陳瑞明

【摘要】數(shù)學(xué)的教導(dǎo)與學(xué)習(xí)一直是教育改革中重要的課題.一個(gè)同時(shí)考慮數(shù)學(xué)本質(zhì)和學(xué)習(xí)過(guò)程內(nèi)涵所設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)教學(xué)才能有效、準(zhǔn)確地將數(shù)學(xué)知識(shí)傳遞下去，兩者關(guān)系可以由教育心理學(xué)與數(shù)理哲學(xué)來(lái)切入探討.本文通過(guò)將教育心理學(xué)上主要的學(xué)習(xí)理論：行為主義﹑社會(huì)學(xué)習(xí)理論﹑認(rèn)知學(xué)習(xí)理論﹑建構(gòu)學(xué)習(xí)理論和數(shù)理哲學(xué)的理論派別：形式主義﹑邏輯主義﹑直覺(jué)主義﹑實(shí)證主義做比對(duì)發(fā)現(xiàn)，可將相容部分的理論結(jié)合起來(lái)，用于說(shuō)明如何針對(duì)不同的數(shù)學(xué)科目進(jìn)行相對(duì)應(yīng)的教學(xué)改革內(nèi)容——主要還是根據(jù)不同數(shù)學(xué)科目本身的特殊性，對(duì)如何設(shè)計(jì)個(gè)別數(shù)學(xué)科目教學(xué)課程進(jìn)行分析，以總結(jié)出結(jié)合學(xué)習(xí)理論及數(shù)學(xué)哲學(xué)的教學(xué)及學(xué)習(xí)方式.由探討的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，形式主義和注重心理結(jié)構(gòu)認(rèn)知學(xué)習(xí)理論、邏輯主義和注重行為主義的認(rèn)知學(xué)習(xí)理論、直覺(jué)主義和建構(gòu)學(xué)習(xí)主義理論，及實(shí)證論主義和納入環(huán)境要素的社會(huì)學(xué)習(xí)理論有較高的相容性.若能更進(jìn)一步探討如何將這些理論落實(shí)到教學(xué)上，使得這些相對(duì)應(yīng)的理論能應(yīng)用到每一個(gè)數(shù)學(xué)科目，則在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教材或數(shù)學(xué)講述上，能有效進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的傳遞工作.

【關(guān)鍵詞】學(xué)習(xí)理論;數(shù)學(xué)哲學(xué);直覺(jué)主義;數(shù)學(xué)實(shí)在論;建構(gòu)學(xué)習(xí)主義

一、學(xué)習(xí)理論與數(shù)學(xué)發(fā)展關(guān)聯(lián)性概述

（一）學(xué)習(xí)理論背景知識(shí)介紹

學(xué)習(xí)理論經(jīng)歷了不同階段，從早期的約翰·華生、弗雷德里克·斯金納的強(qiáng)調(diào)S-R（刺激與反應(yīng)）行為主義學(xué)習(xí)理論，到納入環(huán)境要素阿爾伯特·班杜拉的社會(huì)學(xué)習(xí)理論，到引入心理結(jié)構(gòu)的認(rèn)知學(xué)習(xí)理論，再到皮亞杰由個(gè)人已知或已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)的建構(gòu)學(xué)習(xí)主義理論，這些學(xué)習(xí)理論的實(shí)質(zhì)內(nèi)容及具體的主張可以參考葉浩生的《西方心理學(xué)的歷史與體系》一書，尤其書中對(duì)于（新）行為主義、結(jié)構(gòu)主義及人本主義等理論基礎(chǔ)和哲學(xué)思想的來(lái)源都有詳細(xì)的說(shuō)明.至于實(shí)際上要如何利用這些學(xué)習(xí)理論進(jìn)行教學(xué)，教師可以參考陳琦的《教育心理學(xué)》一書中的詳細(xì)介紹說(shuō)明，這里筆者僅引述陳琦對(duì)于學(xué)習(xí)理論綜合性的看法作為本文的引言，學(xué)習(xí)理論主要回答以下三方面的問(wèn)題：（1）學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)是什么？（2）學(xué)習(xí)是一個(gè)什么樣的過(guò)程？（3）學(xué)習(xí)有哪些規(guī)律和條件？本文的架構(gòu)大體上也是從這些問(wèn)題出發(fā)，探討這些學(xué)習(xí)理論和數(shù)學(xué)哲學(xué)思想間的關(guān)聯(lián)性及可應(yīng)用性.以下筆者只針對(duì)和本文有關(guān)聯(lián)的學(xué)習(xí)理論部分進(jìn)行概要性分析、探討與說(shuō)明.

（二）行為理論與數(shù)學(xué)發(fā)展關(guān)聯(lián)性介紹

行為主義和社會(huì)學(xué)習(xí)理論的主要差別在于，社會(huì)學(xué)習(xí)理論是社會(huì)變量（環(huán)境），探討個(gè)人認(rèn)知、個(gè)人行為和環(huán)境三者間的互動(dòng)關(guān)系，因此，除了行為主義的聯(lián)結(jié)及強(qiáng)化機(jī)制外，尚需考慮和觀察社會(huì)環(huán)境，進(jìn)行復(fù)制或強(qiáng)化動(dòng)作，這個(gè)基本上已經(jīng)開(kāi)始對(duì)應(yīng)到數(shù)學(xué)學(xué)科，因?yàn)閿?shù)學(xué)是為其他學(xué)科服務(wù)的學(xué)科，同時(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科也可以用來(lái)描述數(shù)學(xué)家建構(gòu)數(shù)學(xué)的過(guò)程.（社會(huì)）環(huán)境提供一個(gè)動(dòng)態(tài)的因素，它是數(shù)學(xué)家重要素材的來(lái)源，即使多位數(shù)學(xué)家包含戈特弗里德·威廉·萊布尼茨，稱數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)是先天的，實(shí)際上大部分的數(shù)學(xué)發(fā)展還是環(huán)境發(fā)展需要下的產(chǎn)物，例如利用數(shù)學(xué)知識(shí)可以有效地控制一個(gè)國(guó)家或一個(gè)地區(qū)的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)或掌握人口分布結(jié)構(gòu)等等.有效利用數(shù)學(xué)工具便可管控總體經(jīng)濟(jì)，例如貨幣發(fā)行量的多寡及周期，公務(wù)人員的薪資額度，加薪或退休金的計(jì)算，各式稅率的制定與征收等等，數(shù)學(xué)都是不可或缺的分析工具，這些需求當(dāng)然就間接促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，尤其是統(tǒng)計(jì)學(xué)的統(tǒng)計(jì)方法的創(chuàng)建.相反地，個(gè)人行為也會(huì)對(duì)社會(huì)環(huán)境造成影響——學(xué)習(xí)的過(guò)程不再是單純、被動(dòng)地等待刺激，而且刺激的來(lái)源也不再是自然或物理反應(yīng)，人們必須主動(dòng)地觀察學(xué)習(xí)所處的環(huán)境狀況.當(dāng)然，數(shù)學(xué)影響世界的發(fā)展更是明顯，世界不但提供一個(gè)數(shù)學(xué)創(chuàng)作素材的來(lái)源，相反地，數(shù)學(xué)的研究也豐富了世界的發(fā)展——尤其像目前世界各國(guó)正努力發(fā)展的人工智能，背后便需要大量的數(shù)學(xué)工具和理論模型等來(lái)支持.

