劉志峰 吳曉瓊

【摘要】學(xué)科融合是當(dāng)今學(xué)科教育研究的趨勢(shì)之一，也是全面提升學(xué)生綜合素質(zhì)的需要，數(shù)學(xué)本應(yīng)是學(xué)科融合的主力軍，然而在數(shù)學(xué)教學(xué)中，現(xiàn)狀卻不容樂(lè)觀.如何更好地去推進(jìn)學(xué)科融合教學(xué)值得深入探討.本文選取了6個(gè)具有學(xué)科融合特征的HPM課例進(jìn)行分析，探究歷史素材如何為學(xué)科融合提供助力.這些課例主要從數(shù)學(xué)教學(xué)的幾個(gè)過(guò)程去探尋學(xué)科聯(lián)系的紐帶，從促使數(shù)學(xué)發(fā)展的原始問(wèn)題出發(fā)引起學(xué)生思考，用多元的表達(dá)語(yǔ)言揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，搜尋數(shù)學(xué)在各學(xué)科的廣泛應(yīng)用.從知識(shí)的來(lái)源、知識(shí)的表達(dá)、知識(shí)的應(yīng)用來(lái)促進(jìn)學(xué)科融合，引領(lǐng)學(xué)生了解數(shù)學(xué)之源，感悟數(shù)學(xué)之美，知悉數(shù)學(xué)之用.

【關(guān)鍵詞】歷史;學(xué)科融合;數(shù)學(xué)來(lái)源;數(shù)學(xué)應(yīng)用

一、引?言

數(shù)學(xué)作為工具性學(xué)科，為其他學(xué)科的發(fā)展注入了無(wú)窮的力量，與其他學(xué)科緊密聯(lián)系.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的重要基礎(chǔ)，并且在社會(huì)科學(xué)中發(fā)揮越來(lái)越大的作用，數(shù)學(xué)的應(yīng)用已滲透到現(xiàn)代社會(huì)及人們?nèi)粘Ｉ畹母鱾€(gè)方面[1].《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系[2].由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系是緊密的，然而一線教學(xué)中，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科融合的現(xiàn)狀卻不容樂(lè)觀[3].

汪曉勤老師曾根據(jù)已有的HPM（The Relation Between the History and Pedagogy of Mathematics）研究成果，結(jié)合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》，給出了基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵課例分析框架，將數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵分為五個(gè)維度：知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、審美娛樂(lè)、多元文化.在此分析框架中，汪曉勤老師將學(xué)科聯(lián)系歸納為兩點(diǎn)：（1）數(shù)學(xué)史給予數(shù)學(xué)以人文的一面;（2）數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的一座橋梁[4].根據(jù)此框架選取部分HPM課例進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)在學(xué)科聯(lián)系的維度上做的不夠理想.林莊燕，汪曉勤老師對(duì)初中的HPM課例進(jìn)行分析也發(fā)現(xiàn)了同樣的問(wèn)題[5].

數(shù)學(xué)教育的目的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和問(wèn)題解決能力，因此，在教學(xué)中需提供真實(shí)的、與其他學(xué)科密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)問(wèn)題[6].

二、挖掘歷史素材，促進(jìn)學(xué)科融合

從歷史中挖掘素材融入數(shù)學(xué)教學(xué)，促進(jìn)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系.下面選取了一些具有學(xué)科融合特征的HPM課例進(jìn)行分析，探討其中的規(guī)律，以期為學(xué)科融合找到切入點(diǎn).這些課例大多由汪曉勤老師領(lǐng)銜的HPM學(xué)習(xí)共同體進(jìn)行開(kāi)發(fā)，在教學(xué)實(shí)踐中也都取得了良好的反饋.

（一）追隨歷史，尋其源

任何一門(mén)學(xué)科的發(fā)展都是為了解決某些問(wèn)題，數(shù)學(xué)的發(fā)展也是如此.但是數(shù)學(xué)的特殊之處在于促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的問(wèn)題不僅來(lái)自數(shù)學(xué)本身，也來(lái)自各行各業(yè)各個(gè)學(xué)科.這些來(lái)源于其他學(xué)科又促使數(shù)學(xué)發(fā)展的問(wèn)題就為尋找數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系提供了天然的材料.

