李蓬實, 楊建輝, 林 焰

(1.東莞理工學院 經(jīng)濟與管理學院,廣東 東莞 523106； 2.華南理工大學 工商管理學院,廣東 廣州 510640； 3.北京大學 匯豐商學院,深圳 100871)

0 引言

傳統(tǒng)的期權(quán)定價模型假設(shè)波動率是常數(shù), 根據(jù)該假設(shè), 不同執(zhí)行價格的同種標的資產(chǎn)的看漲期權(quán)應(yīng)具有相同的波動率。 然而實證研究表明，從金融市場上的看漲期權(quán)價格推算出的波動率在平值期權(quán)(at the money)附近的波動率相對較低, 但隨著期權(quán)的虛值程度(out of the money)或?qū)嵵党潭?in the money)增加波動率也逐漸增大。 這種現(xiàn)象被稱為隱含波動率的“微笑曲線”(smile)現(xiàn)象。 隱含波動率的“微笑曲線”現(xiàn)象說明了在給定到期期限條件下, 隱含波動率與期權(quán)的在值程度或執(zhí)行價格之間的關(guān)系并非固定不變的, 因此傳統(tǒng)的期權(quán)定價模型中波動率為常數(shù)的假設(shè)并不符合現(xiàn)實。 除此之外, 隱含波動率“微笑曲線”還可能是由于標的資產(chǎn)價格的杠桿效應(yīng)(標的資產(chǎn)價格與波動率之間的負相關(guān)關(guān)系)與標的資產(chǎn)價格的跳躍現(xiàn)象引起的, 然而傳統(tǒng)的期權(quán)定價模型并沒有考慮杠桿效應(yīng)與資產(chǎn)價格的跳躍現(xiàn)象的存在。

為了解決傳統(tǒng)期權(quán)模型中存在的問題, 學者們提出了各種方法來修正傳統(tǒng)期權(quán)定價模型的缺陷。 其中兩種主要的模型分別是跳躍擴散模型和隨機波動率模型。 跳躍擴散模型比較適合解決到期期限較短的期權(quán)定價問題, 而隨機波動率模型比較適合到期期限較長的期權(quán)定價問題。 Bakshi等[1]證明了跳躍擴散模型和隨機波動率模型能夠改進期權(quán)定價誤差，同時也發(fā)現(xiàn)在考慮隨機波動率之后引入隨機跳躍只能夠有限地減少期權(quán)定價誤差。 因此, 本文主要研究隨機波動率模型。

大量實證研究表明金融資產(chǎn)具有隨機波動率的特點。 Chernov等[2]發(fā)現(xiàn)金融市場中股票價格的收益率具有明顯的隨機波動率性質(zhì)。 劉志東等[3]研究了上證50股票指數(shù)及其成分股的高頻數(shù)據(jù)后認為, 中國股市中約43%的風險來源于資產(chǎn)收益過程的隨機波動風險。 通過對中國股市的研究，吳鑫育等[4]認為隨機波動率模型能夠更好地增加模型擬合度。 研究證明標的資產(chǎn)的波動率不僅具有隨機的性質(zhì)同時具有均值回歸的特點，同時吳鑫育等[5]運用雙杠桿門限隨機波動率模型對中國股市進行實證研究發(fā)現(xiàn)，股市具有強波動率持續(xù)性以及顯著的杠桿效應(yīng)。 Liu等[6]通過對臺灣金融市場數(shù)據(jù)的研究，發(fā)現(xiàn)外匯和股指市場中都存在均值回歸的性質(zhì)。 在實證研究的支撐下, 一般隨機波動率模型假設(shè)波動率是由一個具有均值回歸性質(zhì)的擴散過程驅(qū)動。 Hull等[7]首先研究了具有隨機波動率的金融資產(chǎn)的歐式期權(quán)定價問題。 Heston[8]假設(shè)隨機方差(stochastic variance)服從CIR過程, 通過特征函數(shù)的方法推導(dǎo)出歐式看漲和看跌期權(quán)的解析解。