（三）建構(gòu)學(xué)習(xí)主義與數(shù)學(xué)發(fā)展關(guān)聯(lián)性介紹

建構(gòu)學(xué)習(xí)主義與行為主義的最大不同點(diǎn)在于對(duì)客觀事物與個(gè)人知識(shí)形成的不同看法.對(duì)行為主義者而言，客觀的事物是具體存在于人的意識(shí)之外的，客觀事物對(duì)人的意識(shí)會(huì)產(chǎn)生刺激，這種刺激進(jìn)而形成人的知識(shí).在這個(gè)過(guò)程中，知識(shí)的形成是被動(dòng)的，是由刺激引起的.以數(shù)學(xué)的認(rèn)知來(lái)看，人類從兒時(shí)便對(duì)簡(jiǎn)單的自然數(shù)有反應(yīng)，這部分是直覺(jué)的認(rèn)知過(guò)程，我們可以看成自然數(shù)是依附在客觀存在的事物上，透過(guò)人類的視覺(jué)受到這些事物的刺激，使人類在意識(shí)上便產(chǎn)生了自然數(shù)這個(gè)知識(shí).由此我們也可以知道，數(shù)學(xué)知識(shí)的形成并不是單純靠智慧發(fā)展出來(lái)的，有一部分確實(shí)是行為下經(jīng)由外在事物刺激自然產(chǎn)成的.反觀，對(duì)于建構(gòu)學(xué)習(xí)主義者而言，知識(shí)的形成是以學(xué)習(xí)者本身的背景知識(shí)為底，通過(guò)學(xué)習(xí)者對(duì)事物的積極認(rèn)知過(guò)程所形成.由于每個(gè)人的背景知識(shí)不相同，所形成的知識(shí)也就不同.實(shí)際上，建構(gòu)學(xué)習(xí)主義比較逼近真實(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程，理由有以下幾個(gè)：

1.學(xué)習(xí)者是人，不是動(dòng)物，行為主義操作下的機(jī)械性生理反應(yīng)并不足以解釋或適用人的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，即使是以人當(dāng)研究客體，也不見(jiàn)得適用大部分的人;

2.學(xué)習(xí)者本身的既有知識(shí)確實(shí)會(huì)決定他是否能對(duì)新的事物形成新的經(jīng)驗(yàn)，而不是單純的強(qiáng)化過(guò)程，當(dāng)事物本質(zhì)有了新的改變，個(gè)人知識(shí)經(jīng)驗(yàn)也應(yīng)該跟著變動(dòng)，人相對(duì)于其他動(dòng)物而言，可變性確實(shí)高了一些;

3.學(xué)習(xí)者本身的學(xué)習(xí)態(tài)度及方式等也決定了他學(xué)習(xí)的有效性，而非單純是被動(dòng)接受刺激就會(huì)有正確的反應(yīng)，還是要視個(gè)人的心理狀態(tài)及結(jié)構(gòu)而定.

以數(shù)學(xué)知識(shí)的形成來(lái)看，筆者個(gè)人認(rèn)為早期的數(shù)學(xué)概念主要是受行為主義的學(xué)習(xí)認(rèn)知過(guò)程影響，這種影響應(yīng)該追溯到孩童時(shí)代，他們對(duì)于外在的世界會(huì)產(chǎn)生一個(gè)認(rèn)知，讀者可以參考一下布蘭思福特在《人是如何學(xué)習(xí)的——大腦，心理，經(jīng)驗(yàn)及學(xué)?！芬粫刑岬降年P(guān)于小孩如何對(duì)數(shù)字進(jìn)行認(rèn)知、探索的過(guò)程的描述（布蘭思福特，2002，P.98-100）.人一旦形成知識(shí)，并開(kāi)始學(xué)會(huì)使用符號(hào)來(lái)表述這些概念，這些概念就成為個(gè)人的一個(gè)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，例如李彩紅在《基于三種學(xué)習(xí)理論整合的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)》一文中對(duì)于“函數(shù)”這個(gè)概念的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)是如何形成的所做的探討（李彩紅，2014，P.19-23）.一旦這個(gè)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)形成，人們就可以去建構(gòu)新的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和知識(shí).到了后期，比較是建構(gòu)主義式的學(xué)習(xí)方式.因此以數(shù)學(xué)認(rèn)知的過(guò)程來(lái)看，學(xué)習(xí)理論代表的是數(shù)學(xué)不同階段的學(xué)習(xí)方式，而不是說(shuō)哪一個(gè)理論比較好，畢竟沒(méi)有種子哪來(lái)的果實(shí).以下筆者開(kāi)始針對(duì)不同的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀點(diǎn)，結(jié)合相容的學(xué)習(xí)理論，根據(jù)本人的數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)、教育學(xué)習(xí)過(guò)程及教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，來(lái)探討不同的數(shù)學(xué)科目適用的學(xué)習(xí)及教學(xué)方式.除此之外，我們還必須注意教學(xué)化過(guò)程的有效性，也就是研究如何利用這些學(xué)習(xí)理論去有效轉(zhuǎn)化成學(xué)習(xí)成果，正如克拉耶夫斯基在《教學(xué)過(guò)程的理論基礎(chǔ)》一書中所言：“從社會(huì)經(jīng)驗(yàn)到個(gè)人經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷各種不同層次的活動(dòng)——這就是教學(xué)的行程.”（克拉耶夫斯基，1996，P.10）

