5.1圖形的對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)

吳偉霞

考點(diǎn)、易混易錯(cuò)點(diǎn)解讀

考點(diǎn)主要有軸對(duì)稱、軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱、中心對(duì)稱圖形的概念和性質(zhì)，平移、旋轉(zhuǎn)的概念，在網(wǎng)格內(nèi)或坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行圖形變換，常與三角形、四邊形相結(jié)合.折疊和旋轉(zhuǎn)也可以與圓結(jié)合，綜合性較強(qiáng).

易錯(cuò)點(diǎn)有：找不準(zhǔn)對(duì)稱點(diǎn)、對(duì)稱軸導(dǎo)致對(duì)稱圖形判斷錯(cuò)誤：找不準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)中心而產(chǎn)生錯(cuò)誤，特別是圖形經(jīng)過多次旋轉(zhuǎn)后確定旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角時(shí)，易出錯(cuò).

高頻考點(diǎn)例題點(diǎn)撥

一、軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱、中心對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱

例1 （2019.青島）下列四個(gè)圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（?）.

解析：選項(xiàng)A、C是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)A、C錯(cuò)誤，選項(xiàng)B不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)D既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確.選D.

點(diǎn)撥：判斷一個(gè)圖形是不是軸對(duì)稱圖形，主要看能否找到對(duì)稱軸.軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸兩側(cè)的部分折疊后可重合，判斷一個(gè)圖形是不是中心對(duì)稱圖形，主要看能否找到對(duì)稱中心，

二、圖形的平移

例2（2019.棗莊）如圖1，將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A 'B'C'的位置.A'B，A 'C'與BC分別交于點(diǎn)E.F已知△ABC的面積為16，陰影部分三角形A'EF的面積為9.若AA=1，則A'D等于（?）.

A.2

B.3

C.4

D. 3/2

2

點(diǎn)撥：本題主要考查平移變換的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).需要特別注意的是：相似三角形的面積比等于相似比的平方，而不是相似比，

三、對(duì)稱與坐標(biāo)變化

例3 （2019.杭州）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（m，2）與點(diǎn)B（3，n）關(guān)于y軸對(duì)稱，則（?）.

A.m=3.n=2

B.m=-3.n=2

C.m=2.n=3

D.m=-2.n=-3

解析：∵點(diǎn)A（m，2）與點(diǎn)B（3，n）關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴m=一3.n=2.

∴選B.

點(diǎn)撥：軸對(duì)稱問題中點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)變化的規(guī)律是“關(guān)于誰對(duì)稱誰不變，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱都變”，這里的“變”是指變符號(hào).四、軸對(duì)稱和最小值問題例4 如圖2，在菱形ABCD中，AC=6√2，BD =6，E是BC邊的中點(diǎn)，P，M分別是AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接PE，PM，則PE+PM的最小值是（?）.

A.6

B.3√3

C.2 √16

D.4.5

解析：如圖3，作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E'.過點(diǎn)E'作E'M ⊥AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)P.此時(shí)PE+PM取得最小值.

點(diǎn)撥：本題是有關(guān)軸對(duì)稱的最短路線問題，考查菱形的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì).解決最短路徑問題，要以動(dòng)點(diǎn)所在直線為對(duì)稱軸，作其中一個(gè)端點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成特殊線段，再把該線段轉(zhuǎn)化到直角三角形或者特殊四邊形的邊上，

五、圖形的旋轉(zhuǎn)

例5 （2019.荊州）如圖4.等腰直角三角形OEF的直角頂點(diǎn)D為正方形ABCD的中心，點(diǎn)C，D分別在OE和OF上，現(xiàn)將△OEF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

點(diǎn)撥：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等）、等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì).易錯(cuò)點(diǎn)是易把∠AOF當(dāng)作旋轉(zhuǎn)角α，從而得到錯(cuò)誤答案.

