王海宇， 喬百豪， 瞿博陽

(1.鄭州大學(xué) 商學(xué)院，河南 鄭州 450001; 2.中原工學(xué)院 電信學(xué)院，河南 鄭州 450007)

0 引言

作為過程質(zhì)量控制的主要技術(shù)方法，控制圖已經(jīng)在工業(yè)生產(chǎn)中得到了廣泛的應(yīng)用?？刂茍D設(shè)計(jì)好壞的主要評(píng)價(jià)指標(biāo)可以分為統(tǒng)計(jì)特性與實(shí)施成本兩種，即統(tǒng)計(jì)性和經(jīng)濟(jì)性，因此其優(yōu)化設(shè)計(jì)主要包括統(tǒng)計(jì)性設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)性設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)性設(shè)計(jì)三種方法[1]。統(tǒng)計(jì)性設(shè)計(jì)的參數(shù)主要由控制圖的兩類錯(cuò)誤確定，通常控制圖的設(shè)計(jì)是在將誤發(fā)報(bào)警的概率維持在一個(gè)較小的值的基礎(chǔ)上盡可能地減小漏發(fā)報(bào)警的概率[2]。平均運(yùn)行長度(ARL, Average Run Length)是目前最為普遍使用的控制圖效率評(píng)價(jià)指標(biāo)，它比較容易計(jì)算，便于被人們接受并使用[3]。由于ARL是樣本數(shù)的平均值，受抽樣頻率等的影響較大，往往不能完全反映不同的控制圖方案在監(jiān)控效率上的差異[4]。

從經(jīng)濟(jì)層面上看，控制圖設(shè)計(jì)同樣會(huì)影響抽樣、檢驗(yàn)、異常來源查找及消除等的成本。因此，Duncan首先構(gòu)建了X-bar控制圖監(jiān)控生產(chǎn)過程的費(fèi)用函數(shù)，為控制圖經(jīng)濟(jì)設(shè)計(jì)的研究奠定了基礎(chǔ)[5]；Lorenzen和Vance考慮生產(chǎn)過程在尋找異常因素以及修復(fù)系統(tǒng)的時(shí)候是否停止運(yùn)行，構(gòu)建了通用的費(fèi)用函數(shù)模型[6]。后續(xù)大多數(shù)控制圖經(jīng)濟(jì)性設(shè)計(jì)的研究都是在這兩篇文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上發(fā)展來的。

為了兼顧控制圖的統(tǒng)計(jì)性能與經(jīng)濟(jì)性能，人們又提出了過程質(zhì)量控制的經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)設(shè)計(jì)，綜合考慮經(jīng)濟(jì)性和統(tǒng)計(jì)性，一些學(xué)者們?cè)诮?jīng)濟(jì)性設(shè)計(jì)上增加了統(tǒng)計(jì)性約束，使控制圖在達(dá)到統(tǒng)計(jì)性能情況下成本最低[7]。對(duì)于控制圖的經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)設(shè)計(jì)來說，帶有統(tǒng)計(jì)約束的經(jīng)濟(jì)設(shè)計(jì)并不是一種非常有效的方法，在很多實(shí)際應(yīng)用中，統(tǒng)計(jì)特性都具有和經(jīng)濟(jì)特性同等重要的地位，因此成本和統(tǒng)計(jì)特性都應(yīng)該作為設(shè)計(jì)目標(biāo)同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化[8,9]。Evans和Emberton提出了具有成本函數(shù)和統(tǒng)計(jì)指標(biāo)兩個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)的均值-極差控制圖的優(yōu)化設(shè)計(jì)，首次將控制圖優(yōu)化設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為多目標(biāo)決策問題[10]；Safaei等提出了考慮田口質(zhì)量損失函數(shù)的控制圖經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型[11]；Yang等以成本和ATS為經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)多目標(biāo)函數(shù)，以ARL作為統(tǒng)計(jì)約束，構(gòu)造X和 S控制圖的經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)設(shè)計(jì)模型，并采用改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法對(duì)該模型進(jìn)行求解[12]。

由于休哈特常規(guī)控制圖對(duì)小偏移不是很敏感，EWMA圖被廣泛地用于對(duì)過程中出現(xiàn)的較小波動(dòng)進(jìn)行質(zhì)量監(jiān)測(cè)。SEREL基于損失函數(shù)提出了EWMA圖的經(jīng)濟(jì)性設(shè)計(jì)方法[13]；AMIRIA等基于成本和過程參數(shù)的不確定性構(gòu)造了穩(wěn)健的EWMA圖經(jīng)濟(jì)設(shè)計(jì)和經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)設(shè)計(jì)[14]；常志遠(yuǎn)等采用差分進(jìn)化式煙花算法研究了自適應(yīng)EWMA圖的經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)設(shè)計(jì)[15]。然而在這些已有的研究中，大都采用ARL、ATS等不夠精確的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)作為統(tǒng)計(jì)性和經(jīng)濟(jì)性目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算依據(jù)，難以獲得更準(zhǔn)確的控制圖性能評(píng)價(jià)結(jié)果和最佳的控制圖優(yōu)化設(shè)計(jì)方案。針對(duì)這一問題，本文采用更為精確的產(chǎn)品長度作為計(jì)算依據(jù)來討論EWMA圖的經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的具體方法。