二、數(shù)學(xué)實(shí)在論與客觀事物存在論

（一）數(shù)學(xué)實(shí)在論觀點(diǎn)

數(shù)理哲學(xué)理論是以唯物主義的物質(zhì)為第一性、精神為第二性為基礎(chǔ)而發(fā)展的數(shù)學(xué)實(shí)在論.這個(gè)數(shù)學(xué)思想是把數(shù)學(xué)知識(shí)與心智活動(dòng)分開(kāi)來(lái)看，數(shù)學(xué)知識(shí)是已經(jīng)存在的且獨(dú)立于人的思想活動(dòng)，數(shù)學(xué)家并不是創(chuàng)造數(shù)學(xué)，而是發(fā)現(xiàn)已經(jīng)存在的數(shù)學(xué)知識(shí).這個(gè)時(shí)期的學(xué)派以柏拉圖主義為代表，這個(gè)學(xué)派的精神如斯圖爾特·夏皮羅在《數(shù)學(xué)哲學(xué)：對(duì)數(shù)學(xué)的思考》一書中所言：“在本體論實(shí)在論者中，最普通的觀點(diǎn)就是數(shù)學(xué)對(duì)象是非因果的、永恒的、不能解構(gòu)的，并且不是時(shí)空的一部分”.（夏皮羅，2009，P.25）簡(jiǎn)單地說(shuō)，數(shù)學(xué)本身具有絕對(duì)性的存在，不因人類思考變動(dòng)而遷移.這個(gè)學(xué)派已經(jīng)發(fā)展幾千年，極致的發(fā)展分支學(xué)派是完全柏拉圖主義，本學(xué)派主要采用的數(shù)學(xué)邏輯是排中律和選擇公理.排中律實(shí)際上是二元論下的產(chǎn)物，也就是非黑即白.這個(gè)邏輯主導(dǎo)了哲學(xué)和數(shù)學(xué)的發(fā)展幾千年了，大家也都認(rèn)為這是萬(wàn)物運(yùn)行的準(zhǔn)則，實(shí)際上這些概念是可以被挑戰(zhàn)的，后面筆者會(huì)提到其他不同學(xué)派的觀點(diǎn)，這些學(xué)派比較靠近唯心主義的主張，也可稱為反數(shù)學(xué)實(shí)在論學(xué)派.

（二）古典數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)實(shí)在論的關(guān)聯(lián)性

對(duì)于學(xué)習(xí)理論而言，客觀事物的存在性根據(jù)不同的學(xué)習(xí)理論而有所不同.對(duì)于古典的行為主義者而言，客觀事物是具體獨(dú)立存在的，因此我們只能由被動(dòng)地接受刺激來(lái)學(xué)習(xí).這種觀點(diǎn)和數(shù)學(xué)實(shí)在論具有高度相容性，實(shí)在論強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)的整體早已構(gòu)建完成，我們只不過(guò)是被動(dòng)的學(xué)習(xí)者，并不是數(shù)學(xué)的創(chuàng)造者.數(shù)學(xué)既然已經(jīng)獨(dú)立于人的思維且已自行構(gòu)建完成，我們就可以大膽地說(shuō)所有數(shù)學(xué)命題都有真?zhèn)?，且真?zhèn)卧缫汛嬖谟跀?shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)它們之前.因此排中律的假設(shè)必然是成立的，當(dāng)然選擇公理和其他的等價(jià)陳述也必然成立，這也是為什么古典邏輯（亞里士多德）能被大部分?jǐn)?shù)學(xué)家采納幾千年.后來(lái)，這種思想被數(shù)學(xué)的直覺(jué)主義學(xué)派所取代.這兩種思想是目前數(shù)學(xué)證明理論的兩大數(shù)學(xué)哲學(xué)思想.前者一般稱為古典數(shù)學(xué)，后者稱為新古典或直覺(jué)主義數(shù)學(xué).

（三）古典數(shù)學(xué)與學(xué)習(xí)理論的關(guān)聯(lián)性及應(yīng)用性

目前，全世界主流的數(shù)學(xué)還是以古典數(shù)學(xué)為主，主要原因筆者認(rèn)為是我們受到二元論的主導(dǎo)，當(dāng)然采用二元論是為了方便行事，在推論上更能容易有效拓展，但是這和客觀事物的存在性關(guān)系并不是絕對(duì)的.也就是說(shuō)，對(duì)于古典數(shù)學(xué)的這個(gè)存在性是毋庸置疑的，然而對(duì)于新古典數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，這個(gè)存在性是要經(jīng)過(guò)人的經(jīng)驗(yàn)來(lái)確認(rèn)的.因此，“毋庸置疑”是一個(gè)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程，不是一個(gè)結(jié)論.實(shí)在論和反實(shí)在論的哲學(xué)思想主導(dǎo)了人類思維好幾千年，這個(gè)辯證思想當(dāng)然不是要得出正確或唯一的答案，而是借由這個(gè)辯證思想不斷地去豐富人類的思考內(nèi)容及反思，當(dāng)然這個(gè)哲學(xué)思想并不僅僅是在數(shù)學(xué)這個(gè)科目體現(xiàn)，同樣，其他的學(xué)科也都深受這些哲學(xué)思想的影響.這些哲學(xué)思想：實(shí)在論與反實(shí)在論還是在爭(zhēng)論不休中，由祝楊軍的《對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)在論與反實(shí)在論之爭(zhēng)的辯證考察》一文就可以清楚地看到彼此的觀點(diǎn)及主張：“一直以來(lái)，作為數(shù)學(xué)中基礎(chǔ)問(wèn)題的實(shí)在論與反實(shí)在論之間的爭(zhēng)論不絕于耳、歷久彌新.它直接關(guān)系到數(shù)學(xué)是否具有客觀性、確定性與真理性”.（祝楊軍，2014）

