丁祖榮

(上海交通大學(xué)教育部水動(dòng)力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海200240)

鳥的自由翱翔激勵(lì)著人類飛向天空的暇想，但對(duì)鳥動(dòng)作的單純模仿不能使人飛起來(lái)。早期的飛機(jī)發(fā)明家雖然實(shí)現(xiàn)了動(dòng)力飛行，但由于缺乏理論的指導(dǎo)，飛行器的性能無(wú)法得到實(shí)質(zhì)性改進(jìn)。無(wú)論在飛行速度、高度、距離和載重量方面，現(xiàn)代飛機(jī)都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了鳥類，它建立在現(xiàn)代飛行理論的基礎(chǔ)之上，其中流體力學(xué)(空氣動(dòng)力學(xué)) 的貢獻(xiàn)是關(guān)健性的。邊界層理論解決了飛行阻力問(wèn)題，環(huán)流理論則解決了機(jī)翼升力問(wèn)題。前者已有很多文章討論，本文著重介紹后者。

1 牛頓正弦平方定律

從16 世紀(jì)起，學(xué)者們開始認(rèn)真研究鳥的飛行原理。達(dá)·芬奇發(fā)表的著名論文《論鳥的飛行》認(rèn)為鳥逆風(fēng)飛行時(shí)不撲動(dòng)翅膀是得益于下面的氣流；17 世紀(jì)，另一位意大利學(xué)者波萊里發(fā)表的權(quán)威著作《動(dòng)物的運(yùn)動(dòng)》也認(rèn)為鳥的翱翔飛行是上升氣流造成的。這說(shuō)明“氣流從下方?jīng)_擊翅膀，支托起鳥的重量”是早期的普遍認(rèn)識(shí)。從18 世紀(jì)起不斷有人模仿鳥的翅膀從高處逆著氣流作滑翔飛行，均以失敗告終。從19世紀(jì)起，飛行實(shí)驗(yàn)家開始制造風(fēng)洞或旋臂機(jī)對(duì)機(jī)翼模型作測(cè)試。經(jīng)不斷摸索和改進(jìn)，在20 世紀(jì)初，萊特兄弟終于實(shí)現(xiàn)了載人動(dòng)力飛機(jī)的短暫飛行。但到此時(shí)，無(wú)論是飛行實(shí)驗(yàn)家還是學(xué)者都沒有搞清楚鳥類飛行的科學(xué)原理，特別是翅膀的升力機(jī)理。

19 世紀(jì)初，被英國(guó)人譽(yù)為“航空之父” 的喬治·凱利用自行設(shè)計(jì)的旋臂機(jī)揭示了一塊沿著飛行方向的斜平板(具有攻角) 可以獲得升力的事實(shí)。他在論文《論空中航行》中指出，只要“給一塊斜平板提供動(dòng)力，使之在空氣中產(chǎn)生升力并支持一定重量” 就能實(shí)現(xiàn)機(jī)械飛行，他還給出了計(jì)算升力的半定量關(guān)系式，但沒有解釋產(chǎn)生升力的原因。另一位英國(guó)人菲利普斯通過(guò)風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，向上凸起的弧形面即使前后緣處于同一高度(攻角為零) 也能產(chǎn)生升力，而且比斜平板更優(yōu)越，他同樣沒有對(duì)此現(xiàn)象作出解釋。后來(lái)英國(guó)人理查德·費(fèi)里斯在其名著《怎樣飛行》(1910) 中指出：“飛機(jī)的上表面必需外凸才能獲得升力效應(yīng)。這是飛機(jī)設(shè)計(jì)中的一個(gè)謎，至今沒有人能解釋?！?凱利和菲利普斯的發(fā)現(xiàn)、費(fèi)里斯的疑問(wèn)沒有引起學(xué)者們對(duì)理論探究的重視。其中一個(gè)重要原因是，當(dāng)時(shí)科學(xué)界正被一種悲觀情緒籠罩著，即對(duì)飛機(jī)普遍持懷疑態(tài)度，其根源可追溯到18 世紀(jì)的牛頓。

牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》(1726)中首次討論了物體在流體中運(yùn)動(dòng)時(shí)所受到的阻力。他指出，兩個(gè)形狀相同的物體分別在密度不同的流體中沿水平作定常運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體受到的阻力(1) 與運(yùn)動(dòng)速度的平方成正比；(2) 與物體的線性尺度的平方成正比；(3) 與流體的密度成正比；并對(duì)圓球、圓柱體和圓錐體進(jìn)行了計(jì)算。事實(shí)上，用力學(xué)的基本定理—— 動(dòng)量定理可以證明牛頓的論斷是正確的。牛頓的追隨者們按牛頓的方法計(jì)算了一塊面積為S，攻角為α的斜平板，在密度為ρ的流體中以速度U沿水平作定常運(yùn)動(dòng)時(shí), 作用在平板法線方向的作用力為

按照流體從下方?jīng)_擊平板形成托力即升力的認(rèn)識(shí)，上式就是升力公式。此公式被稱為計(jì)算斜平板升力的牛頓正弦平方定律，可用來(lái)估算鳥在滑翔時(shí)翅膀上的升力。由于鳥滑翔時(shí)翅膀的攻角很小，攻角正弦的平方更小，因此按公式計(jì)算的升力也極小。將斜平板用于飛機(jī)時(shí)，為了獲得足夠大的升力必須設(shè)計(jì)面積巨大的機(jī)翼。另一方面斜平板的升力與阻力之比為cotα，也是小量。為了使斜平板升空必須配置巨大的推進(jìn)發(fā)動(dòng)機(jī)，這兩點(diǎn)都是不現(xiàn)實(shí)的。

由于正弦平方定律冠以了牛頓的大名，嚇退了當(dāng)時(shí)一批學(xué)者和科學(xué)家。他們認(rèn)為人類要想實(shí)現(xiàn)動(dòng)力飛行是不可能的，其中包括大科學(xué)家開爾文勛爵。開爾文對(duì)英國(guó)航空學(xué)會(huì)寫信說(shuō)：“除了氣球以外，我不相信比空氣重的飛行器能取得什么結(jié)果，對(duì)此我一點(diǎn)信心也沒有?！绷硪晃淮罂茖W(xué)家亥姆霍茲也持相同觀點(diǎn)。據(jù)說(shuō)在一次考試中，一名學(xué)生因表達(dá)了相信動(dòng)力飛行可能實(shí)現(xiàn)的觀點(diǎn)，亥姆霍茲給他成績(jī)?yōu)椴患案瘛?/p>

事實(shí)上，包括凱利在內(nèi)的許多飛行實(shí)驗(yàn)家從試驗(yàn)中都發(fā)現(xiàn)升力與攻角的正弦成正比，而不是與攻角的正弦平方成正比。有人因此抱怨牛頓耽誤了飛行的發(fā)展。后來(lái)馮·卡門在1953 年為紀(jì)念動(dòng)力飛行五十周年所寫的書中說(shuō)了公道話：“我個(gè)人并不相信牛頓的影響會(huì)造成這么大的惡果。我認(rèn)為在我們所談?wù)摰哪莻€(gè)時(shí)代，真正對(duì)飛行發(fā)生興趣的人們絕大多數(shù)都是不相信任何理論的。”人們也沒有因此而停止對(duì)機(jī)翼升力的理論探索，只不過(guò)要尋找另外的突破口。

2 馬格努斯效應(yīng)

建立機(jī)翼升力理論的突破口是馬格努斯效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)[1]。馬格努斯效應(yīng)是指：當(dāng)一個(gè)物體在沿某方向運(yùn)動(dòng)的同時(shí)發(fā)生繞另一方向的旋轉(zhuǎn)時(shí)，在與由這兩個(gè)方向矢量組成的平面的垂直方向上將產(chǎn)生一個(gè)橫向力，使物體飛行軌跡發(fā)生偏移。在球類運(yùn)動(dòng)和炮彈運(yùn)行中都可以觀察到馬格努斯效應(yīng)，如網(wǎng)球、排球的飄球、乒乓球的弧圈球，足球的香蕉球，棒球的搖擺球和下墜球等；炮兵們發(fā)現(xiàn)從刻有來(lái)福線的炮膛里射出的炮彈常常偏離彈道。類似的現(xiàn)象引起學(xué)者和工程師們的關(guān)注。

