牛清勇 曾國偉 鄭華升

(武漢科技大學(xué)理學(xué)院，武漢430065)

問題高聳結(jié)構(gòu)斷裂后的傾倒問題可以簡化為圖1(a) 所示的力學(xué)模型。已知結(jié)構(gòu)斷裂后分成了相互鉸接的兩部分，上部結(jié)構(gòu)在重力的傾覆力矩作用下無初速傾倒，下部結(jié)構(gòu)與地面固結(jié)始終保持靜止。若上部結(jié)構(gòu)傾倒后的位置用其軸線與鉛直方向的夾角φ來表征，且上下兩段均視作均質(zhì)細(xì)長桿。試分析上部結(jié)構(gòu)倒落至某一位置所需的時間和基礎(chǔ)的動約束力。

圖1 高聳結(jié)構(gòu)傾倒分析模型

解答針對目前理論力學(xué)教材[1-3]在動力學(xué)部分中還缺少有關(guān)細(xì)長桿傾倒時間分析的現(xiàn)狀，本文試著做一些探討。高聳結(jié)構(gòu)如水塔、煙囪、橋梁的橋墩或主塔等，在拆除過程中常會遇到中部斷裂后的傾倒問題，可將上述過程簡化為圖1(b) 所示力學(xué)模型來分析，其實質(zhì)上是個特殊的一級倒立擺。上下兩段結(jié)構(gòu)的長度、質(zhì)心位置、上部結(jié)構(gòu)傾倒后的運動分析以及下部結(jié)構(gòu)固定端處的受力分析已在圖1(b)中給出。設(shè)上部結(jié)構(gòu)繞斷口的轉(zhuǎn)動慣量用JO表示，當(dāng)其從豎直位置(初始傾倒角φ0= 0?) 無初速傾倒至任一位置φ時，根據(jù)動能定理有

利用二倍角公式，式(1) 可以表示為

考慮到角速度為正，整理式(2) 有

由式(3) 可得到關(guān)于傾倒時間t的微分表達(dá)式

將式(4) 從φ0到φ積分，當(dāng)0< φ0< φ≥90?可以得到

注意到∫csc(x)dx= ln(|tan(x/2)|)+ C (此處C 為積分常數(shù))，則可以得到傾倒時間的顯式表示

上部結(jié)構(gòu)由豎直狀態(tài)傾倒至任一位置φ時的角速度ω可由式(1) 推出

將式(2)兩邊同時對時間求導(dǎo)并消去角速度項，可得到角加速度為

上部結(jié)構(gòu)質(zhì)心C的加速度可表示為

將式(8) 的切向和法向角加速度分別向x和y軸分解并合成后，得到直角坐標(biāo)形式的加速度

對系統(tǒng)整體利用動量定理并對斷口截面Oz軸應(yīng)用動量矩定理，可以解出基礎(chǔ)的約束力結(jié)果

利用式(6) 和式(10) 可以對高聳結(jié)構(gòu)斷后的傾倒時間和基礎(chǔ)的動約束力進(jìn)行分析。

(1)固定傾倒末位置φ為某一定值，同時變化初始傾倒位置φ0，可得到結(jié)構(gòu)從不同初始位置φ0傾倒至當(dāng)前位置φ所需要的時間。如令φ=90?(即倒至水平位置) 并且將式(6) 無量綱化，則無量綱傾倒時間隨初始傾倒角φ0的變化規(guī)律如圖2 所示。

由圖2 可以看出，傾倒至水平位置φ= 90?所需的時間依賴于傾倒的初始位置φ0。初始傾倒角φ0越小，則倒至水平位置所需的時間越長。當(dāng)φ0趨于0?時，傾倒所需的時間也趨于無窮大。這是因為φ0= 0?位置為上部結(jié)構(gòu)的鉛直平衡位置，除非受到干擾平衡被打破，否則上部結(jié)構(gòu)將一直保持平衡不會傾倒。由于結(jié)構(gòu)斷口余留截面形心和上部結(jié)構(gòu)質(zhì)心連線與鉛垂方向的夾角通常不等于0?，因而存在傾覆力矩，所以斷裂后的傾倒時間常為一有限值。

圖2 倒至水平位置所需時間與初始傾角的關(guān)系

(2) 假設(shè)斷后的上部結(jié)構(gòu)從鉛直位置開始倒落，根據(jù)式(10a)～(10c)，繪制出無量綱形式的動約束力隨傾倒角度的變化曲線，如圖3 所示。需要指出的是，豎直約束力分量中扣除了結(jié)構(gòu)自重的影響，為附加形式的動約束力。水平動約束力和動約束力偶的變化規(guī)律完全相同，數(shù)值上僅相差下部結(jié)構(gòu)的高度h1。由式(10a) 和式(10c) 可知，在φ= arccos(2/3)(即48.2?) 前后，水平動約束力和約束力偶的方向會發(fā)生反轉(zhuǎn)，并且此后它們的大小隨傾倒角度的增加而增大。豎直附加動約束力的大小隨傾倒角度的變化呈現(xiàn)下凹形狀，由式(10b)可知在φ=arccos(1/3)(即70.5?)處，基礎(chǔ)的豎直附加動約束力取到極小值。

圖3 傾倒過程基礎(chǔ)中的附加動約束力