陶繼峰

摘? 要：角的分類其實(shí)是一個(gè)簡(jiǎn)單的概念，角度的測(cè)量也不是難點(diǎn)，但對(duì)于小學(xué)生而言，在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容之前，既不要求掌握量角器的用法，測(cè)量角的度數(shù)，也不要求給三類角下定義，只需要初步認(rèn)識(shí)銳角、直角、鈍角，并能辨識(shí)和區(qū)分它們。此時(shí)，教學(xué)的火候很重要，既不能“過火”也不能“欠火”。

關(guān)鍵詞：案例;三角;銳角;直角;鈍角;比較

一次聽課，看到某位教師講到角的分類，是按照如下方法進(jìn)行講解的。方法不成問題，沒有重大失誤，但總覺得火候不夠，學(xué)生沒有直觀地領(lǐng)悟到銳角和鈍角在形貌與性狀上與直角的關(guān)聯(lián)與區(qū)別，同時(shí)又覺得如果繼續(xù)深入地教會(huì)學(xué)生量出角的大小，然后直接用數(shù)據(jù)說話——大于90°的是鈍角，小于90°的是銳角，又有些超綱、超前，不利于學(xué)生的自然成長(zhǎng)。那么，如何在直觀感知與邏輯判斷之間找到平衡，是我們研究的關(guān)鍵。

師：圖1屬于哪類角？擴(kuò)放后又屬于哪類角？圖2屬于哪類角？

師：上述這些角都屬于什么角？（直角）這些角有什么特征嗎？（直角都一樣大）

師：在紙片○里畫一個(gè)與直角不同的角。

（學(xué)生畫角并反饋。）

師：能把這些角分門別類嗎？按什么標(biāo)準(zhǔn)分類較為妥當(dāng)？

（學(xué)生合作交流后，一致表示將角分為兩類。）

師：用“三角尺”里的“直角”與畫在黑板上的直角圖形比對(duì)，分出大小。

師（小結(jié)并板書）：如圖3所示。

師：請(qǐng)大家用“三角尺”中的“直角”測(cè)度一下自己畫出的角，并判別屬于哪類角。

（學(xué)生操作反饋。）

一、案例分析思考

上述案例中，教師以直角為突破口，通過畫角、劃歸類別、對(duì)比，指引學(xué)生很直觀地看出：開口程度小于直角的是銳角;開口程度大于直角的是鈍角。教學(xué)過程算得上行云流水，絲絲入扣。然而，筆者依然困惑。眾所周知：度數(shù)為90°的角是直角;度數(shù)小于這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)值的角稱為銳角;度數(shù)大于這個(gè)分界線的角稱為鈍角（浙教版初中課本七上）。當(dāng)然，在小學(xué)階段，這種精確定義實(shí)無必要。那么，像“小于直角的角統(tǒng)統(tǒng)是銳角，大于直角的角統(tǒng)統(tǒng)是鈍角”這種表述妥帖嗎？能否找到更嚴(yán)謹(jǐn)、周全的表述呢？為此，筆者先后查找了人教版和北師大版兩版教材，意圖從教材中找到一些蛛絲馬跡。

圖4是人教版課本對(duì)三種角的概念描述。這種文辭緊扣三種角的典型特征，通過“實(shí)物圖”與“數(shù)學(xué)角”的互為印證，令學(xué)生接受三種角的直觀模型，正確全面地認(rèn)識(shí)三種角，單刀直入，直白曉暢。

圖5是北師大版課本對(duì)三種角的文字描述。乍一看，與人教版課本雷同，細(xì)看之下，卻又略有差別，主要是增添了若干指示代詞（這）與判斷動(dòng)詞（是）等語(yǔ)詞，將三種角的外延刻畫得更加確切。