在課例“導(dǎo)數(shù)的概念”中，王芳老師[7]借助于自由落體運(yùn)動(dòng)，重構(gòu)了歷史上“已知物體運(yùn)動(dòng)的路程作為時(shí)間的函數(shù)，求物體在任意時(shí)刻的速度與加速度，以及已知物體的加速度作為時(shí)間的函數(shù)，求速度與路程”的問(wèn)題，順應(yīng)式地將促使微積分誕生的問(wèn)題融入數(shù)學(xué)教學(xué)中.用促使微積分概念產(chǎn)生的原始問(wèn)題來(lái)驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程，感受數(shù)學(xué)與物理之間的密切聯(lián)系.

曹廣福老師[8]認(rèn)為問(wèn)題是數(shù)學(xué)的核心，數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)就是問(wèn)題的教學(xué)，課堂教學(xué)就需要用體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的問(wèn)題來(lái)驅(qū)動(dòng).縱觀數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史，有很多數(shù)學(xué)的發(fā)展都是源于其他學(xué)科，例如，歐拉為解決哥尼斯堡七橋問(wèn)題，引入了圖論;牛頓為解決瞬時(shí)速度問(wèn)題，引入了微積分;為了建立定量的天文學(xué)而產(chǎn)生了球面三角;由于間接測(cè)量測(cè)繪的需要而出現(xiàn)了平面三角.尋找歷史上促使數(shù)學(xué)概念、原理產(chǎn)生的其他學(xué)科問(wèn)題，將該問(wèn)題融入數(shù)學(xué)教學(xué)中，以促進(jìn)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，讓數(shù)學(xué)不再孤獨(dú).

（二）多元語(yǔ)言，共釋本質(zhì)

數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的一個(gè)階段就是對(duì)知識(shí)的深化理解，在理解新知識(shí)的過(guò)程中，讓數(shù)學(xué)主動(dòng)與其他學(xué)科對(duì)接，明晰學(xué)科之間的聯(lián)系與區(qū)別[9].在知識(shí)的理解環(huán)節(jié)，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系主要是來(lái)源于不同學(xué)科的語(yǔ)言表達(dá).數(shù)學(xué)用其獨(dú)特的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述著世間萬(wàn)物，不僅數(shù)學(xué)，其他學(xué)科也在用自己的學(xué)科語(yǔ)言表達(dá)著生活萬(wàn)象，這就為數(shù)學(xué)與其他學(xué)科建立了一座溝通的橋梁.

在課例“任意角”中，饒彬老師[10]從一首大家都耳熟能詳?shù)陌拙右坠旁?shī)《賦得古原草送別》“離離原上草，一歲一枯榮;野火燒不盡，春風(fēng)吹又生.”引入課題，文學(xué)的味道從開(kāi)始就浸潤(rùn)著課堂.年復(fù)一年的文學(xué)表達(dá)與任意角的數(shù)學(xué)表達(dá)都在闡述著周期性，而這恰恰是三角函數(shù)的本質(zhì)特性，不同的表達(dá)語(yǔ)言卻揭示了同一屬性，不得不讓人感慨語(yǔ)言的魅力.

在課例“字母表示數(shù)”中，葉曉娟、顧海萍老師[11]將丟番圖的墓志銘融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中.

行人啊，請(qǐng)稍駐足，

這里埋葬著丟番圖.

上帝賦予他一生的六分之一，

享受童年的幸福;

再過(guò)十二分之一，兩頰長(zhǎng)胡;

又過(guò)了七分之一，燃起紅燭;

貴子的降生盼了五年之久.

可憐那遲到的寧馨兒，

只活到父親壽命的半數(shù)，

便進(jìn)入冰冷的墳?zāi)?

悲傷只有通過(guò)數(shù)學(xué)來(lái)消除，

四年后，他自己也走完了人生旅途.

從丟番圖的墓志銘可以大致了解丟番圖的一生經(jīng)歷，本節(jié)課的重點(diǎn)是用字母表示數(shù)，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)墓志銘的內(nèi)容，列出方程，計(jì)算丟番圖的壽命，讓學(xué)生充分經(jīng)歷字母表示數(shù)的過(guò)程，感受數(shù)學(xué)語(yǔ)言與文學(xué)語(yǔ)言的交融轉(zhuǎn)化.

在課例“字母表示數(shù)”中，王進(jìn)敬老師[12]將《懶人懶辦法》中的一段文字融入數(shù)學(xué)教學(xué)中，以此來(lái)說(shuō)明字母表示數(shù)的意義.