解決圖形旋轉(zhuǎn)中判斷線段的數(shù)量關(guān)系或求角的大小的問題，要根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)的角相等求出未知角的度數(shù)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)的線段長度相等求出未知線段的長度.一般把所求線段轉(zhuǎn)化到特殊四邊形或者直角三角形中.

中考命題預(yù)測

1.下列汽車標(biāo)志中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）.

2.如圖6，在Rt△ABC中，∠A CB=90°，∠A =40°.以直角頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC旋轉(zhuǎn)到△A 'B'C的位置，其中A、B'分別是A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，且點(diǎn)B在斜邊A'B上，直角邊CA'交AB于D，則旋轉(zhuǎn)角等于（?）.

A.70°

B.80°

C.60°

D.50°

3.如圖7，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E是AB的中點(diǎn)，直線Z平行于直線EC，且直線Z與直線EC之間的距離為2，點(diǎn)F在矩形ABCD邊上，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)A恰好落在直線Z上，則DF的長為_____.

4.如圖8，Rt△AOB的斜邊OA在y軸上，且AB=3.∠AOB=300.將Rt△AOB繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度a（O

5.2 圖形的相似與解直角三角形

楊哲

考點(diǎn)、易混易錯(cuò)點(diǎn)解讀

“圖形的相似”這部分的基本考點(diǎn)有：成比例線段間的關(guān)系，相似三角形的判定，相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用，相似多邊形的相似比或周長比、面積比等.圖形的相似常在幾何探究題中與特殊三角形、四邊形、圓和三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)結(jié)合進(jìn)行綜合考查.

運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)時(shí)，不少同學(xué)常因找錯(cuò)對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角導(dǎo)致出錯(cuò)，考慮問題要全面，如判斷三角形相似沒有明確對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)，一定要分類討論，否則會(huì)漏解.

銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值的有關(guān)計(jì)算是基本考查點(diǎn).解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用是歷年中考的熱點(diǎn)，其中大多會(huì)利用解直角三角形的知識(shí)解決和高度（或?qū)挾龋⒑叫?、坡度及?shí)物情景有關(guān)的問題，主要考查的模型有“背對(duì)背型”“母子型”.

高頻考點(diǎn)例題點(diǎn)撥

一、相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例1 如圖1，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，連接DE，且∠ADE=∠A CB.

（1）求證：△ADE∽△A CB.

（2）如果E是AC的中點(diǎn)，AD=8，AB=10，求AE的長.

點(diǎn)撥：判定兩個(gè)三角形相似的常用方法有五種.當(dāng)圖形中有平行線時(shí)，可利用平行線判定三角形相似：當(dāng)圖形中已知兩三角形的一組角相等時(shí)，可以嘗試證明另一組角相等，或證明相等的這組角的兩組夾邊對(duì)應(yīng)成比例：當(dāng)題中已知兩三角形中三邊的長度時(shí)，可以先看看三組對(duì)應(yīng)邊的比是否相等;對(duì)于直角三角形，還可利用斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例來證明兩三角形相似，

例2（2019.杭州）如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB和AC上，DE∥BC.M為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AM交DE于點(diǎn)N，則（?）.

點(diǎn)撥：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，充分發(fā)揮基本圖形的作用，通過作平行線構(gòu)造相似三角形，靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)表示線段之間的關(guān)系.

點(diǎn)撥：本題是相似三角形與圓的綜合題，借助平行線、等腰三角形證明角度相等，運(yùn)用“兩角法”證明兩三角形相似.

二、銳角三角函數(shù)的概念及特殊角的三角函數(shù)值

例4 （2019.宜昌）如圖4，在5x4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，則sin∠BAC的值為（?）.