三、形式主義與引入心理結(jié)構(gòu)的認(rèn)知學(xué)習(xí)理論

（一）形式主義在數(shù)學(xué)上的內(nèi)涵

形式主義以德國(guó)數(shù)學(xué)家戴維·希爾伯特為代表，強(qiáng)調(diào)的是公理系統(tǒng)，將數(shù)學(xué)的正確陳述以公理系統(tǒng)來(lái)表述.公理化系統(tǒng)可以追溯到歐幾里得的《幾何原本》，例如在蘭紀(jì)正等人所譯的《幾何原本》一書中所揭示的公理：兩點(diǎn)間可以畫一條直線、任何直角都相等、彼此能重合的物體是全等的.（蘭紀(jì)正，2003，P.3-5）接著歐幾里得就利用他的定義及公理陳述去證明其他命題的真?zhèn)危@便是最早的一個(gè)典型的公理化（形式化）過(guò)程.很多古代數(shù)學(xué)家便是利用這套公理化的系統(tǒng)來(lái)理解這個(gè)世界或數(shù)學(xué)，尤其是幾何學(xué)和數(shù)論等科目.近代數(shù)學(xué)家希爾伯特也曾經(jīng)對(duì)幾何進(jìn)行公理化陳述，馮·諾依曼更是直接對(duì)量子力學(xué)及集合論進(jìn)行公理化陳述，可見(jiàn)公理化并不是數(shù)學(xué)的專利，其他學(xué)科，例如經(jīng)濟(jì)學(xué)的假設(shè)等等，或多或少也是一種公理化形式，只不過(guò)不是以數(shù)學(xué)那么精簡(jiǎn)的形式陳述.還有，假設(shè)本身是多樣化的，具有較強(qiáng)的變動(dòng)性，反之，公理化則不易變動(dòng)，并具有較高的直覺(jué)性.以學(xué)習(xí)者的角度來(lái)看，形式化并不是完全新穎的，在他們自己的專業(yè)上，多少都存在形式化的陳述，這種陳述有時(shí)是根據(jù)客觀世界來(lái)判定的，有時(shí)是數(shù)學(xué)家本身的陳述.

（二）形式主義與學(xué)習(xí)理論的關(guān)聯(lián)性及應(yīng)用性

這個(gè)形式主義比較靠近引入心理結(jié)構(gòu)的認(rèn)知學(xué)習(xí)理論，考慮的客體是目前實(shí)際在使用的數(shù)學(xué)系統(tǒng).對(duì)于學(xué)習(xí)者而言，這個(gè)理論適用于跨領(lǐng)域?qū)W習(xí)，原因是，當(dāng)你將一數(shù)學(xué)客體形式化后，即可轉(zhuǎn)入其他系統(tǒng)中使用或應(yīng)用，如數(shù)學(xué)與電子計(jì)算機(jī)的跨領(lǐng)域研究及應(yīng)用.因此數(shù)學(xué)科目，如集合論、（非）線性規(guī)劃、最優(yōu)化問(wèn)題等等，可以強(qiáng)化形式主義的教學(xué)理念，把認(rèn)知學(xué)習(xí)的對(duì)象鎖定為形式主義的客體，透過(guò)形式主義可以簡(jiǎn)單地將復(fù)雜的客體移植到不同的學(xué)科，對(duì)于跨學(xué)科的整合學(xué)習(xí)是個(gè)相當(dāng)有效率的學(xué)習(xí)方式.實(shí)際上，美國(guó)有些金融投資公司聘請(qǐng)的高級(jí)技術(shù)人員便是搞純數(shù)學(xué)的，有些甚至是數(shù)學(xué)邏輯學(xué)家或集合論學(xué)家，這對(duì)于沒(méi)有接觸過(guò)形式主義數(shù)學(xué)訓(xùn)練的人來(lái)說(shuō)是很難理解的.這些公司之所以聘用純數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)家，主要原因是：一個(gè)學(xué)問(wèn)一旦被形式化后，便可以將該學(xué)問(wèn)抽象化、語(yǔ)言化及邏輯化，這樣便容易移植到其他學(xué)問(wèn)中.形式主義除了可以和認(rèn)知學(xué)習(xí)結(jié)合使用外，它本身也是一個(gè)被思考的客體.也就是說(shuō)，當(dāng)一個(gè)復(fù)雜的客體被形式化后，形式化后的認(rèn)知即被視為一個(gè)新的研究客體，例如數(shù)學(xué)上的代數(shù)結(jié)構(gòu)、實(shí)變函數(shù)、泛函分析等等科目，一旦將數(shù)學(xué)實(shí)際運(yùn)算客體形式化成代數(shù)公理系統(tǒng)后，該代數(shù)結(jié)構(gòu)即為研究的新客體，必要時(shí)還可以對(duì)這些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)再加以形式化，這也對(duì)應(yīng)到認(rèn)知學(xué)習(xí)上有關(guān)歸納法的使用.這個(gè)數(shù)學(xué)的認(rèn)知學(xué)習(xí)過(guò)程能夠?qū)€(gè)人的背景知識(shí)的干擾降到最低，也就是這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程是帶有機(jī)械性的，可驗(yàn)證性的，好處是經(jīng)由形式主義學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)知識(shí)嚴(yán)謹(jǐn)度相當(dāng)高，缺點(diǎn)是不易在心里留下數(shù)學(xué)的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)過(guò)程.目前，有些數(shù)學(xué)自動(dòng)化系統(tǒng)可以依據(jù)所輸入的公理系統(tǒng)自行推導(dǎo)定理及真理，就這種觀點(diǎn)來(lái)看，這種學(xué)習(xí)方式較符合李躍文在《意義學(xué)習(xí)理論對(duì)數(shù)學(xué)的啟示》一文中所轉(zhuǎn)述的戴維·保羅·奧蘇貝爾所謂的機(jī)械學(xué)習(xí).（李躍文，2000，P.6-8）雖然奧蘇貝爾主張的是有意義的學(xué)習(xí)，但是當(dāng)存在的客觀環(huán)境相當(dāng)復(fù)雜或多變，尤其學(xué)習(xí)者的背景知識(shí)也多變時(shí)，教授者要去完全理解學(xué)習(xí)者的知識(shí)狀態(tài)是有一定的難度的.因此，部分的機(jī)械性學(xué)習(xí)確實(shí)是有必要的，這也是為什么時(shí)至今日形式主義的學(xué)習(xí)方式依舊被大量應(yīng)用，尤其是在目前高度發(fā)展的機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域.目前，人工智能已經(jīng)深入到世界的各個(gè)領(lǐng)域，與機(jī)器直接溝通或通過(guò)機(jī)器進(jìn)行溝通已經(jīng)是不可避免的趨勢(shì)，因此要了解一些機(jī)器語(yǔ)言，如C語(yǔ)言等.隨著科技的發(fā)展，人的學(xué)習(xí)方式勢(shì)必也要更新，與機(jī)器互動(dòng)的學(xué)習(xí)方式也無(wú)可避免.形式化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式是當(dāng)初希爾伯特一心想要建構(gòu)的數(shù)學(xué)世界，但歌德后來(lái)證明了這樣的數(shù)學(xué)世界是不存在的，原因很簡(jiǎn)單，任何的公理系統(tǒng)一定會(huì)存在該系統(tǒng)無(wú)法判別的數(shù)學(xué)陳述句.雖然如此，形式主義依舊提供了一個(gè)快速的、機(jī)械性的、嚴(yán)謹(jǐn)性的學(xué)習(xí)方式，能夠有效地把數(shù)學(xué)知識(shí)傳遞給下一個(gè)學(xué)習(xí)者.由于人類的知識(shí)形成方式并不適用機(jī)械性的學(xué)習(xí)，因此教授者教授形式化的數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)時(shí)應(yīng)該借由其他輔助工具，如圖、表等，來(lái)有效提高學(xué)習(xí)者的理解能力.當(dāng)學(xué)習(xí)者有能力依據(jù)符號(hào)做思考時(shí)，再將抽象層次提升，進(jìn)而達(dá)到形式化.也就是說(shuō)，教師一開(kāi)始可以以自然語(yǔ)言和學(xué)者的數(shù)學(xué)背景知識(shí)出發(fā)，一步一步地進(jìn)行抽象學(xué)習(xí)，使學(xué)生參與整個(gè)形式化的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).一旦學(xué)生有了這個(gè)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于其他的形式化的學(xué)習(xí)就相對(duì)簡(jiǎn)單了，甚至學(xué)生自己就能慢慢學(xué)會(huì)如何抽象及形式化一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng).