早在1671 年牛頓在觀看劍橋?qū)W院的網(wǎng)球比賽中就注意到網(wǎng)球的飄球現(xiàn)象。他在一封信中試圖作出解釋：“我經(jīng)?？吹接们蚺男睋艟W(wǎng)球時(shí)使其走一條曲線。球拍的斜擊讓球既旋轉(zhuǎn)又前進(jìn)，這種復(fù)合運(yùn)動(dòng)造成球兩側(cè)附近的空氣受到較強(qiáng)烈的壓縮和打擊，于是空氣作出相應(yīng)的反彈?！?1805 年英國(guó)槍炮工程師羅賓斯在發(fā)表的《空氣的阻力》論文中把子彈偏離拋物線軌道的原因歸究為子彈的旋轉(zhuǎn)增加了空氣阻力。1852 年，德國(guó)柏林大學(xué)的物理學(xué)教授馬格努斯通過(guò)科學(xué)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了馬格努斯效應(yīng)(圖1)。在他的實(shí)驗(yàn)中，一個(gè)兩端裝有錐形軸承的銅質(zhì)圓柱可繞軸旋轉(zhuǎn)；他將圓柱置于兩個(gè)可自由轉(zhuǎn)動(dòng)的懸臂之間，讓吹風(fēng)機(jī)的氣流沿懸臂方向吹過(guò)圓柱，并借助弦線讓圓柱高速旋轉(zhuǎn)。他發(fā)現(xiàn)圓柱總是朝轉(zhuǎn)軸的側(cè)向偏轉(zhuǎn)。1853 年，馬格努斯在一份學(xué)會(huì)紀(jì)要上發(fā)表了他的發(fā)現(xiàn)，此現(xiàn)象被稱為馬格努斯效應(yīng)。

圖1 馬格努斯效應(yīng)實(shí)驗(yàn)

馬格努斯效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)引起了科學(xué)界的關(guān)注。英國(guó)物理學(xué)家瑞利探討了馬格努斯效應(yīng)的流體力學(xué)機(jī)理。他在1878 年發(fā)表的論文《論網(wǎng)球的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)》中，用伯努利定律解釋了馬格努斯效應(yīng)。他首先把馬格努斯效應(yīng)的流動(dòng)抽象為均流與環(huán)流疊加的力學(xué)模型，認(rèn)為環(huán)流是圓柱的旋轉(zhuǎn)帶動(dòng)了周圍流體一起旋轉(zhuǎn)形成的。當(dāng)旋轉(zhuǎn)的方向矢量與運(yùn)動(dòng)方向不一致時(shí)，橫向一側(cè)的流體速度增加，另一側(cè)流體速度減小。根據(jù)伯努利定律流體速度增加使壓強(qiáng)減小，流體速度減小使壓強(qiáng)增加，這樣就產(chǎn)生橫向壓力差，形成橫向力。當(dāng)這個(gè)橫向力作用在飛行物體的向上方向時(shí)就形成了升力。亥姆霍茲、開爾文也把注意力集中在環(huán)流上，引入了環(huán)量和渦量概念，分別建立了靜止流體中環(huán)量不變定理(1843)，和沿封閉流體線環(huán)量守恒定理等(1869)。遺憾的是這幾位理論科學(xué)家都沒有將馬格努斯效應(yīng)引伸到機(jī)翼的升力機(jī)理上，主要是因?yàn)椴磺宄潭ǖ臋C(jī)翼何以產(chǎn)生環(huán)流。

