此外，本文方法將對(duì)現(xiàn)有的無限長(zhǎng)薄壁直墻堤對(duì)應(yīng)的淺水波反射理論進(jìn)行拓展。

1 橢圓余弦波對(duì)V 形防波堤繞射的波浪場(chǎng)解析解與波浪力算式

設(shè)在均勻水深為 d 的海域中設(shè)置有兩臂長(zhǎng)均為 a的 V 形固立防波堤（圖1），取坐標(biāo)系 oxyz(即坐標(biāo)系orθz ）， oxy平面位于水底，原點(diǎn)位于堤的兩臂相交點(diǎn)，ox正 軸與下臂重合，兩臂張角（即夾角）為 α，其中0<α ≤π， oz軸垂直向上。入射波為淺水波中的橢圓余弦波一階分量，入射角（與 ox軸 正向夾角）為β。以a為 半徑劃一圓柱面，將流場(chǎng)劃分為圓柱外流區(qū) ?0和圓柱內(nèi)流區(qū) ?1與 ?2（圖1）。

設(shè)水波總速度 Φ=Φi+Φs=Re(φ)=Re(φi+φs)，其中Re 是對(duì)括號(hào)內(nèi)取實(shí)部， φi為 入射波勢(shì)， φs為散射波勢(shì)。則有：

圖1 橢圓余弦波作用下的V 形固立防波堤Fig.1 Cnoidal wave diffracted by V shaped breakwater

另外， φ須滿足V 形防波堤物面條件， φs須滿足徑向無窮遠(yuǎn)處的輻射條件。入射角為 β的一階入射橢圓余弦波的波勢(shì)[8]，可表達(dá)為：

其中，已利用貝塞爾母函數(shù)推廣公式：

式中：kn=nk。由此若取對(duì)應(yīng)流區(qū) ?(j)的橢圓余弦波總波勢(shì)為則由特征函數(shù)展開法，可?。?/p>

將各區(qū)圓柱交界面徑向質(zhì)點(diǎn)速度和壓強(qiáng)連續(xù)條件統(tǒng)一寫為：

由式(10)和(11)，可設(shè)并可得：

將 f(θ)在 0 ～2π上展開為傅氏級(jí)數(shù)，即：

由a0=al=bl=0 (l=1,2,3···)，相應(yīng)有：

代入 f1(θ) 和 f2(θ)，分別可得系數(shù)方程為：

其中,

進(jìn)一步應(yīng)用邊界條件式(12)和式(13)分別可得：

方程(20)，(21)，(26)和(27)構(gòu)成了未知系數(shù)的無限維完備代數(shù)聯(lián)立方程組，其中取實(shí)算中進(jìn)行適度有限維運(yùn)算即可滿足計(jì)算精度要求。

對(duì)應(yīng)流域 ?j的繞射波面為而壓力為(j=0,1,2)。

據(jù)此可得作用于防波堤上臂的總波浪力為：

相應(yīng)分量分別為F1x=F1sinα，F(xiàn)1y=F1cosα，而防波堤下臂的波浪力分量為：

上臂和下臂的總波浪力為：

進(jìn)一步可給出V 形堤總波浪力矩公式：

其中，下標(biāo) x和 y 分別對(duì)應(yīng)繞 oy 軸和 ox軸的水平波浪力矩。

2 算例與分析

在以下計(jì)算的各圖中規(guī)定符號(hào) F/[ρg(H/2)ad]和 M/[ρg(H/2)ad2]分別表示V 形防波堤的無量綱總波浪力和力矩幅值。由于無量綱波浪力矩值為無量綱波浪力值的一半（見式(32)），故僅需對(duì)無量綱波浪力進(jìn)行計(jì)算即可。在計(jì)算中引入橢圓余弦波特征參數(shù)λ =4κ2K(κ)/(3π2)=H/(k2d3)，它能夠反映淺水波波浪參數(shù)與水深相對(duì)變化對(duì)波浪作用的綜合影響效應(yīng)。