四、邏輯主義與行為主義的認(rèn)知學(xué)習(xí)理論

（一）邏輯主義在數(shù)學(xué)上的內(nèi)涵

邏輯主義以德國(guó)邏輯學(xué)家、數(shù)學(xué)家戈特洛布·弗雷格為代表，強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)真理的獲得必須是從定義出發(fā)，并依選定的邏輯公理通過(guò)數(shù)學(xué)邏輯推理獲得.目前，對(duì)于數(shù)學(xué)教育并不采用嚴(yán)格的邏輯化系統(tǒng)，主要原因是：一方面，大部分公理是由直覺(jué)出發(fā)，沒(méi)有必要刻意強(qiáng)調(diào);另一方面，邏輯主義易流于形式，對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)者有機(jī)械性操作的感覺(jué). 就這個(gè)觀點(diǎn)來(lái)看，邏輯主義可以和對(duì)應(yīng)的行為主義學(xué)習(xí)論來(lái)結(jié)合，行為主義強(qiáng)調(diào)的刺激與反應(yīng)本身帶有機(jī)械性，強(qiáng)調(diào)的是刺激（數(shù)學(xué)客體）和反應(yīng)（數(shù)理邏輯系統(tǒng)）的關(guān)系.對(duì)于學(xué)習(xí)者而言，這樣的學(xué)習(xí)方式在數(shù)學(xué)科目上的應(yīng)用可以是數(shù)學(xué)建模、數(shù)理邏輯、理論計(jì)算、拓?fù)鋵W(xué)等科目.學(xué)習(xí)者該掌握的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是由數(shù)學(xué)客體到邏輯系統(tǒng)的遷移過(guò)程，并且能將這一過(guò)程加以復(fù)制及應(yīng)用.邏輯主義和形式主義有幾點(diǎn)不同：

1.邏輯主義并不強(qiáng)調(diào)形式化，也就是可以憑借人類的自然語(yǔ)言進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的積累及推演.

2.形式主義強(qiáng)調(diào)的是系統(tǒng)本身的公理化，也就是邏輯部分不見(jiàn)得要公理化，但邏輯系統(tǒng)本身強(qiáng)調(diào)的是邏輯的公理化.

3.邏輯主義認(rèn)為邏輯本身就足以推導(dǎo)整個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)，但實(shí)際上還有形式主義等的配合.正如張景中院士在《數(shù)學(xué)與哲學(xué)》一書中所寫：“邏輯主義本來(lái)想用自己的工作論證柏拉圖主義，結(jié)果并沒(méi)有成功.算術(shù)是化歸到集合論了，但集合論的公理系統(tǒng)卻有好幾個(gè)，因而不能說(shuō)是純粹的邏輯了”.（張景中，2008，P.70）

邏輯公理化的結(jié)果使我們的認(rèn)知不再局限于客體事物本身，而是用完全有心理結(jié)構(gòu)的認(rèn)知來(lái)判定.這樣的認(rèn)知學(xué)習(xí)方式有個(gè)最大的好處，就是可以免于個(gè)人情緒或主觀認(rèn)知差異的干擾.邏輯主義的學(xué)習(xí)方式從認(rèn)知心理學(xué)的角度來(lái)看，具有高度的自我認(rèn)知學(xué)習(xí)過(guò)程，而且這種認(rèn)知方式不僅僅是認(rèn)知心理學(xué)一個(gè)精神的體現(xiàn)，更重要的是它提出了一個(gè)具體的由個(gè)人意識(shí)主導(dǎo)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，使用的方法就是數(shù)理邏輯.