工程界也對(duì)馬格努斯效應(yīng)發(fā)生興趣，提出了各種實(shí)際應(yīng)用的方案，其中最著名的是德國(guó)工程師弗萊特納設(shè)計(jì)制造了用旋轉(zhuǎn)圓筒代替布帆的船。弗萊特納特地咨詢了哥廷根大學(xué)的普朗特團(tuán)隊(duì)，后者在風(fēng)洞里測(cè)試了旋轉(zhuǎn)圓筒的側(cè)向力，確認(rèn)若將旋轉(zhuǎn)圓筒裝在船上其側(cè)向推動(dòng)力將比相同面積的布帆大好幾倍。弗萊特納還接受了普朗特的建議，在圓筒兩端設(shè)置了突出的環(huán)形板，形成所謂弗萊特納轉(zhuǎn)子，并于1922 年取得了專利。弗萊特納在實(shí)船上沿軸線前后安裝了兩個(gè)用電驅(qū)動(dòng)的可旋轉(zhuǎn)弗萊特納轉(zhuǎn)子，僅依靠轉(zhuǎn)子的馬格努斯力推動(dòng)和操縱船前進(jìn)。1924 年，第一艘弗萊特納轉(zhuǎn)子船下水試航成功，當(dāng)時(shí)馮·卡門親自坐過(guò)這艘船。1926 年，該船橫渡大西洋抵達(dá)紐約。由于弗萊特納轉(zhuǎn)子船造價(jià)昂貴，無(wú)法與柴油機(jī)船匹敵，在商業(yè)上難以推廣，但是將其作為柴油機(jī)船的輔助設(shè)備是可行的。裝有弗萊特納轉(zhuǎn)子的柴油船在有風(fēng)時(shí)啟動(dòng)轉(zhuǎn)子推進(jìn)，無(wú)風(fēng)時(shí)用柴油機(jī)推進(jìn)，可節(jié)約30%的燃料。2008 年德國(guó)建造一艘排水量達(dá)10 萬(wàn)噸、柴油機(jī)功率為3.5 MW，裝有4 個(gè)高達(dá)27 m，直徑4 m 的轉(zhuǎn)子的貨船。該船于2010 年下水，滿載貨物從德國(guó)的恩登開到愛爾蘭的都柏林。在造船業(yè)和航空業(yè)中開發(fā)運(yùn)用馬格努斯效應(yīng)的努力和實(shí)踐從來(lái)沒有停止過(guò)，在資源匱乏、提倡綠色能源的今天仍具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。

3 蘭切斯特、庫(kù)塔、儒柯夫斯基關(guān)于翼型升力的環(huán)流理論

馬格努斯效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)距離翼型升力理論僅一步之遙，完成這關(guān)鍵性一步的跨越應(yīng)歸功于三個(gè)人：英國(guó)工程師蘭切斯特、德國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)焖投韲?guó)物理學(xué)家儒柯夫斯基[2]。

蘭切斯特是一個(gè)富有傳奇色彩的人物，在汽車、航空、數(shù)學(xué)等不同領(lǐng)域都取得了業(yè)界公認(rèn)的成就。在肯辛頓科技學(xué)院畢業(yè)后，他長(zhǎng)期從事汽車技術(shù)研究和開發(fā)工作，取得眾多發(fā)明專利。27 歲時(shí)發(fā)明制造了英國(guó)第一輛4 輪汽車，并成立了自己的公司。46歲時(shí)發(fā)表一系列有關(guān)空戰(zhàn)方面的論文，他被世界公認(rèn)為軍事運(yùn)籌學(xué)的奠基者之一。美國(guó)運(yùn)籌學(xué)會(huì)在約翰·霍普金斯大學(xué)建立了以蘭徹斯特命名的獎(jiǎng)金，每年頒給最優(yōu)秀的運(yùn)籌學(xué)論文的作者。由于在汽車、航空領(lǐng)域的卓越貢獻(xiàn)，他先后被授予英國(guó)皇家航空協(xié)會(huì)金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)?、機(jī)械工程師學(xué)會(huì)瓦特獎(jiǎng)?wù)?、美?guó)古根海姆金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)碌?；在倫敦市中心的布魯姆斯伯里綠地豎有蘭徹斯特汽車紀(jì)念碑。