無論是人教版教材還是北師大版教材，對(duì)于學(xué)生認(rèn)識(shí)三類角，都不約而同地采取了直觀比較法。簡(jiǎn)言之，就是以直角為標(biāo)尺去定性地衡量角度的大小，按照直角的標(biāo)準(zhǔn)將角分為三類。值得提倡的是，樹立直角的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，不是簡(jiǎn)單淺薄地以90°來定義（那樣的話，使用量角器就會(huì)在所難免，成為新的難題），而是采用學(xué)生常見的幾何作圖工具“三角尺”來直觀操作，在教會(huì)學(xué)生辨認(rèn)三角尺的三個(gè)角的特征時(shí)，利用三角尺中現(xiàn)成的直角來作為分類標(biāo)準(zhǔn)。不僅如此，三角尺中的直角還順帶成為檢測(cè)鈍角和銳角的裝置，用直觀方法建立對(duì)角的分類的抽象認(rèn)識(shí)。

二、對(duì)比教材，找出共性

1. 對(duì)三種角的概念描述，均是以“直角”為主語(yǔ)，以直角為參照物和標(biāo)準(zhǔn)值，在學(xué)生對(duì)直角先入為主建立牢不可破的觀念后，再向?qū)W生推介銳角和鈍角。

2. 對(duì)三種角的認(rèn)識(shí)，不約而同都是以“三角尺”為操作工具，在與三角尺上的“直角”部件的“比對(duì)”中直觀看出銳角與鈍角的外部形貌，從而對(duì)銳角和鈍角建立敏銳直覺。

3. 對(duì)三類角的描述都切中了要害，扣住了顯著特征，特別是在認(rèn)識(shí)銳角與鈍角時(shí)，主要從與直角的大小比較來區(qū)分。

由此，我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象，課本對(duì)三類角的引介都采取了“直敘”法，而非“定義”法。這是學(xué)生在尚未接觸“周角與平角”“角的度量”等概念前，相對(duì)而言比較通俗易懂、平實(shí)淺白的提法。有些專家也認(rèn)為：“在小學(xué)階段，有些概念的提出，盡量淺顯平白，不必咬文嚼字?！钡P者以為，學(xué)生用“自己的經(jīng)驗(yàn)來思考并直抒胸臆，將最真實(shí)的想法說出來”，是返璞歸真的表現(xiàn)，反饋的是學(xué)生最本真的思考狀態(tài)。

既要讓學(xué)生明確角大致分為三類以及三類角的特征和性質(zhì)，但又不能明言，更不能用專業(yè)術(shù)語(yǔ)來下定義，這個(gè)時(shí)候就考驗(yàn)了編者和教者的教學(xué)功力。學(xué)生本身是具有一定的認(rèn)知能力的，他們天生具備一定的分辨能力，只要緊緊抓住這點(diǎn)微光，大做文章，精心運(yùn)作，是可以化腐朽為神奇的。那就是通過角度開口大小的直觀重疊對(duì)比，從視覺上辨別出大小，然后引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)大于直角的是鈍角，小于直角的是銳角，在直角的基礎(chǔ)上衍生出鈍角和銳角兩個(gè)新概念。這樣一來，直角、銳角、鈍角就形成一個(gè)認(rèn)知結(jié)構(gòu)體，它們之間相互呼應(yīng)，并且對(duì)將來學(xué)習(xí)平角與周角起著重要的作用，因?yàn)檫@種用直角作為杠桿翹起其他概念生成的方法還可以繼續(xù)遷移下去，如用直角定義平角，然后用平角定義周角。

三、根據(jù)課本啟示提出的教學(xué)建議

關(guān)于角的教學(xué)，“課標(biāo)”對(duì)第一學(xué)段做出的指示是：“結(jié)合生活情境認(rèn)識(shí)角，了解直角、銳角與鈍角”。此處所言的“了解”，筆者以為無非是要讓學(xué)生借助經(jīng)驗(yàn)直覺，知道將角大致分為三類，每一類的特點(diǎn)是什么，并能以這些特征為尺度來判定一個(gè)角屬于什么角，或者能根據(jù)性質(zhì)和要求畫出對(duì)應(yīng)的角。