“任意角”課例中，用生動(dòng)活潑的文學(xué)語(yǔ)言將年復(fù)一年的周期思想融入嚴(yán)酷冰冷的數(shù)學(xué)中，同一屬性的兩種語(yǔ)言在數(shù)學(xué)課堂中呈現(xiàn)出來(lái)，給數(shù)學(xué)課堂帶來(lái)了幾分柔美，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)嚴(yán)肅的同時(shí)，也感受著文學(xué)的生機(jī)，更利于促進(jìn)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.而“字母表示數(shù)”的兩則課例，則是在比較數(shù)學(xué)語(yǔ)言與文學(xué)語(yǔ)言在表達(dá)同一問(wèn)題時(shí)的優(yōu)劣時(shí)，展示出數(shù)學(xué)語(yǔ)言的魅力所在.文學(xué)作品有其文學(xué)的魅力，無(wú)聲地浸潤(rùn)著心靈，但是在此稍顯復(fù)雜，晦澀難懂，數(shù)學(xué)語(yǔ)言則是簡(jiǎn)潔明了的，在此深刻地揭示了字母表示數(shù)的意義所在，學(xué)生也可以從中感受到學(xué)習(xí)字母表示數(shù)的必要性.不同的學(xué)科語(yǔ)言都有其獨(dú)特之處，文學(xué)在于親近柔美，數(shù)學(xué)在于嚴(yán)肅簡(jiǎn)潔.在數(shù)學(xué)課堂上將兩種語(yǔ)言進(jìn)行對(duì)比，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)欣賞數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔美感，培養(yǎng)學(xué)生的審美能力.

文學(xué)作品揭示數(shù)學(xué)思想的例子數(shù)不勝數(shù)，例如，杜甫在《登高》中的詩(shī)句“無(wú)邊落木蕭蕭下，不盡長(zhǎng)江滾滾來(lái).”向我們描繪了無(wú)邊無(wú)際的落木蕭蕭而下，長(zhǎng)江之水滾滾而來(lái)奔流不息，深刻揭示了無(wú)限的思想[13].若將其融入極限概念的教學(xué)之中，想必定能極大地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深學(xué)生對(duì)無(wú)限的理解.從歷史中挖掘數(shù)學(xué)與其他學(xué)科在語(yǔ)言表達(dá)上的契合點(diǎn)，可以很好地加深學(xué)生對(duì)于知識(shí)本質(zhì)的理解.

（三）從古至今，挖掘其用

數(shù)學(xué)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)世界，最終也必將運(yùn)用于現(xiàn)實(shí)世界.數(shù)學(xué)之用不僅在數(shù)學(xué)，更是在其他的各個(gè)學(xué)科各個(gè)領(lǐng)域.然而，如今的學(xué)生在學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)之后，卻不知數(shù)學(xué)何用，只知道考試必考數(shù)學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中存在著抵觸心理，從而也就學(xué)不好數(shù)學(xué).如何讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的應(yīng)用，讓數(shù)學(xué)不再無(wú)用，或許歷史能夠給我們答案.

在課例“演繹證明”中，賈彬，栗小妮老師[14]將一則生物學(xué)家達(dá)爾文的故事融入數(shù)學(xué)教學(xué)中.“有一個(gè)農(nóng)場(chǎng)主，他的豬總是養(yǎng)不胖，因此他憂心忡忡.這件事被達(dá)爾文知道了，他告訴農(nóng)場(chǎng)主：多養(yǎng)貓，豬就會(huì)胖起來(lái).理由是貓吃田鼠，多養(yǎng)貓便少田鼠;田鼠吃土蜂，少田鼠便多土蜂;土蜂傳播三葉草，多土蜂便多三葉草;豬吃三葉草，多吃三葉草，豬便會(huì)胖起來(lái).”這則故事看似與數(shù)學(xué)并無(wú)太大關(guān)系，但實(shí)則，食物鏈中的推理就可以看作是演繹證明在生物學(xué)中的應(yīng)用.數(shù)學(xué)的演繹推理相對(duì)比較干冷，而食物鏈的推理更為生動(dòng)，將這種推理融入教學(xué)中，無(wú)疑可以很好地活躍課堂氣氛，還可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)于演繹證明的理解，體會(huì)學(xué)習(xí)演繹證明的重要性.