（二）邏輯主義與學(xué)習(xí)理論的關(guān)聯(lián)性及應(yīng)用性

一般的數(shù)學(xué)的教授過(guò)程并沒(méi)有刻意地去強(qiáng)調(diào)所使用的邏輯公理系統(tǒng)，原因主要是公理系統(tǒng)是直覺(jué)的一個(gè)體現(xiàn)，而且過(guò)度依賴邏輯公理系統(tǒng)所得的數(shù)學(xué)知識(shí)會(huì)使學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)心理活動(dòng)降低，造成煩瑣的符號(hào)操作及演算.試想，如果一個(gè)人正在與另一個(gè)人交談，而注意力卻主要集中在對(duì)方講話的語(yǔ)法結(jié)構(gòu)有沒(méi)有問(wèn)題上，那么這樣的學(xué)習(xí)方式反而對(duì)于學(xué)習(xí)者內(nèi)心數(shù)學(xué)的建構(gòu)難于有直覺(jué)性的認(rèn)知.以數(shù)學(xué)科目來(lái)說(shuō)，目前應(yīng)該是數(shù)學(xué)邏輯和少數(shù)純數(shù)學(xué)科目的學(xué)習(xí)采用邏輯主義作為學(xué)生學(xué)習(xí)的方式，這些科目也確實(shí)有必要直接采用邏輯主義教授，主要是它們的數(shù)學(xué)客體就是邏輯本身.目前國(guó)內(nèi)和國(guó)外對(duì)數(shù)理邏輯這個(gè)科目的認(rèn)知并不相同，對(duì)于國(guó)外大部分高校而言，數(shù)理邏輯大多是大一數(shù)學(xué)科系的必修課程，國(guó)內(nèi)則以其他實(shí)用性的數(shù)學(xué)科目作為起始點(diǎn)，或者概要性介紹這個(gè)科目，兩者對(duì)數(shù)學(xué)教育的學(xué)習(xí)效果有待進(jìn)一步分析.

五、直覺(jué)主義與建構(gòu)學(xué)習(xí)主義理論的認(rèn)知學(xué)習(xí)理論

（一）直覺(jué)主義在數(shù)學(xué)上的內(nèi)涵

直覺(jué)主義以布勞威爾為代表，這一學(xué)派主張的是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者本身的一個(gè)認(rèn)知過(guò)程.當(dāng)然布勞威爾對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的主張是比較極端的，他認(rèn)為數(shù)學(xué)就是數(shù)學(xué)家個(gè)人的思考及內(nèi)化過(guò)程，具有個(gè)別性，不具有普遍性.其實(shí)他所強(qiáng)調(diào)的是，數(shù)學(xué)系統(tǒng)不是不可挑戰(zhàn)的，也不是一言堂的，每個(gè)人其實(shí)都是數(shù)學(xué)家.這當(dāng)然直接沖擊到我們對(duì)于數(shù)學(xué)具有普遍性的一個(gè)認(rèn)知.由于知識(shí)在直覺(jué)主義者看來(lái)必須有一連串的數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程及經(jīng)驗(yàn)，因此老師和學(xué)生的傳統(tǒng)教學(xué)方式必須加以修正.也就是說(shuō)，教授者必須觀察學(xué)習(xí)的背景知識(shí)來(lái)做數(shù)學(xué)教學(xué).對(duì)于數(shù)學(xué)實(shí)在論者主張的排中律和選擇公理，直覺(jué)主義者是堅(jiān)決反對(duì)的，主要是因?yàn)榕胖新珊瓦x擇公理對(duì)于學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中沒(méi)有認(rèn)知過(guò)程，而是依賴于學(xué)習(xí)者對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)在論的信心，對(duì)于直覺(jué)主義者而言，這是不合乎數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)法則的，因此，也不承認(rèn)這樣的數(shù)學(xué)證明是合法的.然而，這樣的數(shù)學(xué)并沒(méi)有被大部分的數(shù)學(xué)家所采納，如希爾伯特就大力反對(duì)布勞威爾的主張，尤其是排中律對(duì)于希爾伯特而言是數(shù)學(xué)的一大利器，舍棄不用，則數(shù)學(xué)發(fā)展必會(huì)遇到極大困難.但是從歷史演變來(lái)看，希爾伯特的擔(dān)心似乎也過(guò)了頭.目前，直覺(jué)主義者確實(shí)在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域都已取得相當(dāng)程度的進(jìn)展，而且越來(lái)越多的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)家也開(kāi)始加入直覺(jué)主義行列，國(guó)外有些高校的數(shù)學(xué)課程甚至直接就采用直覺(jué)主義的想法授課，完全丟棄古典數(shù)學(xué).實(shí)際上，若要將數(shù)學(xué)應(yīng)用到其他學(xué)科中，則直覺(jué)主義下的認(rèn)知過(guò)程是相當(dāng)重要的，包含如何構(gòu)建一個(gè)演算法（這個(gè)演算法很可能是新穎的，否則古典數(shù)學(xué)家早就采用了）或者如何建構(gòu)新的數(shù)學(xué)系統(tǒng)（直覺(jué)主義的采用并不是單純地將古典數(shù)學(xué)中的某些邏輯規(guī)則拿掉，如果只是這樣，確實(shí)會(huì)是希爾伯特?fù)?dān)心的，一堆數(shù)學(xué)陳述可能無(wú)法證明它的真?zhèn)涡裕?以實(shí)用性而言，直覺(jué)主義所提供的演算法或證明存在性的方式能有效地轉(zhuǎn)化到其他學(xué)科.例如利用電腦來(lái)驗(yàn)證或使用該演算法，對(duì)于教師而言，演算法是視覺(jué)化的，甚至可以簡(jiǎn)單地用實(shí)際例子或電腦方程式加以表達(dá).從這個(gè)角度來(lái)看，學(xué)生應(yīng)該在心里的接受上對(duì)于數(shù)學(xué)更加人性化一點(diǎn)，當(dāng)然要付出的代價(jià)是如何去尋找這些演算法或存在的個(gè)體，這當(dāng)然是直覺(jué)主義者需要開(kāi)拓的.在這個(gè)開(kāi)拓的過(guò)程中，古典數(shù)學(xué)的教授方式肯定也是無(wú)法避免的，當(dāng)然適度的取代排中律或選擇公理，以演算法或找尋存在客體的方式來(lái)講述，對(duì)于學(xué)生的幫助應(yīng)該會(huì)較大.國(guó)內(nèi)由于接觸直覺(jué)主義訓(xùn)練的數(shù)學(xué)家及可參考的直覺(jué)主義教科書并不多，要全面推廣這樣的教育理念恐怕也不切實(shí)際.再則，既然這是哲學(xué)思想，自然難得到一致性的看法，也就是有些數(shù)學(xué)家會(huì)贊同，有些會(huì)反對(duì)，這在課程統(tǒng)一的前提下也是一大問(wèn)題.即使教師有心全面采用直覺(jué)主義的教學(xué)方式，目前有些數(shù)學(xué)的學(xué)科在直覺(jué)主義的發(fā)展下也尚未找到一個(gè)最后認(rèn)定的定義或公理系統(tǒng)來(lái)指導(dǎo)這些課程的進(jìn)行，以國(guó)內(nèi)目前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境來(lái)看，顯然直覺(jué)主義的條件尚未形成.但筆者認(rèn)為，直覺(jué)主義的思想還是可以利用的，例如多提供演算法去完成數(shù)學(xué)的證明，少用古典數(shù)學(xué)的二元邏輯系統(tǒng).筆者相信，隨著世界潮流慢慢的改觀，直覺(jué)主義的數(shù)學(xué)教學(xué)方式慢慢會(huì)被重視及正視.

