陳玲玲， 楊 旭， 劉 洋， 王炳雷

(山東大學(xué) 土建與水利學(xué)院工程力學(xué)系，濟(jì)南 250061)

1 引 言

壓電效應(yīng)是最常見的力電耦合效應(yīng),是應(yīng)變?chǔ)藕碗姌O化P之間的線性耦合[1]。雖然在生活中有著廣泛的應(yīng)用,但壓電效應(yīng)不是普遍存在的。因?yàn)樗淮嬖谟诜侵行膶?duì)稱介電材料中,并且其激發(fā)還受限于居里溫度Tc。

不同于壓電效應(yīng),撓曲電效應(yīng)是一種普遍存在的力電耦合效應(yīng),是應(yīng)變梯度?ε/?x與電極化P之間的線性耦合。理論上,撓曲電效應(yīng)存在于所有的電介質(zhì)材料中,如液晶、聚合物和脂質(zhì)雙層膜等[2-4]。它在能量收集、傳感和驅(qū)動(dòng)、高級(jí)顯微鏡、人工肌肉和微創(chuàng)手術(shù)方面有廣泛的應(yīng)用前景[5,6]。撓曲電效應(yīng)的激發(fā)沒有溫度限制,并且其在納米尺度下會(huì)變得更加顯著(即存在尺寸依賴性),這是因?yàn)殡S著結(jié)構(gòu)尺寸的減小,應(yīng)變梯度會(huì)相應(yīng)地增大。

近些年,撓曲電效應(yīng)引起了人們的廣泛關(guān)注,主要原因有兩個(gè)。(1) 鐵電陶瓷的撓曲電效應(yīng)試驗(yàn)表明,一些高介電常數(shù)的材料可以獲得比預(yù)期更強(qiáng)的撓曲電特性[7]；(2) 隨著先進(jìn)的納米技術(shù)和小型化趨勢(shì)的發(fā)展,納米結(jié)構(gòu)材料得到了廣泛的開發(fā)。撓曲電效應(yīng)最重要的應(yīng)用之一就是利用其尺寸依賴性而制成的俘能器[8]。同時(shí),撓曲電效應(yīng)還可以顯著提高納米梁的壓電性,這為其在微納機(jī)電系統(tǒng)中的應(yīng)用提供了新的途徑。

Kogan[9]為了在理論上解釋電介質(zhì)中的撓曲電效應(yīng),首次提出了撓曲電理論,并估計(jì)了撓曲電系數(shù)的取值范圍。申勝平等[10]從電焓學(xué)的角度出發(fā),同時(shí)考慮了撓曲電效應(yīng)、表面效應(yīng)和靜電效應(yīng),嚴(yán)格推導(dǎo)出了納米電介質(zhì)的控制方程。周亞榮等[11]給出了考慮撓曲電效應(yīng)的納米歐拉梁的理論框架。王炳雷等[12]研究了考慮撓曲電效應(yīng)的揉皺電介質(zhì)薄膜的能量俘獲機(jī)制。

應(yīng)變梯度是引起撓曲電效應(yīng)的直接原因,為了準(zhǔn)確地描述微構(gòu)件中的撓曲電效應(yīng),必然要引入應(yīng)變梯度理論。應(yīng)變梯度理論的發(fā)展已有半個(gè)多世紀(jì),應(yīng)變梯度理論最先由Mindlin[13]提出,除了 2個(gè) Lamé常數(shù)之外,對(duì)于各向同性材料還需要額外的16個(gè)獨(dú)立的材料尺度參數(shù)。Mindlin等[14]對(duì)其之前的理論進(jìn)行了簡(jiǎn)化,使材料尺度參數(shù)從 16個(gè) 減少到了5個(gè)，但仍很難通過實(shí)驗(yàn)確定。周慎杰等[15]提出了全應(yīng)變梯度彈性理論,通過對(duì)兩組應(yīng)變梯度張量進(jìn)行正交分解,嚴(yán)格證明了只有3個(gè)材料尺度參數(shù)是獨(dú)立的。這3個(gè)材料尺度參數(shù)l0,l1和l2分別與膨脹梯度張量、拉伸梯度張量和轉(zhuǎn)動(dòng)梯度張量相關(guān)。