蘭切斯特被公認(rèn)為機(jī)翼升力環(huán)流理論的最先發(fā)現(xiàn)者。他在大學(xué)畢業(yè)后最先感興趣的其實(shí)是飛行器。他做了大量飛機(jī)模型進(jìn)行彈力實(shí)驗(yàn)，1894 年制成了全尺寸的飛機(jī)樣機(jī)，只因缺乏匹配的輕型發(fā)動(dòng)機(jī)而錯(cuò)失了初期動(dòng)力飛行的機(jī)會(huì)。他潛心研究機(jī)翼的升力機(jī)理，為此不厭其煩地到海邊觀察海鷗的飛翔，特別是滑翔時(shí)翅膀的姿態(tài)，還測(cè)量了海鷗的重心和浮力中心。經(jīng)過(guò)深思熟慮并用模型做實(shí)驗(yàn)后，他終于悟出上凸的翼型產(chǎn)生升力的根本原因是渦和環(huán)流的作用。他認(rèn)為由于產(chǎn)生了繞機(jī)翼的環(huán)流導(dǎo)致上翼面低壓，下翼面高壓，因此形成升力。

1894 年，蘭切斯特把闡述機(jī)翼升力理論的論文投寄給伯明翰自然歷史與哲學(xué)學(xué)會(huì)，1897 年又寫論文《鳥的翱翔和機(jī)械飛行的可能性》投寄給英國(guó)物理學(xué)會(huì)，均遭到拒絕。兩個(gè)學(xué)會(huì)都嚴(yán)肅警告他一個(gè)工程師不應(yīng)該有這種瘋子的想法。直到萊特兄弟飛機(jī)上天后的1907 年，蘭切斯特才得以發(fā)表兩卷本專著：《空氣動(dòng)力學(xué)和滑翔力學(xué)》。該書詳細(xì)論述了機(jī)翼的環(huán)流理論，涉及機(jī)翼的升力和阻力，還首次提出機(jī)翼附著渦、有限翼展的翼梢渦概念。當(dāng)時(shí)的英國(guó)學(xué)術(shù)界非常保守，蘭切斯特的著作在英國(guó)沒有引起注意，卻在德國(guó)受到了重視。1908 年，蘭切斯特應(yīng)邀到哥廷根大學(xué)講學(xué)，與普朗特的團(tuán)隊(duì)進(jìn)行學(xué)術(shù)交流。

另一位獨(dú)立發(fā)現(xiàn)機(jī)翼升力環(huán)流原理的是德國(guó)年輕的數(shù)學(xué)家?guī)焖Ｔ诘聡?guó)工程師李林塔爾在柏林進(jìn)行持續(xù)載人滑翔機(jī)飛行試驗(yàn)(1890—1896) 并最后死于飛行事故的感人事跡的激勵(lì)下，庫(kù)塔決定對(duì)李林塔爾偏愛的帶有尖銳尾緣的彎曲翼型進(jìn)行研究，在他慕尼黑大學(xué)的畢業(yè)論文中作了理論探討和計(jì)算。他首先確認(rèn)升力是由翼型表面環(huán)流造成上下氣流速度不同引起的，同時(shí)推測(cè)尖銳尾緣決定了環(huán)流的大小；他認(rèn)為上下表面的氣流在尾緣匯合并速度相等是確定環(huán)流的條件。庫(kù)塔起先不愿公布自己的想法，在他的導(dǎo)師鼓勵(lì)下才以簡(jiǎn)報(bào)的形式公開發(fā)表，題為“流動(dòng)流體中的升力”，時(shí)間是1902 年。庫(kù)塔給出的條件后來(lái)被稱為“庫(kù)塔條件”。

機(jī)翼環(huán)流與升力之間定量關(guān)系是俄國(guó)數(shù)學(xué)與物理學(xué)家儒柯夫斯基給出的。儒柯夫斯基深深迷戀于航空學(xué)，除了理論研究外他還在自己制造的風(fēng)洞里作實(shí)驗(yàn)研究。在不知道庫(kù)塔簡(jiǎn)報(bào)的情況下，儒柯夫斯基獨(dú)立地發(fā)展了定量計(jì)算機(jī)翼升力的理論，其中包括著名的儒柯夫斯基變換、儒柯夫斯基翼型和機(jī)翼升力公式等，主要內(nèi)容包含在1906 年發(fā)表的論文中。后人將他和庫(kù)塔的理論稱為“庫(kù)塔?儒柯夫斯基定理”。