Fouque等[9]利用S&P500的數(shù)據(jù)證實了股指中存在的波動率聚集(volatility clustering)和波動率的快速均值(fast mean-reverting)回歸現(xiàn)象, 在此基礎(chǔ)上他們提出了一種基于快速均值回歸的隨機波動率模型, 該模型在衍生品定價方面得到廣泛的應(yīng)用。 Fouque等[10]在隨機波動率是快速均值回歸的擴散過程假設(shè)下, 利用奇異攝動分析方法推導(dǎo)出歐式看漲期權(quán)價格的近似解析解。 Wong等[11]研究了快速均值回歸以及常數(shù)彈性波動率假設(shè)下渦輪期權(quán)(Turbo warrant)的定價問題。 通過引入違約風險中的隨機波動率效應(yīng)。 Fouque等[12]研究了可違約債券(defaultable bond)的定價問題, 并推導(dǎo)出近似解析解。 Yang等[13]在隨機波動率框架下得到脆弱期權(quán)(vulnerable option)的近似解公式, 并研究了隨機波動率對脆弱期權(quán)價格的影響。 Kim等[14]考慮了帶有隨機利率的隨機波動率模型, 并證明了在較短的到期期限內(nèi)新模型的對歐式期權(quán)定價效果要優(yōu)于常數(shù)利率模型。

在上述研究成果的基礎(chǔ)上, 本文研究基于快速均值回歸隨機波動率的雙限期權(quán)(collar option)定價問題。 雙限期權(quán)在到期時間T的收益可以表示為min(max(ST,K1),K2),其中K2>K1>0是期權(quán)的執(zhí)行價格；ST是標的資產(chǎn)在T時刻的價格。 雙限期權(quán)可幫助投資者鎖定從投資的標的資產(chǎn)中賺得的利潤, 還可以作為一種對沖策略使投資者避免標的資產(chǎn)價格劇烈變化所引起的投資風險。 除了可以對沖金融產(chǎn)品的風險, 雙限期權(quán)還可以用于項目中的收益管理。 Yim等[15]提出將雙限期權(quán)用于項目的物料采購, 用雙限期權(quán)控制建筑項目中原材料的價格波動。

本文基于快速均值回歸波動率的假設(shè), 同時考慮了標的資產(chǎn)價格過程和驅(qū)動波動率擴散過程之間的相關(guān)性, 研究雙限期權(quán)的定價問題。 由于考慮了波動率的隨機性質(zhì), 期權(quán)價格難以直接獲得, 因此本文采用Fouque等[10]的方法研究快速均值回歸波動率框架下的期權(quán)定價。 該方法優(yōu)點在于, 首先可以有效地減少隨機波動率模型中的參數(shù)；其次可以通過較為簡便的方法對簡化后的模型參數(shù)進行估計；最后可以得到期權(quán)價格的近似解析解表達式。 本文的主要理論貢獻在于：首先在快速均值回歸隨機波動率框架下研究雙限期權(quán), 由于雙限期權(quán)在資產(chǎn)風險管理中的作用, 研究雙限期權(quán)的定價問題具有一定現(xiàn)實意義; 其次, 對快速均值回歸隨機波動率模型中的參數(shù)進行了估計, 這些參數(shù)可以進一步應(yīng)用到其它期權(quán)的定價研究中。

本文共分為五個部分。 第二部分介紹快速均值回歸隨機波動率模型；第三部分給出了基于快速均值回歸隨機波動率模型的參數(shù)估計公式；第四部分用金融市場數(shù)據(jù)估計了模型參數(shù), 推導(dǎo)了考慮隨機波動率的雙限期權(quán)定價公式, 同時對雙限期權(quán)價格進行了數(shù)值分析; 第五部分對本文進行總結(jié)。

1 模型

記標的資產(chǎn)在t時刻的價格為St,并假設(shè)標的資產(chǎn)滿足以下隨機微分方程

dSt=μStdt+f(Yt)StdWt

(1)

其中μ是標的資產(chǎn)的期望收益率,Wt是標準布朗運動,f(y)是大于零的光滑有界的函數(shù),Yt是一個擴散過程。 與Black-Scholes模型中的常數(shù)波動率的假設(shè)不同, 式中的波動率是隨機波動率。 假設(shè)驅(qū)動隨機波動率的擴散過程是一個快速均值回歸的OU過程,Yt滿足以下隨機微分方程

(2)

記為P*風險中性測度,γt為光滑的有界函數(shù)，表示波動率風險的市場價格。 根據(jù)Girsanov定理, 可得到在風險中性測度下的隨機波動率模型

(3)

V(t,s,y)=E*[e-r(T-t)φ(ST)|St=s,Yt=y]

(4)

根據(jù)Feynman-Kac定理可知, 期權(quán)在t時刻的價格V(t,s,y)滿足以下偏微分方程和終值條件

(5)

V(T,s,y)=φ(s)

(6)

將歐式期權(quán)在t時刻的價格V(t,s,y)以如下形式展開

(7)