在本文計(jì)算式中取V 形堤張角為π，進(jìn)一步取有限長(zhǎng)直墻薄壁密實(shí)防波堤堤長(zhǎng)足夠大，從而與文獻(xiàn)[5]中涉及無限長(zhǎng)直墻薄壁密實(shí)防波堤在水波正入射條件下的最大波面分布的相關(guān)計(jì)算進(jìn)行驗(yàn)證比較。圖2為與文獻(xiàn)[5]所涉及的在相同參數(shù)條件下最大波面分布中心軸線剖面圖的相關(guān)計(jì)算資料的比對(duì)結(jié)果，圖中取符號(hào)η /H為無量綱化最大波面。圖2 表明計(jì)算結(jié)果完全吻合，說明本文方法正確可靠。

圖3 為不同臂長(zhǎng)水深比下張角為2 π/3的 V 形堤在來波正入射下（β =π/3） 最大無量綱波浪力隨 kd的變化曲線。由圖3 可見，當(dāng) 0.53.0或kd<0.5時(shí)，最大無量綱波浪力隨臂長(zhǎng)水深比變化呈交錯(cuò)變化。

圖2 與無限長(zhǎng)密實(shí)直墻堤的中心線剖面的比較Fig.2 Comparation of central profile with infinite long solid wall (λ =1, a=1 000, d=2, α=π, β=π/2)

圖3 不同臂長(zhǎng)水深比下最大無量綱波浪力隨k d的變化Fig.3 Maximum dimensionless wave force for different arm length-water depth ratio (β=π/3, λ=3, α=2π/3)

圖4 為不同臂長(zhǎng)水深比下張角為 π的V 形堤在來波正入射下（ βπ/2 ）最大無量綱波浪力隨 kd的變化曲線。從圖4 結(jié)果可知，當(dāng) kd 較小時(shí)（ kd<0.4），最大無量綱波浪力隨著臂長(zhǎng)水深比的增加而略有增加，之后小幅交錯(cuò)變換至 kd>2.0， 對(duì)應(yīng)值隨著臂長(zhǎng)水深比的增加而略有減小。與張角為 2π/3的V 形堤相比，張角為π的V 形堤的無量綱波浪力幅值受臂長(zhǎng)水深比的影響明顯要小許多。

圖5 為不同來波入射角下張角為 2π/3的V 形堤的無量綱波浪力幅值隨 kd的變化趨勢(shì)。如圖5 所示，當(dāng) kd<0.7時(shí) ，無量綱波浪力幅值隨入射角 β的增大而減小，當(dāng)k d>0.7時(shí)，對(duì)應(yīng)值呈現(xiàn)交錯(cuò)變化。

圖6 為不同來波入射角下張角為 π的V 形堤的無量綱波浪力幅值隨 kd的變化趨勢(shì)。如圖6 所示，隨著入射角 β的增大最大無量綱波浪力隨之減小。正入射（ β=π/2）對(duì)應(yīng)的無量綱波浪力幅值最大，且kd>1.0時(shí)其值遠(yuǎn)大于斜入射情形的對(duì)應(yīng)值。

圖4 不同臂長(zhǎng)水深比下最大無量綱波浪力隨k d的變化Fig.4 Maximum dimensionless wave force for different arm length-water depth ratios (β=π/2, λ=3, α=π)

圖5 不同來波入射角下最大無量綱波浪力隨k d的變化Fig.5 Maximum dimensionless wave force for different incident angles (λ=3, d/a=1/5, α=2π/3)

圖6 不同入射角下最大無量綱波浪力隨k d的變化Fig.6 Maximum dimensionless wave force for different incident angles (λ=3, d/a=1/5, α=π)

圖7 為不同張角下正入射波對(duì)同臂長(zhǎng)V 形堤的無量綱波浪力幅值隨 kd的變化趨勢(shì)。圖7 表明：不同張角下正入射波對(duì)同臂長(zhǎng)V 形堤的無量綱波浪力幅值隨張角的增大而明顯增大，張角為 π的V 形堤對(duì)應(yīng)最大無量綱波浪力幅值。