由他們?nèi)斯餐⒌囊硇蜕Νh(huán)流理論的簡(jiǎn)要表述是：翼型在靜止的空氣中啟動(dòng)后尖銳尾緣處出現(xiàn)初始啟動(dòng)渦，根據(jù)開爾文環(huán)量守恒定律在翼型上產(chǎn)生大小相等、方向相反的渦，稱為附著渦；當(dāng)滿足庫(kù)塔條件后啟動(dòng)渦被沖向下游，附著渦則與翼型一起運(yùn)動(dòng)，附著渦引起的環(huán)流產(chǎn)生了升力(圖2)。普朗特用實(shí)驗(yàn)顯示了這一現(xiàn)象，風(fēng)洞測(cè)量表明翼型上表面吸力的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)大于下表面的壓力。

圖2 翼型升力環(huán)流理論

4 普朗特升力線理論

“庫(kù)塔?儒柯夫斯基理論”主要適用于二維機(jī)翼，即翼展無(wú)限長(zhǎng)的等截面機(jī)翼。實(shí)際機(jī)翼是有限長(zhǎng)且截面沿展向變化的，稱為有限翼展機(jī)翼。普朗特在有限翼展機(jī)翼的升力理論方面做出了重大貢獻(xiàn)，主要是創(chuàng)建了升力線理論(1911)[3]。如圖3 所示，普朗特假定：(1) 機(jī)翼可用一根代表附著渦的升力線代替；(2)升力線各點(diǎn)的環(huán)量和升力可用庫(kù)塔?儒柯夫斯基定理確定；(3) 環(huán)量沿升力線發(fā)生變化，產(chǎn)生了向下游沿流線伸展的自由渦；(4)升力線與自由渦渦線構(gòu)成了連續(xù)的馬蹄渦。根據(jù)普朗特的理論，對(duì)有限翼展機(jī)翼升力問(wèn)題可以進(jìn)行數(shù)學(xué)處理。在工程上一方面可以由機(jī)翼的幾何參數(shù)及攻角確定升力沿翼展的分布，另一方面根據(jù)升力沿翼展的分布可直接計(jì)算馬蹄渦內(nèi)的感生速度以及所需要的能量。因此升力線理論成為中等速度飛機(jī)的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)，并用普朗特的名字命名。

圖3 升力線理論

蘭切斯特在1907 年發(fā)表的《空氣動(dòng)力學(xué)》中曾提出了有限翼展機(jī)翼附著渦的概念，并用圖描繪了翼稍滾卷成稍渦的設(shè)想。對(duì)有限翼展機(jī)翼理論的貢獻(xiàn)有多少應(yīng)歸功于蘭切斯特曾有過(guò)爭(zhēng)論。蘭切斯特在逝世前曾抱怨他的貢獻(xiàn)沒有得到充分承認(rèn)，英國(guó)有些人甚至認(rèn)為普朗特偷了蘭切斯特的思想。普朗特在一次演講中反駁了這種議論，他指出：“事實(shí)并非如此，早在看到蘭切斯特的著作之前建立這個(gè)理論的觀念已經(jīng)在我頭腦中出現(xiàn)了?！币虼艘蛔x到他的著作就立即理解了他的意思，并邀請(qǐng)他來(lái)哥廷根交流討論。馮·卡門認(rèn)為事實(shí)上兩人走的是不同的途徑。蘭切斯特的觀念很難進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，在表達(dá)方式上深?yuàn)W艱澀，令一般人難以理解。而普朗特則沿著應(yīng)用力學(xué)的思路來(lái)描述和處理這一問(wèn)題，因此獲得了巨大成功。事實(shí)上普朗特也肯定了蘭切斯特的成就，他說(shuō)“你們?cè)谟?guó)稱之為‘蘭切斯特?普朗特理論’，這是對(duì)的，因?yàn)樘m切斯特也獨(dú)立地得到了這個(gè)結(jié)果的一個(gè)重要部分······我們從他的書中也吸取到許多有用的觀念。”