A.4/3 B.3/4 C.3/5 D.4/5

點(diǎn)撥：求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值時(shí)，依據(jù)三角函數(shù)的定義，構(gòu)造直角三角形，把該角放在直角三角形中.借助網(wǎng)格合理地添加輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

三、解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用

例5（2019.聊城）某數(shù)學(xué)興趣小組要測量實(shí)驗(yàn)大樓部分樓體的高度（如圖6所示的CD部分），在起點(diǎn)A處測得大樓部分樓體CD的頂端C點(diǎn)的仰角為45°，底端D點(diǎn)的仰角為30°.在同一剖面沿水平地面向前走20 m到達(dá)B處，測得頂端C的仰角為63.4°.大樓部分樓體CD的長度約為多少米？（精確到1 m.參考數(shù)據(jù)：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45.tan63.4°≈2.00.√2≈1.41，√3≈1.73）

解析：設(shè)樓高CE為xm

∵在Rt△AEC中，∠CA E=45°，

點(diǎn)撥：解這類銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題時(shí)，要將涉及的線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中（有時(shí)需要作輔助線構(gòu)造直角三角形）.這類問題一般涉及兩個(gè)直角三角形，首先設(shè)要求的邊長為x，在一個(gè)直角三角形中利用銳角三角函數(shù)構(gòu)建方程，用含x的代數(shù)式表示另一邊長;再在另一個(gè)直角三角形中利用銳角三角函數(shù)構(gòu)建方程，即可求解，

易錯(cuò)點(diǎn)是兩個(gè)直角三角形沒有找對(duì).或者在第一個(gè)直角三角形中沒有用未知的邊長表示出第二個(gè)直角三角形的某一邊長.致使無法第二次使用銳角三角函數(shù)構(gòu)建方程，另外，熟記特殊角的三角函數(shù)值也很有必要，

中考命題預(yù)測

1.如圖7，已知DE//BC，CD和BE相交于點(diǎn)O.S△DOE：S△COB=9：16，則DE：B（為（?）.

A.2：3

B.3：4

C.9：16

D.1：2

2.如圖8.AB是⊙0的直徑，C、D是OO上的點(diǎn)，∠CDB=30°.過點(diǎn)C作OO的切線交AB的延長線于E，則sin∠E的值為（?）.

4.如圖10，在△ABC中.AC=6，AB=4.點(diǎn)D與點(diǎn)A在直線BC的同側(cè)，且∠A CD=∠ABC，CD =2.點(diǎn)E是線段BC延長線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△DCE和△ABC相似時(shí)，線段CE的長為（ ）.

A.3 B.4/3 C.3或4/3 D.4或3/4

5.如圖11.在△ABC中，AB=A C=12，AD上BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AD上且DE=2AE，連接BE并延長交AC于點(diǎn)F，則線段AF的長為

6.風(fēng)電已成為我國繼煤電、水電之后的第三大電源.風(fēng)電機(jī)組主要由塔桿和葉片組成，如下頁圖12（1），圖12（2）是從圖12（1）引出的平面圖，假設(shè)你站在A處測得塔桿頂端C的仰角是55°.沿HA方向水平前進(jìn)43 m到達(dá)山底G處，在山頂B處發(fā)現(xiàn)正好一葉片到達(dá)最高位置，此時(shí)測得葉片的頂端D（D、C、H在同一直線上）的仰角是45°.已知葉片的長度為35 m（塔桿與葉片連接處的長度忽略不計(jì)），山高B（;為10 m，BG IHG.CHIAH，求塔桿CH的高.（參考數(shù)據(jù)：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7.，sin55°≈0.8. sin35°≈0.6）

5.3 視圖與投影

陳 冬

考點(diǎn)、易混易錯(cuò)點(diǎn)解讀

考點(diǎn)主要有平行投影和中心投影的含義及簡單應(yīng)用，畫常見幾何體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖），根據(jù)三視圖描述常見幾何體或?qū)嵨锏男螤睿?/p>

如果對(duì)幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖的概念理解不準(zhǔn)確，在處理立體圖形與其三視圖的相互轉(zhuǎn)化問題時(shí)，則易出現(xiàn)錯(cuò)誤，在解答幾何體的展開與折疊問題時(shí)，圖形判斷或計(jì)算容易出錯(cuò).