1 EWMA控制圖的經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)設(shè)計(jì)

(1)

其中，Z0=μ0，0<λ≤1，i=1,2,…。

(2)

控制圖應(yīng)用的一個(gè)質(zhì)量周期是從生產(chǎn)過程開始到消除過程異常波動(dòng)，包括過程處于受控狀態(tài)、失控狀態(tài)、排查異常、消除異常等多個(gè)階段，如圖1所示。

圖1 控制圖應(yīng)用的質(zhì)量周期示意圖

在對(duì)EWMA圖進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，通常需要確定樣本容量n、抽樣間隔h、控制線參數(shù)k、平滑系數(shù)λ等參數(shù)，參數(shù)的選擇既要考慮過程的統(tǒng)計(jì)性能，也要考慮其經(jīng)濟(jì)性，即控制圖的經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)設(shè)計(jì)。

1.1 統(tǒng)計(jì)性評(píng)價(jià)指標(biāo):APL的計(jì)算

對(duì)于控制圖的統(tǒng)計(jì)性能，通常使用平均運(yùn)行長度(ARL, Average Run Length)，即過程出現(xiàn)異常波動(dòng)到該異常波動(dòng)被控制圖發(fā)現(xiàn)之間的平均樣本數(shù)，作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。當(dāng)過程處于受控狀態(tài)時(shí)，希望有盡量少的虛發(fā)報(bào)警，即ARL0越大越好；當(dāng)過程處于失控狀態(tài)時(shí)，希望能夠盡快發(fā)出異常報(bào)警，即ARL1越小越好。而ARL0和ARL1不可能同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，因此在控制圖的統(tǒng)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，往往將ARL0保持為一個(gè)較大的固定值，然后進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化選擇以使ARL1達(dá)到最小。但ARL往往存在度量不夠精確，無法在樣本容量、抽樣間隔等有差異時(shí)有效進(jìn)行控制圖監(jiān)控效率的衡量和比較，因此本文采用更為精確的平均產(chǎn)品長度(APL, Average Product Length)，即過程出現(xiàn)異常波動(dòng)到該異常波動(dòng)被控制圖發(fā)現(xiàn)之間的平均產(chǎn)品數(shù)，作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。

首先，如圖1中段所示，從過程出現(xiàn)異常波動(dòng)到該波動(dòng)被控制圖發(fā)現(xiàn)之間生產(chǎn)的總產(chǎn)品數(shù)，即產(chǎn)品長度L可以表示為：

L=D+h(S-1)+nS

(3)

其中，n為樣本容量；S為從過程出現(xiàn)異常波動(dòng)到被發(fā)現(xiàn)之間抽樣的樣本個(gè)數(shù)；h表示樣本之間間隔的產(chǎn)品數(shù)；D表示從過程出現(xiàn)異常波動(dòng)到之后的第一個(gè)樣本之間的產(chǎn)品數(shù)。

產(chǎn)品長度L的期望，即APL就可以表示為:

APL=E(D)+(n+h)E(S)-h

(4)

而EWMA圖的ARL可以采用Markov鏈的方法進(jìn)行求取。將EWMA圖的控制限區(qū)間[UCL,LCL]等分成2m+1個(gè)子區(qū)間，其中，均值附近為一個(gè)小的子區(qū)間，上下控制限分別到均值子區(qū)間之間都等分為m份，這樣每個(gè)子區(qū)間的寬度均為：

(5)

第i個(gè)子區(qū)間的中心位置為

(6)

當(dāng)m足夠大時(shí)，若EWMA統(tǒng)計(jì)量Z落入第i個(gè)子區(qū)間，則可以近似認(rèn)為Zi=Yi。

pjk=P(到狀態(tài)k│在狀態(tài)j)

j,k=-m,-m+1,…,-1,0,1,…,m

(7)

(8)

將式(8)代入式(4)中可得：

(9)