另一方面,在撓曲電理論模型中必須考慮電極化P和應(yīng)變梯度u之間的耦合,然而對(duì)于總能量來說,應(yīng)變梯度彈性項(xiàng)(U～u·gu/2)也是至關(guān)重要的一項(xiàng)。但有些研究并未考慮這一項(xiàng)的影響。鄧謙[16]的研究表明,以往的研究低估了應(yīng)變梯度彈性項(xiàng)的影響。納米尺度下,其影響是不可忽視的。撓曲電的尺寸效應(yīng)只表明了隨著結(jié)構(gòu)的特征尺寸減小,其撓曲電響應(yīng)會(huì)增強(qiáng),卻沒有給出在什么條件下這種增強(qiáng)現(xiàn)象會(huì)減弱,而應(yīng)變梯度彈性項(xiàng)可以抑制這種現(xiàn)象。因此,為了考慮應(yīng)變梯度彈性項(xiàng)的影響,本文采用全應(yīng)變梯度彈性理論[15]。

然而,撓曲電問題中的高階偏微分方程常給理論求解帶來困難。為此,人們開始尋求有效的數(shù)值方法。其中，有限單元法一直是解決邊值問題的有效方法。王凱等[17]建立了考慮應(yīng)變梯度理論的二維及三維問題的自然鄰近混合伽遼金法。鄧峰等[18]提出了四種二維混合有限單元來研究撓曲電效應(yīng),隨后又創(chuàng)建了三維混合有限單元法,用來模擬撓曲電球殼和截棱錐的力電耦合行為[19]。與理論研究和實(shí)驗(yàn)分析相比,有關(guān)撓曲電效應(yīng)的數(shù)值研究相對(duì)較少,并且撓曲電效應(yīng)的有限單元法也需要高階的有限單元來滿足其連續(xù)性。

因此,為了求解納米歐拉梁的撓曲電問題,本文提出了一種基于全應(yīng)變梯度彈性理論的包含3個(gè)獨(dú)立材料尺度參數(shù)的有限單元法,并通過一個(gè)簡(jiǎn)單的歐拉簡(jiǎn)支梁算例,來研究撓曲電效應(yīng)和應(yīng)變梯度彈性項(xiàng)在撓曲電問題中的影響。

2 基本理論

根據(jù)全應(yīng)變梯度彈性理論,在本構(gòu)關(guān)系中,除了2個(gè)經(jīng)典的拉梅常數(shù)外,還引入了3個(gè)獨(dú)立的材料尺度參數(shù)[15]。因此,考慮撓曲電效應(yīng)的線彈性材料的內(nèi)能密度函數(shù)可以表示為

(1)

在傳統(tǒng)的電焓密度中引入撓曲電理論,則得到新的電焓密度H的表達(dá)式為[20]

(2)

式中e0=8.85×10- 12F/m為真空介電常數(shù),Φ為電勢(shì),z為梁的厚度方向。

在整個(gè)電介質(zhì)結(jié)構(gòu)中,考慮撓曲電效應(yīng)的哈密頓變分原理為

(3)

式中δW為外力功的變分。

3 納米歐拉梁的理論模型

考慮一個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)、厚度為h、寬度為b的壓電納米簡(jiǎn)支梁中的力電耦合響應(yīng),如圖1所示。以梁未變形前的中心軸為x軸,建立笛卡爾坐標(biāo)系,z軸沿著梁的厚度方向。在梁的上下表面(z=±h/2)施加一個(gè)外加電壓ΔV,在梁的中點(diǎn)處(x=L/2)施加一個(gè)集中力F。當(dāng)施加電壓ΔV時(shí),簡(jiǎn)支梁會(huì)在z方向產(chǎn)生機(jī)械變形；當(dāng)施加集中力F時(shí),簡(jiǎn)支梁會(huì)在z方向產(chǎn)生電極化。在下面的推導(dǎo)中,坐標(biāo)(x,y,z)由(1,2,3)表示。

設(shè)彎曲梁的z向位移為w(x),則歐拉梁中任意一點(diǎn)的位移可以表示為

u1(x,z)=-z(?w(x)/?x)u2(x,z)=0u3(x,z)=w(x)

(4)

圖1 簡(jiǎn)支梁力電耦合響應(yīng)

the simply supported beam

從圖1可以看出,簡(jiǎn)支梁的模型和載荷關(guān)于x=L/2對(duì)稱,故可取梁的一半(0

(5)

(6)

式中I和A分別為梁的極慣性矩和橫截面積。

考慮到電極化和電勢(shì)只存在于z方向,并結(jié)合式(5)的后兩個(gè)式子以及式(6)的最后一個(gè)邊界條件,可得電極化和電勢(shì)的表達(dá)式為

(7)

(8)

將式(7)代入式(5)的第一個(gè)式子,可得壓電納米簡(jiǎn)支梁的撓度控制方程以及在x=0和x=L/2處的邊界條件

(9)