（二）直覺(jué)主義與學(xué)習(xí)理論的關(guān)聯(lián)性及應(yīng)用性

直覺(jué)主義的主張可以直接對(duì)應(yīng)到學(xué)習(xí)理論的建構(gòu)學(xué)習(xí)主義理論，學(xué)習(xí)必須是以學(xué)習(xí)者本身出發(fā)，進(jìn)行一連串的心智過(guò)程而獲得，數(shù)學(xué)理論的發(fā)展應(yīng)該考慮這樣的一個(gè)認(rèn)知過(guò)程.以數(shù)學(xué)科目來(lái)說(shuō)，離散數(shù)學(xué)的離散性提供了一個(gè)高度的直覺(jué)性，也易于學(xué)習(xí)者本身完成有限的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)——學(xué)習(xí)者可以通過(guò)有限的步驟完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，這是有別于實(shí)數(shù)系的數(shù)學(xué)（連續(xù)）.以直覺(jué)主義者的觀點(diǎn)，實(shí)數(shù)系并不是一個(gè)已經(jīng)構(gòu)建完成的數(shù)學(xué)客體，而是一個(gè)尚在構(gòu)建中的數(shù)學(xué)體系，且這個(gè)構(gòu)建過(guò)程應(yīng)該是從自然數(shù)出發(fā)，這和我們傳統(tǒng)學(xué)的數(shù)學(xué)相當(dāng)不同.傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方式是直接引入實(shí)數(shù)線，對(duì)學(xué)生說(shuō)明這就是實(shí)數(shù)，咋看好像這就是實(shí)數(shù)，但當(dāng)學(xué)生進(jìn)一步提問(wèn)：這條線為什么就對(duì)應(yīng)到所有的實(shí)數(shù)，教師大概就難以回答學(xué)生的問(wèn)題了.原因是學(xué)生并沒(méi)有實(shí)數(shù)的建構(gòu)過(guò)程，也就是說(shuō)這個(gè)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)完全消失了（實(shí)際上這個(gè)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)應(yīng)該由自然數(shù)出發(fā)，利用自然數(shù)去構(gòu)建整數(shù)，再由整數(shù)去構(gòu)建有理數(shù)，最后由有理數(shù)去構(gòu)建實(shí)數(shù).當(dāng)這個(gè)構(gòu)建過(guò)程完成后，教師再把構(gòu)建完的實(shí)數(shù)系去和實(shí)數(shù)線做對(duì)應(yīng).也就是說(shuō)，實(shí)數(shù)線的性質(zhì)是后來(lái)推出來(lái)的，不是完全視覺(jué)上的一條線決定的），對(duì)于這個(gè)數(shù)學(xué)客體當(dāng)然無(wú)法在心智上產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的建構(gòu)體.除了離散數(shù)學(xué)外，數(shù)論、統(tǒng)計(jì)概率、解析幾何等也都適用這個(gè)主義下的學(xué)習(xí)方法，具體的學(xué)習(xí)方式是以學(xué)生已知的背景知識(shí)出發(fā)，教師適度引導(dǎo)學(xué)生，由學(xué)生自己完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，也就是建構(gòu)者就是學(xué)生本身，教師只不過(guò)是一個(gè)輔助的角色.這個(gè)想法確實(shí)很好，有因材施教之效.但是，實(shí)際的教學(xué)方式必須視學(xué)生的資質(zhì)和背景知識(shí)而定，必要時(shí)應(yīng)該進(jìn)行能力或傾向性的分班，以針對(duì)個(gè)別學(xué)生的能力背景設(shè)計(jì)出適合他的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，包括哪個(gè)單元先教等等.

六、實(shí)證論主義與納入環(huán)境要素的社會(huì)學(xué)習(xí)理論

（一）實(shí)證論主義在數(shù)學(xué)上的內(nèi)涵

實(shí)證論主義數(shù)學(xué)理論的主要代表者是奧曼·蒯因，他強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)應(yīng)該同其他學(xué)科一樣，必須有實(shí)證上的價(jià)值.換個(gè)角度來(lái)看，數(shù)學(xué)主體本身必須具有實(shí)用性及應(yīng)用性，并且對(duì)于它客體的選擇必須由實(shí)證來(lái)決定，也就是說(shuō)一個(gè)數(shù)學(xué)理論必須跟其他學(xué)科一樣具有高度的實(shí)用性.我們從現(xiàn)在大學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度來(lái)看，就可以知道其中的道理，正如閔蘭在《高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的幾點(diǎn)思考》一文中提到的，“現(xiàn)在的大學(xué)生普遍有這樣一種困惑：高等數(shù)學(xué)那么難，那么抽象，它對(duì)將來(lái)的工作和生活有什么作用？”（閔蘭，2012，P.139-141）這也是很多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者，甚至是教授者深藏內(nèi)心的一個(gè)疑惑.

