李紅影 李 欣 王雪琦

(東北大學(xué)理學(xué)院，沈陽(yáng)110819)

軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)在工程實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，如動(dòng)力傳送帶、帶鋸、軋制中的鋼板、連續(xù)熱鍍鋅生產(chǎn)線上的鍍鋅板等。國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)軸向勻速運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)和穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行了大量研究[1-4]。Li等[5]研究了軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性?shī)A層梁的非線性強(qiáng)迫振動(dòng)和穩(wěn)定性。劉金堂等[6]利用數(shù)值方法研究了受周期激勵(lì)軸向運(yùn)動(dòng)大撓度板橫向振動(dòng)的穩(wěn)定性及分岔特性。Ghayesh 等[7-8]研究了軸向運(yùn)動(dòng)板的非線性動(dòng)力學(xué)特性及全局分岔。李紅影等[9]分析了軸向移動(dòng)局部浸液?jiǎn)蜗虬宓膬?nèi)共振特性及運(yùn)動(dòng)分岔現(xiàn)象。

然而實(shí)際中由于各種因素的影響，結(jié)構(gòu)很難以嚴(yán)格的均勻速度運(yùn)動(dòng)，速度通常具有周期脈動(dòng)量，故系統(tǒng)會(huì)表現(xiàn)出更加復(fù)雜的動(dòng)態(tài)特性。楊曉東等[10]應(yīng)用多尺度法研究了黏彈性軸向加速運(yùn)動(dòng)梁橫向振動(dòng)的穩(wěn)定性。Tang 等[11]應(yīng)用多尺度法分析了軸向變速運(yùn)動(dòng)黏彈性板參數(shù)共振的穩(wěn)定性。Lü等[12]研究了時(shí)變速度下軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性?shī)A層梁的非線性參數(shù)共振，考察了各參數(shù)對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線和穩(wěn)定性區(qū)域的影響。Zhu 等[13]采用多尺度法分析了軸向加速運(yùn)動(dòng)黏彈性?shī)A層梁的參數(shù)共振、內(nèi)共振、分岔及穩(wěn)定性。Sahoo 等[14]研究了時(shí)變張力、時(shí)變速度作用下軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性梁的穩(wěn)定性、分岔及混沌等非線性動(dòng)力學(xué)行為。

本文中力學(xué)模型來(lái)源于鋼鐵行業(yè)中熱鍍鋅生產(chǎn)線，如圖1 所示。在連續(xù)熱鍍鋅生產(chǎn)過(guò)程中，穩(wěn)定輥與接觸滾之間的帶鋼很容易發(fā)生振動(dòng)，而該部分帶鋼的振動(dòng)將直接影響鍍鋅質(zhì)量，因而急需研究該部分帶鋼的振動(dòng)穩(wěn)定性，進(jìn)而加以控制。取圖1 中穩(wěn)定輥與接觸輥之間的帶鋼為研究對(duì)象，其簡(jiǎn)化模型如圖2 所示，視其兩端簡(jiǎn)支，兩端自由。

本文研究了時(shí)變速度作用下對(duì)邊簡(jiǎn)支對(duì)邊自由軸向運(yùn)動(dòng)浸液板的非線性動(dòng)力學(xué)行為。在 von K′arm′an 大撓度板理論基礎(chǔ)上，考慮流固耦合、張力、時(shí)變速度、幾何非線性等，建立模型的非線性動(dòng)力學(xué)方程；應(yīng)用Galerkin 方法對(duì)其離散，獲得模態(tài)坐標(biāo)上的方程組；分別應(yīng)用近似解析法、數(shù)值方法研究了浸液板的非線性動(dòng)力學(xué)行為。

圖2 軸向運(yùn)動(dòng)局部浸液板模型

1 基本方程

板長(zhǎng)度，寬度，厚度分別為a，b，h；在空氣中部分長(zhǎng)度為x1；板密度，彈性模量，泊松比分別為ρ，E，μ；液體密度為ρf；板承受的軸向張力為F；沿x軸的運(yùn)動(dòng)速度為v(t)，其表達(dá)式為