1.2 經(jīng)濟(jì)性評(píng)價(jià)指標(biāo)：成本模型的計(jì)算

在以往的控制圖經(jīng)濟(jì)性優(yōu)化設(shè)計(jì)模型中，通常采用單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的費(fèi)用來衡量一個(gè)質(zhì)量周期內(nèi)的費(fèi)用大小，即一個(gè)質(zhì)量周期內(nèi)的平均費(fèi)用除以一個(gè)質(zhì)量周期的平均時(shí)長。但這種評(píng)價(jià)方法同樣存在不夠精確甚至不能夠很好反映生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)真實(shí)情況的問題，比如當(dāng)控制圖出現(xiàn)報(bào)警，在確認(rèn)該報(bào)警是否為誤報(bào)警、查找異常原因、消除異常原因等階段中，若過程處于停止?fàn)顟B(tài)，則這些停止?fàn)顟B(tài)的時(shí)間越長，一個(gè)質(zhì)量周期的總時(shí)長也越長，單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的費(fèi)用就可能會(huì)減小，這顯然與實(shí)際生產(chǎn)過程中要減少停機(jī)，盡可能保證連續(xù)生產(chǎn)的要求是不相符的。因此，本文提出了更精確的成本模型，單位產(chǎn)品的質(zhì)量費(fèi)用，即一個(gè)質(zhì)量周期內(nèi)的平均費(fèi)用除以一個(gè)質(zhì)量周期內(nèi)生產(chǎn)的總產(chǎn)品數(shù)，進(jìn)行控制圖的經(jīng)濟(jì)性評(píng)價(jià)和設(shè)計(jì)。

(10)

其次，已有的控制圖經(jīng)濟(jì)性優(yōu)化設(shè)計(jì)模型通常假設(shè)受控和失控狀態(tài)下單位時(shí)間內(nèi)不合格產(chǎn)品的質(zhì)量損失分別為固定的常數(shù)，這與生產(chǎn)過程的實(shí)際情況是不相符的，因此可以采用Taguchi二次損失函數(shù)來分別計(jì)算受控和失控狀態(tài)下單位時(shí)間內(nèi)的質(zhì)量損失：

(11)

(12)

其中，γ2可以分別取0或者1，分別代表修復(fù)異常波動(dòng)時(shí)生產(chǎn)過程停止或者繼續(xù)；F表示每次誤報(bào)警的平均費(fèi)用；W為每次查找和消除異常波動(dòng)的平均費(fèi)用；a為一次抽樣的平均固定成本；b為抽取一個(gè)樣品的平均可變成本。

(13)

其中，N表示自然數(shù)集，控制限參數(shù)k的取值限定在0到4之間，EWMA平滑系數(shù)λ限定在0到1之間。

2 算例分析

取B=5000和B=10000兩種情況，分別對(duì)偏移量δ=0.25、0.50和1.00三種不同的偏移程度，對(duì)EWMA控制圖進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，其非劣解解集構(gòu)成的帕累托前沿見圖2所示。

圖2 不同偏移量對(duì)應(yīng)的帕累托前沿

由于APL1表示的是失控時(shí)發(fā)現(xiàn)異常波動(dòng)需要經(jīng)過的產(chǎn)品個(gè)數(shù)，其取值為整數(shù)，因此通過取整和近似解的合并，得到不同的B值和偏移量δ組合下的非劣解各20組，結(jié)果如表1～6所示。

表1 EWMA控制圖經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)優(yōu)化的帕累托解集(B=5000，δ=0.25)

表2 EWMA控制圖經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)優(yōu)化的帕累托解集(B=5000，δ=0.50)

表3 EWMA控制圖經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)優(yōu)化的帕累托解集(B=5000，δ=1.00)

表4 EWMA控制圖經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)優(yōu)化的帕累托解集(B=10000，δ=0.25)

表5 EWMA控制圖經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)優(yōu)化的帕累托解集(B=10000，δ=0.50)

表6 EWMA控制圖經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)優(yōu)化的帕累托解集(B=10000，δ=1.00)

表1～6分別給出了B和δ的不同取值組合下構(gòu)造的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方案的多個(gè)非劣解，從這些解之間的變化可以發(fā)現(xiàn)，樣本容量n的取值與成本C的變化成正比關(guān)系，與APL1的變化成反比關(guān)系；抽樣間隔h正好相反，與成本的變化成反比關(guān)系，與APL1的變化成正比關(guān)系，這表明樣本容量n對(duì)成本的影響比較顯著，n越大，抽樣檢測(cè)成本、誤報(bào)警成本等都會(huì)隨之增大；而抽樣間隔h對(duì)APL1的影響比較明顯，h的增加必然會(huì)導(dǎo)致APL1的增大?？刂凭€參數(shù)k和平滑系數(shù)λ的變化并無顯著規(guī)律，這并不意味著這兩個(gè)參數(shù)對(duì)成本C和APL1的影響不大，而是隨著樣本容量n和抽樣間隔h的變化進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整，以實(shí)現(xiàn)兩個(gè)控制目標(biāo)的優(yōu)化。