利用Fouque等[10]提出的奇異攝動方法, 可以由上述偏微分方程和價格展開式得到關(guān)于歐式期權(quán)價格近似表達式。 由該方法得到的關(guān)于歐式期權(quán)價格的三個主要結(jié)論：

結(jié)論1展開式(7)中的第一項與y無關(guān),且V0(t,s)滿足以下偏微分方程和終值條件

(8)

V0(T,s)=φ(s)

(9)

(10)

其中τ是期權(quán)合約的到期期限,即τ=T-t；C1和C2是待定系數(shù)。

(11)

這種方法的優(yōu)點在于可以有效地減少隨機波動率模型中需要估計的參數(shù)的數(shù)量。 隨機波動率模型涉及到的模型參數(shù)包括波動率擴散過程的均值水平、波動率的方差、波動率的均值回歸速率、模型中兩個隨機過程的相關(guān)系數(shù)以及波動率風險的市場價格。 利用Fouque等[10]的方法，可以將上述五個模型參數(shù)包含到C1和C2兩個系數(shù)中。 而C1和C2這兩個系數(shù)可以通過金融市場中的看漲期權(quán)的隱含波動率的估計值得到。 這兩個參數(shù)的估計方法在第3部分介紹。

2 模型參數(shù)估計

在給定期權(quán)到期時間T和執(zhí)行價格K的條件下，可以從金融市場上觀測到看漲期權(quán)在當前時刻的市場價格。 記該看漲期權(quán)的市場價格為Cmarket(K,T)。 所謂隱含波動率(Implied Volatility)指的是使金融市場觀測到的實際期權(quán)價格與模型計算得到的理論價格相等的波動率數(shù)值。 一般將Black-Scholes期權(quán)定價公式作為計算隱含波動率的理論值的基準模型。 記隱含波動率為IV，根據(jù)隱含波動率的定義以下關(guān)系成立

Cmarket(K,T)=BSC(t,s,IV,K,T)

(12)

=sN(d1)-Ke-r(T-t)N(d2)+

(13)

其中，

=sN(d1)-Ke-r(T-t)N(d2)

(14)

(15)

(16)

BSC(t,s,IV,K,T)

(17)

將式(17)和市場實際價格的近似表達式代入式(12)后, 可知隱含波動率滿足以下關(guān)系式

(18)

期權(quán)的在值程度(moneyness)指的是期權(quán)的實值或虛值程度, 定義為期權(quán)執(zhí)行價格與標的資產(chǎn)價格的比值。 期權(quán)的隱含波動率變化可以通過期權(quán)的在值程度和期權(quán)的到期期限反映出來。 由(18)式能夠進一步推導(dǎo)出隱含波動率IV,期權(quán)的在值程度K/s與期權(quán)的到期期限τ之間的近似線性關(guān)系。

引理1隱含波動率IV,期權(quán)的在值程度K/s與期權(quán)的到期期限τ滿足以下線性關(guān)系。

(19)

(20)

(21)

根據(jù)式(19),可以利用線性回歸方法估計出斜率α和β截距的值, 再利用(20)和(21)推算出C1和C2這兩個參數(shù)。

3 實證分析及應(yīng)用

表1 斜率和截距估計值系數(shù)

得到斜率和截距的估計值后,可以根據(jù)(20)和(21)計算出快速均值回歸隨機波動率模型中的期權(quán)定價參數(shù)C1和C2:

(22)

(23)

(24)

從(24)可知,雙限期權(quán)在到期時刻的價格等價于包含K1單位貨幣，一個多頭頭寸執(zhí)行價格為K1的看漲期權(quán)和一個空頭頭寸執(zhí)行價格為K2的看漲期權(quán)的資產(chǎn)組合。 因此雙限期權(quán)在t時刻的價格為

(25)

其中C(Ki)為執(zhí)行價格為Ki的歐式看漲期權(quán)在t時刻的價格。 眾所周知，C(Ki)的表達式為

(26)

(27)

由于(25)是兩個歐式看漲期權(quán)的線性組合,易知(25)應(yīng)滿足偏微分方程(8)。因此根據(jù)第2部分結(jié)論1可知,式(25)式快速均值回歸隨機波動率框架下,歐式雙限期權(quán)近似解析解的第一項。在得到近似解析解的第一項之后，可以根據(jù)第2部分結(jié)論2得到近似解析解的第二項表達式

(28)

在快速均值回歸隨機波動率假設(shè)下，雙限期權(quán)的價格Pt可以通過(25)和(28)式近似表示，即

(29)