(10)

(11)

由撓度控制方程及邊界條件求解得到撓度的表達(dá)式為

w=C1+C2x+C3x2+C4x3+C5eS0x+C6e-S0x

(12)

式中

(13)

令控制方程(9)和邊界條件(10)有關(guān)電學(xué)的項(xiàng)為0,即令f1133=f1113=0,d311=0,ΔV=0,再令λ1=2,λ3=2,λ5=1,便可以得到基于Lam等[22]的應(yīng)變梯度理論的簡(jiǎn)支梁撓度表達(dá)式

(14)

4 納米歐拉梁的有限元模型

基于有限單元法理論,建立納米歐拉梁的有限元模型以研究納米梁的力電耦合特性。首先根據(jù)有限元理論,將簡(jiǎn)支梁的控制方程(9)變換為弱形式方程

(15)

式中M*=-[f1133ΔV/(a33h)]A相當(dāng)于作用在梁兩端的等效彎矩。

由式(15)可以看出,弱形式方程包含w的三階導(dǎo)數(shù),因此,本文將歐拉納米梁離散成兩節(jié)點(diǎn)六自由度,滿足C2弱連續(xù)的新歐拉梁?jiǎn)卧?該單元包含三個(gè)獨(dú)立的材料尺度參數(shù),可以表征尺寸效應(yīng)。

歐拉納米梁的撓度w可以由一組含有待定參數(shù)的試函數(shù)表示為

w=Na

(16)

N1=1-10(x/L)3+15(x/L)4-6(x/L)5

N2=[x/L-6(x/L)3+8(x/L)4-3(x/L)5]L

N4=10(x/L)3-15(x/L)4+6(x/L)5

N5=[-4(x/L)3+7(x/L)4-3(x/L)5]L

(17)

將撓度試函數(shù)(16)代入弱形式方程(15),就可以得到新的納米歐拉梁?jiǎn)卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃嘖e,

(18)

式中l(wèi)e為每個(gè)單元的長(zhǎng)度。

集合單元?jiǎng)偠染仃嘖e形成結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣K,最終得到有限元的求解方程

Kw=F

(19)

式中K，F(xiàn)和w分別為整體剛度矩陣、整體載荷向量和整體位移向量。

由式(18)可知,不同于傳統(tǒng)的歐拉梁?jiǎn)卧?新的歐拉梁?jiǎn)卧?個(gè)獨(dú)立的材料尺度參數(shù),因此它可以表征尺寸效應(yīng)。并且,傳統(tǒng)的歐拉梁?jiǎn)卧粷M足C0連續(xù),而新的歐拉梁?jiǎn)卧梢詽M足C1連續(xù)和C2弱連續(xù)。

5 算例分析

5.1 參數(shù)設(shè)置

以納米歐拉簡(jiǎn)支梁為例,分析和討論其撓曲電響應(yīng)。所選材料為BaTiO3。梁的幾何形狀設(shè)定為L(zhǎng)=20h和b=3h。懸臂梁自由端的集中力為F=3 nN,梁上下表面的外加電壓為ΔV=-0.2 V。3個(gè)獨(dú)立的材料尺度參數(shù)設(shè)定為l0=l1=l2=10 nm。其他詳細(xì)參數(shù)設(shè)置列入表1。

5.2 收斂性分析

無量綱化的撓度、轉(zhuǎn)角和彎矩表示如下

(20)

為確保本文研究方法的收斂性,下面利用新的歐拉梁?jiǎn)卧M(jìn)行有限元計(jì)算。在x=L/3處的無量綱化的撓度、轉(zhuǎn)角和彎矩的理論計(jì)算結(jié)果分別為3.279707,5.226900和-29.795157,表2給出了相應(yīng)的有限元計(jì)算結(jié)果?？梢钥闯?本文計(jì)算方法收斂且收斂速度非常快。再對(duì)比理論計(jì)算結(jié)果和有限元計(jì)算結(jié)果可以看出,有限元計(jì)算結(jié)果最大誤差為0.09%,說明本有限單元法的計(jì)算精度足夠高。由表2可知,30個(gè)單元已經(jīng)足以滿足本文的精度要求,因此,在本文將采用30個(gè)單元進(jìn)行計(jì)算以及結(jié)果分析。