式中，v0為平均速度，v1為脈動(dòng)速度幅值，?為擾動(dòng)頻率。

應(yīng)用速度勢(shì)函數(shù)和伯努利方程將流體與板之間的耦合作用等效為附加質(zhì)量和附加阻尼[15]，考慮到實(shí)際中穩(wěn)定輥與接觸輥之間的帶鋼僅發(fā)生彎曲變形，故本文基于von K′arm′an 薄板大撓度理論，建立了張力作用下軸向變速局部浸液?jiǎn)蜗虬宓膹澢駝?dòng)方程[16]

通過(guò)模態(tài)展開(kāi)研究軸向變速運(yùn)動(dòng)局部浸液板的動(dòng)力學(xué)特性，板彎曲變形為

式中，Um(x) 是單向板彎曲振動(dòng)的振型函數(shù)；qm(t)是關(guān)于時(shí)間t的未知函數(shù)，其求解方法詳見(jiàn)文獻(xiàn)[15]。文獻(xiàn)[15]詳細(xì)地介紹了液體與板之間的耦合作用，討論了液體對(duì)板固有特性的影響。

將式(2) 代入式(1)，選取前兩階模態(tài)，應(yīng)用Galerkin 法對(duì)式(1) 進(jìn)行離散，可得模態(tài)坐標(biāo)上的非線性方程組

其中，si(i= 1,2,··· ,16)，di(i= 1,2,··· ,8)，ri(i=1,2,3,4) 均為積分系數(shù)。

2 多尺度分析

應(yīng)用多尺度法對(duì)軸向變速運(yùn)動(dòng)局部浸液板的參激振動(dòng)進(jìn)行分析，引入小參數(shù)ε，并令si=ε(i=1,2,4,5,6,···11,13,14,15,16)，s3=ε，s12=ε，di=ε(i= 1,2,··· ,8)，ri=ε(i=1,2,3,4)，hi=ε(i=1,2,3,4)。

若擾動(dòng)頻率?接近線性系統(tǒng)第一、二階固有頻率之和，系統(tǒng)將會(huì)發(fā)生組合共振。為了描述?與ω1+ω2的接近程度，引入調(diào)諧參數(shù)σ，則有

應(yīng)用多尺度法分析式(3)，并考慮關(guān)系式(4)，可得系統(tǒng)組合共振的平均方程組

其中，γ=?θ1?θ2+σT1。

其中，ei(i=1,2,··· ,14)是通過(guò)上述變換后的系數(shù)。

通過(guò)分析式(6)，可得到系統(tǒng)組合共振特性隨浸液板張力，平均速度，脈動(dòng)速度幅值，擾動(dòng)頻率等參數(shù)的變化情況。

3 數(shù)值計(jì)算

局部浸液板幾何與物理參數(shù)：a= 1.95 m，b=0.86 m，h= 1 mm，E= 2.07×1011N/m2，μ=0.3，ρ=7.85×103kg/m3，ρf=1.0×103kg/m3，x1=1.4 m，M1= 7.85 kg/m2,M2= 303.5 kg/m2,c1=20 N·s/m3,c2=58.4 N·s/m3。

由式(6) 可獲得如圖3 所示的系統(tǒng)復(fù)雜結(jié)構(gòu)形式的幅頻響應(yīng)曲線，其中圖3(a)和圖3(b)為系統(tǒng)平均坐標(biāo)上的曲線，圖3(c) 為物理坐標(biāo)上的曲線。為了比較驗(yàn)證解析結(jié)果，通過(guò)多尺度法逆過(guò)程將平均坐標(biāo)上的幅值轉(zhuǎn)換到物理坐標(biāo)上，并與數(shù)值解進(jìn)行了對(duì)比，如圖3(c)所示，其中周期解的穩(wěn)定性是應(yīng)用李雅普諾夫一階近似理論進(jìn)行分析的。并應(yīng)用此近似解析法和數(shù)值方法驗(yàn)證了文獻(xiàn)[17-18] 中Duffing方程的振動(dòng)特性。此外，觀察式(6) 可發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)始終存在一個(gè)平凡解，文中為了便于觀察各參數(shù)對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的影響規(guī)律，幅頻響應(yīng)曲線中僅包含了非平凡解。