下面通過控制變量的方法進一步分析變量和參數(shù)對模型的影響。 取當期標的資產(chǎn)的價格的變動范圍為[200,300],其它參數(shù)保持不變。根據(jù)式(25)和(29)可以分別得到常數(shù)波動率雙限期權(quán)價格、隨機波動率雙限期權(quán)價格與標的資產(chǎn)價格之間的關(guān)系,如圖1所示。根據(jù)式(28)可以得到雙限期權(quán)近似表達式的修正項與標的資產(chǎn)之間的關(guān)系,如圖2所示。

由圖1可以看出,在考慮了隨機波動率之后,雙限期權(quán)的價格比常數(shù)波動率模型的價格較低。尤其在標的資產(chǎn)價格超過雙期權(quán)合約兩個執(zhí)行價格的均值之后,兩種不同模型給出的價格差異會更加明顯。這個結(jié)果說明了,若只通過歷史波動率和Black-Scholes常數(shù)波動率模型定價,很可能會高估了雙限期權(quán)的價格,從而造成交易損失。由圖2可知,在標的資產(chǎn)變化范圍內(nèi)，雙限期權(quán)近似價格的修正項取值為負數(shù),并且有隨著標的資產(chǎn)價格增加而減少的趨勢。因此考慮了快速回歸隨機波動率的雙限期權(quán)價格小于常數(shù)波動率模型的價格主要是因為定價公式中的修正項的影響,反映了隨機波動率對期權(quán)價格的影響程度。

圖1 期權(quán)價格比較

圖2 雙限期權(quán)修正項

圖3 執(zhí)行價格對期權(quán)價格的影響

取當期標的資產(chǎn)的價格的變動范圍為[100,300],期權(quán)執(zhí)行價格K2的變動范圍為[200,300],其它參數(shù)保持不變。根據(jù)式(29)可以得到具有不同執(zhí)行價格的隨機波動率雙限期權(quán)價格與標的資產(chǎn)價格之間的關(guān)系,如圖3所示。從圖3可知,隨著執(zhí)行價格K2的增大,隨機波動率雙限期權(quán)的價格也較高。這個結(jié)論與常數(shù)波動率模型的定價是一致的,因此在隨機波動率模型中,執(zhí)行價格的變化并不會對雙限期權(quán)的定價產(chǎn)生影響。

在上述的實證分析和應(yīng)用中,我們首先利用金融市場上流動性較大的看漲期權(quán)的隱含波動率曲線估計出均值回歸隨機波動率模型中的兩個參數(shù),進而應(yīng)用到雙限期權(quán)的定價中。該方法與其它模型相比,具有兩個較為明顯的特點。首先減少了隨機波動率模型(3)中需要估計的參數(shù)的個數(shù),提高了效率;其次,可以先從流動性較大的期權(quán)(如歐式看漲期權(quán))中估計出求解偏微分方程的參數(shù),再應(yīng)用到其它流動性較小的期權(quán)(雙限期權(quán))定價中,解決了某些奇異期權(quán)由于交易數(shù)據(jù)稀缺無法進行有效參數(shù)估計的問題。

4 結(jié)論

本文基于快速均值回歸隨機波動率模型,研究了雙限期權(quán)的定價問題。雙限期權(quán)可以對沖投資者由于標的資產(chǎn)價格波動造成的投資風險,因此研究雙限期權(quán)定價問題對于金融市場中的現(xiàn)貨和期權(quán)交易,以及金融市場的風險管理和控制具有一定的理論和現(xiàn)實意義。由于傳統(tǒng)的期權(quán)定價模型中關(guān)于常數(shù)波動率的假設(shè)無法解釋隱含波動率的“微笑曲線”現(xiàn)象,而快速均值回歸隨機波動率模型不但能夠較好地解釋隱含波動率的“微笑曲線”現(xiàn)象,還能夠較好地解釋標的資產(chǎn)收益的“尖峰厚尾”分布和波動率的“聚集”效應(yīng),因此在快速均值回歸隨機波動率模型框架下研究雙限期權(quán)定價比較切合實際。本文通過市場隱含波動率的數(shù)據(jù),估計了快速均值回歸隨機波動率模型中的兩個參數(shù),并應(yīng)用到雙限期權(quán)的定價計算中。在得到考慮了隨機波動率的雙限期權(quán)定價公式之后,對期權(quán)價格與標的資產(chǎn)價格之間的關(guān)系做了數(shù)值分析?；诳焖倬祷貧w隨機波動率模型的期權(quán)定價方法可以進一步應(yīng)用到其它的衍生品定價和資產(chǎn)組合管理中,這也是下一步研究的重要方向。