（二）實(shí)證主義與學(xué)習(xí)理論的關(guān)聯(lián)性及應(yīng)用性

實(shí)證主義對(duì)應(yīng)于學(xué)習(xí)理論的納入環(huán)境要素的社會(huì)學(xué)習(xí)理論，也就是對(duì)于知識(shí)本身的價(jià)值必須多元化思考，凡是對(duì)知識(shí)的形成有影響的，都應(yīng)該納入考慮范圍.實(shí)際上實(shí)證論主義是早期數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)歷程，早期數(shù)學(xué)的發(fā)展確實(shí)是為了解決實(shí)際的自然或社會(huì)問(wèn)題，可以看出數(shù)學(xué)是服務(wù)于其他具體問(wèn)題的工具學(xué)科.隨著數(shù)學(xué)本身抽象化的發(fā)展，這個(gè)趨勢(shì)并沒(méi)有改變.適用的數(shù)學(xué)科目種類很多，如物理數(shù)學(xué)發(fā)展下對(duì)于微分方程、復(fù)變函數(shù)論、泛函分析等科目已自行發(fā)展成一個(gè)數(shù)學(xué)分支;（計(jì)量、動(dòng)態(tài)、時(shí)間數(shù)列）經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)對(duì)于統(tǒng)計(jì)模型理論及應(yīng)用的促進(jìn)發(fā)展——例如賽局理論也自行發(fā)展成一個(gè)數(shù)學(xué)分支;統(tǒng)計(jì)學(xué)對(duì)于實(shí)數(shù)函數(shù)理論的進(jìn)一步發(fā)展等等，這些都體現(xiàn)出其他社會(huì)學(xué)科對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn).教師必須針對(duì)學(xué)生的專業(yè)特別強(qiáng)調(diào)他們所學(xué)的數(shù)學(xué)，例如高等數(shù)學(xué)的實(shí)用性.對(duì)非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生而言，數(shù)學(xué)是一門服務(wù)的學(xué)科，幫助他們理解本身專業(yè)的詞匯，以實(shí)用性來(lái)說(shuō)就是一門工具學(xué)科.同時(shí)，教師可以引入該學(xué)生的專業(yè)的數(shù)學(xué)軟件，解決他們專業(yè)上具體的問(wèn)題.教師最好能在課上引入具體的實(shí)例，以增加數(shù)學(xué)的實(shí)證性，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.

七、結(jié)?語(yǔ)

本文針對(duì)不同的學(xué)習(xí)理論，與數(shù)學(xué)哲學(xué)的不同理論進(jìn)行結(jié)合與相容性研究.教師通過(guò)本研究可以進(jìn)一步提升對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展和教育心理學(xué)及教育學(xué)發(fā)展的認(rèn)知.不同的數(shù)學(xué)科目，可以依據(jù)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)哲學(xué)理論，搭配相容的教育學(xué)習(xí)理論進(jìn)行數(shù)學(xué)的教學(xué)改革.數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一致性是相當(dāng)重要的，若數(shù)學(xué)教材或教法和數(shù)學(xué)理論及學(xué)習(xí)理論相抵觸，則很可能在教學(xué)上或傳遞數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中造成學(xué)生理解上的困難，甚至是無(wú)法理解.本文從學(xué)習(xí)理論的觀點(diǎn)及學(xué)習(xí)進(jìn)程來(lái)搭配適合的數(shù)學(xué)哲學(xué)理論及系統(tǒng).隨著時(shí)代的發(fā)展，數(shù)學(xué)已經(jīng)不再是一個(gè)單一不變的學(xué)科，如同其他學(xué)科一樣，它是有與時(shí)俱進(jìn)的需要的.一部分原因是來(lái)自數(shù)學(xué)哲學(xué)的影響，一部分原因是來(lái)自數(shù)學(xué)與其他學(xué)科互動(dòng)的影響.

我們通過(guò)本文的研究可以知道，形式主義和注重心理結(jié)構(gòu)認(rèn)知學(xué)習(xí)理論具有較高的相容性，邏輯主義和注重行為主義的認(rèn)知學(xué)習(xí)理論搭配較合適，直覺(jué)主義和建構(gòu)學(xué)習(xí)主義理論有強(qiáng)烈的互動(dòng)關(guān)聯(lián)，實(shí)證論主義和納入環(huán)境要素的社會(huì)學(xué)習(xí)理論有較高的相容性.對(duì)這些理論的理解有助于教師建構(gòu)一個(gè)一致性的數(shù)學(xué)知識(shí)傳遞方式.文中也充分提到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)是什么，更揭示了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的規(guī)律性和發(fā)展條件.如果教師能將這些理論有效地落實(shí)到實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)上，并把根據(jù)相對(duì)應(yīng)的理論應(yīng)用到每一個(gè)數(shù)學(xué)科目上，那么教師就能夠有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的傳遞工作.

八、致謝

本文受“百色學(xué)院校級(jí)教學(xué)改革工程項(xiàng)目”底下一個(gè)子項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)為2019JG47，項(xiàng)目名稱為《數(shù)理哲學(xué)下的本科數(shù)學(xué)課程內(nèi)容設(shè)計(jì)與人才培養(yǎng)方式》）所贊助與支持，筆者表示由衷的感謝.

【參考文獻(xiàn)】

[1]陳琦.教育心理學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2][美國(guó)]斯圖爾特·夏皮羅.數(shù)學(xué)哲學(xué)：對(duì)數(shù)學(xué)的思考[M].郝兆寬，楊睿之.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2009.

[3][蘇聯(lián)]沃·維·克拉耶夫斯基.教學(xué)過(guò)程的理論基礎(chǔ)[M].王義高.南昌：江西教育出版社，1996.

[4]閔蘭，陳曉敏.高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的幾點(diǎn)思考[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2012（02）：139-141.

[5][美國(guó)]布蘭思福特.人是如何學(xué)習(xí)的：大腦，心理，經(jīng)驗(yàn)及學(xué)校[M].程可拉等.上海：華東師范大學(xué)，2002.

[6]李彩紅，李祎.基于三種學(xué)習(xí)理論整合的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2014（05）：19-23.

[7]張景中.數(shù)學(xué)與哲學(xué)[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2008.

[8]李躍文.意義學(xué)習(xí)理論對(duì)數(shù)學(xué)的啟示[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2000（05）：6-8.

[9]葉浩生.西方心理學(xué)的歷史與體系[M].北京：人民教育出版社，1998.

[10][古希臘]歐幾里得.幾何原本[M].蘭紀(jì)正，朱恩寬.西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2003.

[11]祝楊軍.對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)在論與反實(shí)在論之爭(zhēng)的辯證考察[J].臨沂大學(xué)學(xué)報(bào)，2014（03）：41-46.