3 靈敏度分析

這里對(duì)控制模型中的三個(gè)主要設(shè)定參數(shù)：損失函數(shù)的系數(shù)K、單位時(shí)間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)ρ、過程處于受控狀態(tài)的時(shí)間服從的指數(shù)分布的參數(shù)θ，分別進(jìn)行靈敏度分析。將三個(gè)參數(shù)的設(shè)定值分別在第三節(jié)算例分析中表4(B=10000，δ=0.25)的取值的基礎(chǔ)上增減20%，重新進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，結(jié)果見圖3～5所示。

圖3 參數(shù)K的變化對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)的影響

圖4 參數(shù)ρ的變化對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)的影響

圖3為參數(shù)K的取值分別為1、1.2、0.8時(shí)獲得的多目標(biāo)優(yōu)化非劣解解集構(gòu)成的帕累托前沿。由圖可知，參數(shù)K的變化對(duì)該多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的非劣解影響比較顯著，隨著參數(shù)K的增大，控制圖的質(zhì)量損失成本也將隨之增大，這在圖3中的帕累托前沿的前半部分(APL1<1000)的比較中體現(xiàn)的比較明顯，在APL1的取值相同時(shí)，參數(shù)K越大的優(yōu)化設(shè)計(jì)方案的非劣解的成本C越大；而對(duì)于帕累托前沿的后半部分(APL1>1000)，非劣解逐步趨向于成本降到最低限，這時(shí)候非劣解對(duì)參數(shù)K的變化逐步變得不靈敏，除非參數(shù)K出現(xiàn)成倍的增大或減小。

圖4為參數(shù)ρ的取值分別為300、360、240時(shí)獲得的多目標(biāo)優(yōu)化非劣解解集構(gòu)成的帕累托前沿。由圖可知，參數(shù)ρ的變化對(duì)該多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的影響是不顯著的，參數(shù)ρ的增大或減少并沒有導(dǎo)致多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的非劣解解集的分布曲線發(fā)生明顯的變化，這說明該多目標(biāo)優(yōu)會(huì)設(shè)計(jì)方案對(duì)產(chǎn)品生產(chǎn)的速度快慢是比較穩(wěn)健的，生產(chǎn)過程中出現(xiàn)生產(chǎn)速度的輕微變化將不會(huì)影響優(yōu)化設(shè)計(jì)方案的具體應(yīng)用。

圖5 參數(shù)θ的變化對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)的影響

圖5為參數(shù)θ的取值分別為0.02、0.024、0.016時(shí)獲得的多目標(biāo)優(yōu)化非劣解解集構(gòu)成的帕累托前沿。由圖可知，參數(shù)θ的變化對(duì)該多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的非劣解影響也是較為明顯的，隨著參數(shù)θ的增大，受控狀態(tài)下的平均時(shí)長將縮短，一個(gè)質(zhì)量周期的平均長度也會(huì)縮短，導(dǎo)致單位產(chǎn)品的平均質(zhì)量成本將隨之增大，這在圖5的帕累托前沿的中間部分的比較中體現(xiàn)的較為明顯。

4 比較分析

為了說明本文提出的經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)設(shè)計(jì)方法的先進(jìn)性，可分別與Serel等提出的EWMA圖經(jīng)濟(jì)設(shè)計(jì)方法[13]、王海宇提出的基于APL的EWMA圖統(tǒng)計(jì)設(shè)計(jì)方法[16]進(jìn)行比較，見表7～9所示。

表7 三種EWMA圖的優(yōu)化設(shè)計(jì)方案比較(B=10000，δ=0.50)

表8 三種EWMA圖的優(yōu)化設(shè)計(jì)方案比較(B=10000，δ=1.50)

表9 三種EWMA圖的優(yōu)化設(shè)計(jì)方案比較(B=10000，δ=2.50)

5 結(jié)論

本文提出一種EWMA控制圖的經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，經(jīng)濟(jì)性方面以單位產(chǎn)品平均質(zhì)量費(fèi)用為目標(biāo)函數(shù)，統(tǒng)計(jì)性方面以失控狀態(tài)下的平均產(chǎn)品長度為目標(biāo)函數(shù)，在給定足夠大的受控狀態(tài)下的平均產(chǎn)品長度為約束的前提下，建立經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)多目標(biāo)優(yōu)化模型來尋找更加合理的EWMA控制圖控制參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)解集。在實(shí)際應(yīng)用中，相關(guān)人員可根據(jù)在統(tǒng)計(jì)性和經(jīng)濟(jì)性方面的偏好選擇解集中的任意一個(gè)非劣解對(duì)應(yīng)的參數(shù)設(shè)計(jì)結(jié)果作為EWMA圖監(jiān)控方案。