5.3 方法驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文有限單元法的精確度,圖2給出兩種模型的理論與數(shù)值結(jié)果對(duì)比。一種是基于Lam等的應(yīng)變梯度理論的簡(jiǎn)支梁模型,式(14)給出了其理論結(jié)果。一種是基于全應(yīng)變梯度理論的簡(jiǎn)支梁模型,即為不考慮電學(xué)相關(guān)項(xiàng)(f1133=f1113=0,d311=0,ΔV=0)的本文研究模型。從圖2可以看出,數(shù)值結(jié)果與理論結(jié)果相擬合,本文有限單元法具有很高的精度。對(duì)比兩種模型的數(shù)值發(fā)現(xiàn),以往的應(yīng)變梯度理論模型可能低估了梁的等效剛度。

表1 梁的材料參數(shù)和幾何尺寸

表2 x =L /3處的無量綱化撓度和轉(zhuǎn)角

5.4 結(jié)果討論

為了方便討論,在接下來的結(jié)果分析中將給出4種模型。(1) SF模型，同時(shí)考慮撓曲電效應(yīng)和應(yīng)變梯度彈性項(xiàng),此為當(dāng)前的研究模型;(2) FL模型，只考慮撓曲電效應(yīng);(3) SG模型，只考慮應(yīng)變梯度彈性項(xiàng)。(4)NF模型：既不考慮撓曲電效應(yīng),也不考慮應(yīng)變梯度彈性項(xiàng)。

圖3為四種模型的撓度曲線。首先對(duì)比FL，SG和NF模型的撓度值,可以看出撓曲電效應(yīng)可以明顯地增大梁的撓度,即考慮撓曲電效應(yīng)后梁的等效彎曲剛度減小,而考慮應(yīng)變梯度彈性項(xiàng)后,梁的撓度減小,即梁的等效剛度增加。在當(dāng)前結(jié)構(gòu)尺寸設(shè)定下,撓曲電效應(yīng)和應(yīng)變梯度彈性項(xiàng)對(duì)梁的變形的影響是相反的。這一點(diǎn)可以從梁的等效彎曲剛度k2看出,撓曲電效應(yīng)會(huì)減小梁的等效彎曲剛度,而應(yīng)變梯度彈性項(xiàng)則會(huì)增大梁的等效彎曲剛度。同時(shí),因?yàn)閾锨娦?yīng),外加電壓相當(dāng)于在梁的兩端施加了等效彎矩M*,這相當(dāng)于增加了外加載荷,從而使梁的撓度增大。再來看SF模型,相比撓曲電效應(yīng)和應(yīng)變梯度彈性項(xiàng)皆不考慮的NF模型,SF模型梁的撓度有所增大,但撓度值還是小于FL模型,這說明應(yīng)變梯度彈性項(xiàng)對(duì)撓曲電效應(yīng)存在一定的抑制效果,但在當(dāng)前模型尺寸下?lián)锨娦?yīng)還是起主導(dǎo)作用的。最后,圖3的數(shù)值結(jié)果與理論結(jié)果擬合良好,再次驗(yàn)證了本文有限單元法的有效性。

圖2 兩種模型的理論與數(shù)值結(jié)果對(duì)比

圖3 四種模型的簡(jiǎn)支梁的撓度

令簡(jiǎn)支梁的材料參數(shù)不變,幾何尺寸和外加集中力F進(jìn)行等比例縮放,計(jì)算可得四種模型歸一化的最大撓度,如圖4所示。wN F為NF模型下梁的最大撓度?？梢钥闯?SF模型歸一化的最大撓度值隨著結(jié)構(gòu)尺寸的減小先增大后減小,存在極值點(diǎn)。而FL模型和SG模型歸一化的最大撓度值則分別隨著結(jié)構(gòu)尺寸的減小單調(diào)遞增和單調(diào)遞減。對(duì)于傳統(tǒng)的NF模型,隨著尺寸的減小,其歸一化的最大撓度值不變。從圖4可以看出與圖3一致的結(jié)論,即考慮撓曲電效應(yīng)之后,梁的撓度會(huì)增大,而考慮應(yīng)變梯度彈性項(xiàng)后,梁的撓度會(huì)減小。同時(shí)圖4還可以看出，撓曲電效應(yīng)和應(yīng)變梯度效應(yīng)都存在尺寸效應(yīng),結(jié)構(gòu)尺寸越小,其作用越明顯。而對(duì)于SF和FL模型,當(dāng)結(jié)構(gòu)尺寸比較大時(shí),SF模型的歸一化的最大撓度值是趨向于FL模型的,說明此時(shí)撓曲電效應(yīng)起主導(dǎo)作用,應(yīng)變梯度彈性項(xiàng)的作用不明顯。隨著幾何尺寸減小,FL模型的撓度值會(huì)迅速增大,而SF模型會(huì)出現(xiàn)拐點(diǎn),說明此時(shí)應(yīng)變梯度彈性項(xiàng)對(duì)撓曲電效應(yīng)的抑制作用增強(qiáng)。當(dāng)幾何尺寸與材料尺度參數(shù)相當(dāng)時(shí),兩者的作用幾乎相互抵消,所以此時(shí)SF模型梁的最大撓度趨近NF模型。