分析圖3 可以發(fā)現(xiàn)，軸向變速運(yùn)動(dòng)浸液板發(fā)生組合共振時(shí)解是十分復(fù)雜的，幅頻響應(yīng)曲線有多個(gè)解支，而僅有一個(gè)解支的解是穩(wěn)定的(圖3 中實(shí)線部分)；模態(tài)幅值a2明顯小于模態(tài)幅值a1，表明系統(tǒng)發(fā)生組合共振時(shí)，第一階模態(tài)貢獻(xiàn)更多能量；幅頻響應(yīng)曲線出現(xiàn)了滯后和跳躍等現(xiàn)象，系統(tǒng)出現(xiàn)分岔特性。

圖3 組合共振幅頻響應(yīng)曲線

圖4～圖6 考察了平均速度、脈動(dòng)速度幅值、張力等參數(shù)對(duì)組合共振系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的影響。圖4 描繪了模態(tài)a1，a2隨平均速度的改變而變化的情況，選取v1=40 m/s，F(xiàn)=2000 N，圖(a1)，圖(b1)，圖(a2)，圖(b2) 以及圖(a3)，圖(b3) 的平均速度分別為v0=2 m/s，v0=3 m/s，v0=4 m/s。

分析圖4 可以發(fā)現(xiàn)，隨著平均速度的逐漸增大，系統(tǒng)呈現(xiàn)出更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，主要表現(xiàn)為：系統(tǒng)周期解由4 個(gè)先變化為2 個(gè)，然后再次增加為4個(gè)，之后隨著調(diào)諧參數(shù)的進(jìn)一步增大，系統(tǒng)產(chǎn)生分岔，周期解再次恢復(fù)為2 個(gè)；幅頻響應(yīng)曲線a1在起初階段4 個(gè)解支耦合更加復(fù)雜；共振區(qū)域逐漸增大；與模態(tài)a2相比，a1的變化較為明顯。

圖5 選取v0= 2 m/s，F(xiàn)= 2000 N，其中圖(a1)、圖(b1)，圖(a2)、圖(b2) 脈動(dòng)速度幅值分別為v1=20 m/s，v1=30 m/s。觀察圖5 可以發(fā)現(xiàn)，隨著脈動(dòng)速度的逐漸增加，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線結(jié)構(gòu)形式發(fā)生明顯變化，周期解4 值區(qū)范圍增大，共振區(qū)域增大。

選取v0= 2 m/s，v1= 40 m/s，圖6 中，圖(a1)、圖(b1) 和圖(a2)、圖(b2) 張力分別為F= 3000 N，F(xiàn)= 4000 N。隨著張力的逐漸增大，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線結(jié)構(gòu)形式發(fā)生變化，耦合現(xiàn)象逐漸淡化，周期解4 值區(qū)范圍變小，共振區(qū)域減小。

圖4 平均速度對(duì)幅頻響應(yīng)曲線的影響

圖5 脈動(dòng)速度幅值對(duì)組合共振幅值的影響

圖5 脈動(dòng)速度幅值對(duì)組合共振幅值的影響(續(xù))

圖6 張力對(duì)組合共振幅值的影響

4 結(jié)論

本文研究了時(shí)變速度下局部浸液板的參數(shù)振動(dòng)特性?；赩on K′arm′an 大撓度板理論，建立了局部浸液板的非線性動(dòng)力學(xué)方程。分析了當(dāng)系統(tǒng)擾動(dòng)頻率?接近線性系統(tǒng)第一、二階固有頻率之和即?=ω1+ω2+εσ時(shí)，系統(tǒng)的組合共振特性。詳細(xì)地考察了平均速度、脈動(dòng)速度幅值、張力、擾動(dòng)頻率等參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。結(jié)果表明：系統(tǒng)發(fā)生組合共振時(shí)，流固耦合系統(tǒng)表現(xiàn)出豐富多變的非線性動(dòng)力學(xué)行為；第二階模態(tài)響應(yīng)幅值a2明顯小于第一階模態(tài)響應(yīng)幅值a1，即系統(tǒng)發(fā)生組合共振時(shí)第一階模態(tài)提供更多能量；張力、平均速度、脈動(dòng)速度幅值、擾動(dòng)頻率均影響系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，致使系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線結(jié)構(gòu)形式產(chǎn)生顯著變化；平均速度、脈動(dòng)速度幅值越大，張力越小，系統(tǒng)組合共振區(qū)域越大；與張力相比，速度對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響更加顯著，通過(guò)優(yōu)化浸液板軸向運(yùn)動(dòng)速度的大小及脈動(dòng)量可以有效穩(wěn)定其振動(dòng)。