韓啟國

在研究和解答某些初中數(shù)學(xué)問題時，有些問題無法用一種形式解決，也有些問題的結(jié)論不唯一.因此，我們需要把所要研究的問題根據(jù)題目的特點和要求，選定一個標準，將其劃分成幾個能用不同形式解決的小問題，然后再將這些小問題一一解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的答案.這就是我們常說的分類討論法，而運用這種方法的思想就是分類討論思想.

分類討論，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種邏輯方法，又是一種重要的解題策略.分類討論思想具有較高的邏輯性和很強的綜合性，對提高學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性、科學(xué)性有很大幫助.所以其在數(shù)學(xué)解題中占有重要的位置.下面列舉兩例，供大家參考.

例1 已知（a+b+1）（a+b-1）=24，且（a-b+1）（a-b-1）=0.求a、b的值.

解：∵（a+b+1）（a+b-1）=24，

∴（a+b）2-12=24.

∴（a+b）2=25.

∴a+b=±5.

∵（a-b+1）（a-b-1）=0，

∴（a-b）2-12=0.

∴（a-b）2=1.

∴a-b=±1.

由a+b=±5與a-b=±1可知，需分以下四種情況.

（1）a+b=5，a-b=1，解得a=3，b=2.

（2）a+b=5，a-b=-1，解得a=2，b=3.

（3）a+b=-5，a-b=1，解得a=-2，b=-3.

（4）a+b=-5，a-b=-1，解得a=-3，b=-2.

所以a=3，b=2;a=2，b=3;a=-2，b=-3;a=-3，b=-2.

說明：本題利用平方差公式計算后，要進行分類討論.分類討論時要考慮全面，切勿漏掉答案.

例2 如圖1，在平面直角坐標系內(nèi)，已知點A（2，1），O為坐標原點.點P在坐標軸上，且△AOP為等腰三角形.求點P的坐標.

圖1

分析：點P在坐標軸上，坐標軸有x軸與y軸.△AOP為等腰三角形，可有AO=AP、OA=OP、PO=PA三種情況.解題時考慮要縝密，逐一分類解答，不可遺漏.

解：因為點A的坐標為（2，1），所以O(shè)A=5.

（1）當點P在x軸上時，

①當AO=AP時，點P的坐標為（4，0）.

②當OA=OP時，點P的坐標為（5，0）或（-5，0）.

③當PO=PA時，點P的坐標為（54，0）.

（1）當點P在y軸上時，

①當AO=AP時，點P的坐標為（0，2）.

②當OA=OP時，點P的坐標為（0，5）或（0，-5）.

③當PO=PA時，點P的坐標為（0，52）.

所以點P的坐標有8種情況，分別為（4，0），（5，0），（-5，0），（54，0），（0，2），（0，5），（0，-5），（0，52）.

在本文的例題中，分類討論的特征比較明顯.這也告訴我們，在解決初中數(shù)學(xué)問題時，通過正確的分類，可以使復(fù)雜的問題得到清晰、嚴密、完整的解答.不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，還有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性和縝密性.