圖4 四種模型簡(jiǎn)支梁的最大歸一化撓度

圖3～圖5為納米簡(jiǎn)支梁的力學(xué)響應(yīng),接下來將討論其電學(xué)響應(yīng)。圖6為外加電壓為0,僅有外加集中力作用下時(shí),SF模型在x=L/3處沿厚度方向的電勢(shì)。由電勢(shì)的表達(dá)式(8)可知,沿梁厚度方向的電勢(shì)為二次函數(shù),外加電壓為0時(shí),梁的上下表面的電勢(shì)為0,與圖6曲線一致。如圖6所示,隨著撓曲電系數(shù)的增大,梁中產(chǎn)生的電勢(shì)也會(huì)隨之增大。f1133=5 V時(shí)的電勢(shì)相較于f1133=0時(shí)增大了2.6%,f1133=15 V時(shí)的電勢(shì)相較于f1133=10 V時(shí)增大了17.4%,這說明撓曲電系數(shù)越大,電勢(shì)增長(zhǎng)越快。因此在撓曲電效應(yīng)的應(yīng)用中,應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇撓曲電系數(shù)大的材料,以保證獲得更高的能量轉(zhuǎn)化效率。

最后,圖7給出了在只施加集中力時(shí),SF，F(xiàn)L和NF三種模型在不同撓曲電系數(shù)情況下的歸一化的能量效率deff/dB。能量效率定義為施加在梁上的每單位力載荷產(chǎn)生的電荷量,表示為deff=Q/F,其中Q=?P(x)dxdy為產(chǎn)生的電荷量,F為外加的集中力。dB=1.05×10-12為NF模型的能量效率。如圖7所示,隨著梁幾何尺寸的減小,FL模型的能量效率持續(xù)增高,這驗(yàn)證了撓曲電效應(yīng)存在尺寸依賴性,而SF模型的能量效率則是先增大后減小,也存在與圖4和圖5中相似的極值點(diǎn),這再次說明應(yīng)變梯度彈性項(xiàng)對(duì)撓曲電效應(yīng)具有抑制作用,并且尺寸越小,其抑制作用越明顯。因此,在納米尺度的研究中,應(yīng)變梯度彈性項(xiàng)的影響非常顯著,不可忽略。當(dāng)梁的尺寸足夠大時(shí),SF和FL模型的能量效率趨于相同。此外,對(duì)比不同撓曲電系數(shù)的能量效率曲線可以發(fā)現(xiàn),更大的撓曲電系數(shù)有助于獲得更高的能量效率,與圖6的結(jié)論一致。

圖5 不同電壓下SF模型的最大撓度

圖6 x =L /3處不同撓曲電系數(shù)的電勢(shì)

圖7 不同模型的能量效率

6 結(jié) 論

本文基于全應(yīng)變梯度彈性理論,利用能量法推得了考慮高階項(xiàng)的納米歐拉梁的控制方程和邊界條件。并且在傳統(tǒng)歐拉梁?jiǎn)卧幕A(chǔ)上,創(chuàng)建了一種新的滿足C2弱連續(xù)的歐拉納米梁?jiǎn)卧?。這種新的梁?jiǎn)卧齻€(gè)獨(dú)立的材料尺度參數(shù),有2個(gè)節(jié)點(diǎn),6個(gè)自由度。而后,從新的歐拉梁控制方程出發(fā),根據(jù)有限元理論推得弱形式方程,繼而推得梁的剛度方程。最后,用有限單元法求解本文算例簡(jiǎn)支梁的力電響應(yīng)。通過分析撓度、電勢(shì)和能量效率,得出如下結(jié)論。(1) 撓曲電效應(yīng)和應(yīng)變梯度彈性都存在尺寸依賴性,尤其是當(dāng)結(jié)構(gòu)的特征尺寸接近材料尺度參數(shù)時(shí),二者的作用效果都將變得非常顯著。(2) 外加電壓相當(dāng)于在梁的兩端施加等效彎矩,電壓的正負(fù)決定等效彎矩的方向。(3) 應(yīng)變梯度彈性項(xiàng)對(duì)撓曲電效應(yīng)以及能量的轉(zhuǎn)化存在一定的抑制作用,因此在撓曲電問題中,其影響不可忽略。