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2020-5 如圖1 所示，底面半徑為r的小圓錐相對(duì)于底面半徑為R的大圓錐作純滾動(dòng)。已知小圓錐底面圓心相對(duì)大圓錐速度為v，兩者頂點(diǎn)重合，且頂角均為直角。大圓錐在慣性系中以角速度ω繞其本體坐標(biāo)系的OX軸運(yùn)動(dòng)(角速度方向與X軸正方向一致)。求當(dāng)小圓錐本體坐標(biāo)系原點(diǎn)o位于Y OZ平面內(nèi)時(shí)，小圓錐的角速度、角加速度和小圓錐上最高點(diǎn)B的加速度。(供稿：寶音賀西，清華大學(xué)航天航空學(xué)院)

圖1

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*《小問(wèn)題》2020-4 解答*

問(wèn)題：如圖1 所示，三根質(zhì)量均為m、長(zhǎng)均為l的勻質(zhì)細(xì)桿鉸接后成一直線靜止于光滑水平面上，今在AB桿的質(zhì)心G處作用一垂直于桿的水平?jīng)_量I。試用沖擊問(wèn)題的拉格朗日方程，(1) 證明沖擊后AB桿、BC桿、CD桿的初始角速度之比為4:3:?1。(2) 求沖擊后系統(tǒng)的動(dòng)能。(問(wèn)題及以下答案供稿：張孝祖，江蘇大學(xué))

圖1

解答：

(1) 沖擊后三桿都作平面運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)有5 個(gè)自由度，故取AB桿質(zhì)心G沿桿方向的位移x、垂直桿方向的位移y及AB桿、BC桿、CD桿的轉(zhuǎn)角φ1，φ2，φ3為5 個(gè)廣義坐標(biāo)，如圖2 所示。

圖2

AB桿動(dòng)能

BC桿動(dòng)能

CD桿動(dòng)能

系統(tǒng)總動(dòng)能T=T1+T2+T3。廣義沖量

由沖擊問(wèn)題的拉氏方程

式中，qi表示廣義坐標(biāo)，q1=x，q2=y，q3=φ1，q4=φ2，q5=φ3，t+表示沖擊后，t?表示沖擊前。注意到?jīng)_擊前系統(tǒng)動(dòng)能為0，代入整理后有

聯(lián)立式(3)～式(5)，可解得

(2)由沖擊問(wèn)題的動(dòng)能定理：沖擊過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)能的改變等于所有對(duì)應(yīng)沖量與沖擊點(diǎn)在沖擊前后的平均速度的點(diǎn)積之和?，F(xiàn)系統(tǒng)只在G點(diǎn)受I沖擊，沖擊后G點(diǎn)速度=0，=13I/(15m)，沖擊前G點(diǎn)速度為0，故得沖擊后系統(tǒng)動(dòng)能為