在課例“反比例函數(shù)”中，王進(jìn)敬，栗小妮老師[15]從我國(guó)古代勸善書(shū)《太上感應(yīng)篇》中關(guān)于桿秤的故事汲取養(yǎng)料融入課堂.該故事講述了明朝萬(wàn)歷年間，揚(yáng)州有一家大南貨店，店主在臨死的時(shí)候吩咐兒子說(shuō)：“我平生起家，全靠這桿秤.這桿秤乃是烏木合成，中間空的地方藏有水銀，稱出的時(shí)候，就將水銀倒在秤頭，稱入的時(shí)候，就將水銀倒在秤尾.這樣‘入重出輕，就是我致富的原因.但是，目前競(jìng)爭(zhēng)激烈，也只能慘淡經(jīng)營(yíng).希望你更加努力，爭(zhēng)取扭轉(zhuǎn)局面.”如何解釋南貨店主所說(shuō)的“入重出輕”，引發(fā)學(xué)生思考，探究其中的奧秘，揭示了桿秤中蘊(yùn)含的反比例函數(shù)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟“正”與“反”的關(guān)系，最終利用所學(xué)的反比例函數(shù)知識(shí)解釋了南貨店主致富的原因.用數(shù)學(xué)解釋了物理中桿秤問(wèn)題，將數(shù)學(xué)知識(shí)很好地應(yīng)用于物理中，促進(jìn)了數(shù)學(xué)與物理學(xué)科的聯(lián)系.

三、結(jié)論與啟示

從以上的課例分析可以看出，這些課例在選取史料的時(shí)候，并不限于數(shù)學(xué)的歷史，突破學(xué)科局限，跨越時(shí)空，特別是用多元語(yǔ)言共同闡釋數(shù)學(xué)本質(zhì)的時(shí)候，從文學(xué)作品、藝術(shù)作品中汲取養(yǎng)料，也就是啟發(fā)我們只有積蓄多學(xué)科背景知識(shí)，才能更好地助力學(xué)科融合.學(xué)科融合不僅僅是學(xué)科知識(shí)的簡(jiǎn)單疊加，而應(yīng)該是各個(gè)學(xué)科知識(shí)內(nèi)在的交融，深度融合才能達(dá)到“1+1>2”的效益.其他學(xué)科的發(fā)展依賴于數(shù)學(xué)的發(fā)展，而數(shù)學(xué)的發(fā)展又反作用于其他學(xué)科，這種相互促進(jìn)共同發(fā)展的“共生”關(guān)系為我們的學(xué)科融合提供了堅(jiān)實(shí)的保障，從歷史搜尋融合證據(jù)，投射到教學(xué)中，照亮數(shù)學(xué)課堂.

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].人民教育出版社.2018（1）：1.

[2]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京師范大學(xué)出版社.2012（1）：8.

[3]胡雪芹.七到八年級(jí)數(shù)與代數(shù)與其他學(xué)科融合的教學(xué)研究[D].蘇州：蘇州大學(xué).2007，11.

[43]汪曉勤.基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵課例分析[J].上海課程教學(xué)研究.2019（2）：37-43.

[5]林莊燕，汪曉勤.初中HPM課例中的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵分析[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)）.2019（1）：57-63.

[6]史炳星.加強(qiáng)數(shù)學(xué)與其他科學(xué)的聯(lián)系為學(xué)生創(chuàng)設(shè)能力發(fā)展的環(huán)境[J].學(xué)科教育.2000（6）：25-29.

[7]王芳.數(shù)學(xué)史融入導(dǎo)數(shù)教學(xué)的行動(dòng)研究[D].上海：華東師范大學(xué).2012，10：47-55.

[8]曹廣福，張蜀青.問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)（理論與實(shí)踐卷）[M].北京：清華大學(xué)出版社.2018（8）：7-8.

[9]韋波富.數(shù)學(xué)與其他學(xué)科聯(lián)系——一種價(jià)值觀的引領(lǐng)[J].小學(xué)教學(xué)參考.2008（10）：47.

[10]饒彬.“任意角”：從歷史看必要性與規(guī)定[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)）.2017（4）：45-51.

[11]葉曉娟，顧海萍.基于歷史相似性的“字母表示數(shù)”教學(xué)[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)）.2014（10）：29-33.

[12]王進(jìn)敬.數(shù)學(xué)史融入初中數(shù)學(xué)教學(xué)的行動(dòng)研究[D].上海：華東師范大學(xué).2011.

[13]虞濤.數(shù)學(xué)思想方法的人文解讀[M].上海：上海教育出版社.2011，7：31-34.

[14]賈彬，栗小妮.HPM視角下的“演繹證明”教學(xué)[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)）.2018（5）：44-49.

[15]王進(jìn)敬，栗小妮.“反比例函數(shù)”：實(shí)驗(yàn)重構(gòu)數(shù)學(xué)史，故事凸顯價(jià)值觀[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)）.2017（6）：36-41.