圖8 為不同kd 下張角為 2π/3的 V 形堤最大無量綱波浪力隨淺水波特征參數(shù) λ的變化趨勢(shì)。由圖8 可知，當(dāng)λ <2時(shí) ，相對(duì)淺水條件（ kd=0.5） 的無量綱波浪力幅值隨 λ 增加而略增，隨后隨 λ略為單調(diào)減小。而對(duì)應(yīng) kd 的另外2 個(gè)取值，無量綱波浪力幅值均隨 λ 增加而略減至保持不變。按照 λ=(H/d)/(kd)2， 當(dāng) kd和V 形堤臂長(zhǎng)a 不變條件下（由于 d=a/5， 相應(yīng)水深不變），則隨λ 增大，波高H 增大。由最大無量綱波浪力表達(dá)式 F/[ρg(H/2)ad]， 可見實(shí)際最大波浪力將隨λ （即H）增大而明顯增大。此外，圖8 還表明，當(dāng) λ一定時(shí)，隨kd的減小無量綱波浪力幅值增加。

圖7 不同張角下V 形堤的最大無量綱波浪力隨k d的變化Fig.7 Maximum dimensionless wave force for different opening angles of the breakwater (λ=3, d/a=1/5, β=π/4,π/3, π/2)

圖8 不同 kd下最大無量綱波浪力隨淺水波特征參數(shù)λ的變化Fig.8 Maximum dimensionless wave force for different characteristic parameters of shallow water (β=π/3, α=2π/3,d/a=1/5)

圖9 為相同淺水條件下橢圓余弦波與Airy 微幅波對(duì)張角為 2π/3的V 型防波堤的最大無量綱波浪力的比較。由圖9 可見，橢圓余弦波模型和Airy 波模型分別計(jì)算的防波堤最大無量綱波浪力隨參數(shù) kd的變化趨勢(shì)大致相同。橢圓余弦波理論所算結(jié)果明顯高于Airy 波理論的對(duì)應(yīng)值，說明在一定淺水條件下采用橢圓余弦波模型十分必要。

圖9 橢圓余弦波與Airy 波所對(duì)應(yīng)的最大無量綱波浪力的比較Fig.9 Comparation of maximum dimensionless wave force for cnoidal wave and airy wave (β=π/3, λ=3, d/a=1/5,α=2π/3)

3 結(jié) 語

本文引入橢圓余弦波一階分量模型，針對(duì)V 形防波堤的經(jīng)典結(jié)構(gòu)形式，應(yīng)用特征函數(shù)展開法，對(duì)淺水波的繞射問題展開解析研究，從而將Airy 微幅波的對(duì)應(yīng)理論加以有效拓展。主要結(jié)論有：

（1）將無限長(zhǎng)直立薄壁堤的淺水波反射理論進(jìn)行了有效拓展。通過計(jì)算來波正入射下足夠長(zhǎng)張角 π直墻薄壁密實(shí)堤的最大繞射波面，與相同條件下無限長(zhǎng)直墻密實(shí)堤的正反射最大波面結(jié)果加以比較，兩者結(jié)果吻合良好，說明本文方法合理可靠。

（2）利用橢圓余弦波理論計(jì)算所得的V 形防波堤的最大無量綱波浪力（矩）明顯大于相同淺水條件下Airy 微幅波波理論的對(duì)應(yīng)結(jié)果，說明在一定的淺水條件，采用本文的淺水波V 形堤繞射理論更為合理可靠。

（3）淺水波入射角、V 形堤張角以及臂長(zhǎng)水深比等因素的相對(duì)變化對(duì)V 形堤的波浪繞射作用均存在一定影響。V 形堤的橢圓余弦波實(shí)際繞射波浪力幅值隨淺水波特征參數(shù)的增加而增加。