高頻考點(diǎn)例題點(diǎn)撥

一、幾何體的展開與折疊

例1 如圖1所示的是一個(gè)小正方體的展開圖，把展開圖折疊成小正方體，有“粵”字一面的相對(duì)面上的字是（?）.

A.澳

B.大

C.灣

D.區(qū)

解析：根據(jù)正方體展開圖可知“港”“澳”“灣”“區(qū)”四個(gè)字所在的面與“大”所在的面都有公共點(diǎn)，故它們不可能是對(duì)面，則有“粵”字一面的相對(duì)面上的字是“大”.選B.

點(diǎn)撥：本題是判斷正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字問題，明確正方體的展開圖中相對(duì)的面不存在公共點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，

二、幾何體的三視圖

例2（2019.孝感）下列立體圖形中，左視圖是圓的是（?）.

解析：球的左視圖是圓形，選項(xiàng)D符合題意，其他三個(gè)選項(xiàng)的左視圖都不是圓.

點(diǎn)撥：本題考查了幾何體的三視圖，注意所有的看到的棱都應(yīng)體現(xiàn)在三視圖中，

三、根據(jù)視圖判斷幾何體的個(gè)數(shù)

例3 （2019.齊齊哈爾）如圖2是由幾個(gè)相同大小的小正方體搭建而成的幾何體的主視圖和俯視圖，則搭建這個(gè)幾何體所需要的小正方體的個(gè)數(shù)至少為（?）.

A.5

B.6

C.7

D.8

解析：綜合主視圖和俯視圖，可知底層有4個(gè)小立方體，第二層最少有2個(gè)小立方體，因此搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少是6.選B.

點(diǎn)撥：可以想象出左視圖的樣子，然后根據(jù)“俯視圖打地基，主視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”很容易知道小正方體的最少個(gè)數(shù).

四、根據(jù)視圖求面積或體積

例4（2019.桂林）一個(gè)幾何體的三視圖如圖3所示，其中主視圖和左視圖是全等的等邊三角形，俯視圖是圓（含圓心）.根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)，這個(gè)幾俯視圖何體的表面積為（?）.

A.π

B.2.2π

C.3π

D.（√3+1）π

解析：由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓錐，其軸截面是一個(gè)高為、√3的正三角形.

∴正三角形的邊長=√3/sin60°=2.

∴圓錐的底面圓半徑是1，母線長是2.

∴底面圓的周長為2π.故側(cè)面積為1/2×2πx2=2π.

∵底面圓的面積為πx1²=π，

∴圓錐的表面積是3π，選C.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐的三視圖及有關(guān)計(jì)算.準(zhǔn)確判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.

五、與投影有關(guān)的計(jì)算

例5如圖4，路燈距離地面8m，身高1.6 m的小明（AB）在距離路燈的正下方地面上點(diǎn)O處20 m的A處，則小明的影子AM的長為____m.

解析：設(shè)A M=xm，根據(jù)相似三角形知識(shí)，有x/x+20 =1.6/8，解得x=5.故AM的長為5m.

點(diǎn)撥：解決與投影有關(guān)的計(jì)算問題時(shí)，常常需要根據(jù)“太陽光下，同一時(shí)刻垂直于地面放置的物體的高度與影長成正比”，列出比例式，再代人相關(guān)數(shù)值求解，

中考命題預(yù)測

1.下列圖形的主視圖與左視圖不相同的是（?）.

A

B

C

D

2.展覽廳內(nèi)要用相同的正方體木塊搭成一個(gè)三視圖如圖5的展臺(tái)，則此展臺(tái)共需這樣的正方體木塊的個(gè)數(shù)是（）.

A.7

B.8

C.9

D.10

3.如圖6是一個(gè)立體圖形從左面和上面看到的形狀圖，這個(gè)立體圖形是由一些相同的小正方體構(gòu)成的，這些相同的小正方體的個(gè)數(shù)最少是（?）.

A.4 B.5 C.6 D.7

4.如圖7是一個(gè)中間挖去一個(gè)圓柱的長方體，則它的主視圖是（?）.