如何讓教學(xué)更加科學(xué)有效，筆者結(jié)合研讀教材的心得，得出了四點(diǎn)思考：

1. 標(biāo)準(zhǔn)。直角是用來區(qū)分銳角與鈍角的標(biāo)尺，教學(xué)時(shí)務(wù)必抓住直角的基本特征，以直角為標(biāo)準(zhǔn)，在學(xué)生純熟掌握其基本特征后，再來認(rèn)識(shí)銳角與鈍角。如教學(xué)時(shí)不妨讓學(xué)生探尋“三角尺”（其中一塊）上的直角部分，樹立直角的“標(biāo)準(zhǔn)”樣本，教師可以直言不諱地說，“此乃直角”，然后讓學(xué)生探尋另一塊三角尺或其他物品的直角，讓學(xué)生借助模板的借鑒意義，豐富、完善和鞏固直角的清晰概念，入腦入心。

2. 素材。因?yàn)樾W(xué)幾何是直觀幾何，提供的素材越是豐富多彩、涉及面廣，學(xué)生掌握相關(guān)知識(shí)就會(huì)越順利、堅(jiān)固。在為學(xué)生搜集、整理、制備“角”的素材時(shí)，有兩種選擇。一是像案例中的教師那樣發(fā)揚(yáng)民主精神，讓學(xué)生自由畫圖，然后集中匯報(bào)展示，這樣生成的資源豐富且真實(shí)，但由于學(xué)生的個(gè)體差異以及不確定因素的存在，不規(guī)則或不規(guī)范的角便會(huì)粉墨登場(chǎng)，干擾視線，掣肘探究。二是教師一手包辦，為學(xué)生準(zhǔn)備各種不同的角（魚龍混雜），讓學(xué)生在操作（用直角去“比照”）中歸類歸總，從而歸納出“銳角”與“鈍角”的概念。但不管采用哪種方法，呈現(xiàn)給學(xué)生的素材一定要面面俱到，這樣有利于在大量案例中烘托出角的基本特征。

3. 方法。數(shù)學(xué)中很多說不清道不明的問題，通過“比照”之后，就不言而喻?！爸睾媳容^法”是幫助學(xué)生準(zhǔn)確區(qū)分“銳角”與“鈍角”的重要途徑。教學(xué)中教師切記要讓學(xué)生盡情去比較，通過“比”，也就是“量”（直觀地比量）的過程來揣摩與反思，讓學(xué)生掌握“比直角小”與“比直角大”的精確界限，洞悉“銳角”與“直角”的顯著特征，從而勾描出“銳角”與“鈍角”的概念。

4. 描述。雖然教學(xué)時(shí)對(duì)“什么是銳（鈍）角”只需直敘，但筆者以為，如果在描述時(shí)語(yǔ)言能夠更考究些、嚴(yán)謹(jǐn)些會(huì)更好。反觀蘇教版教材中的一些概念，如“像……這樣的數(shù)，都是分?jǐn)?shù)”“像3.50、1.06、16.85……這樣的數(shù)，都是小數(shù)”，這些也并非嚴(yán)苛的學(xué)術(shù)定義，但卻直白曉暢，淺顯易懂。因此，筆者以為在描述銳（鈍）角時(shí)，是否也可以在遣詞造句上下功夫，采用“像、……這樣比直角?。ù螅┑慕?，都是銳（鈍）角”的句式來表述，一方面容易讓學(xué)生建立清晰的銳（鈍）角具象，不會(huì)與周角、平角混為一談;另一方面也有效規(guī)避了“比直角大的角是鈍角”這樣抽象模糊的表述;同時(shí)還與課本中其他概念慣用的語(yǔ)法相同，不會(huì)有疏離感。

將角分為直角、銳角、鈍角這三類，非?？茖W(xué)。這樣分類雖然無法做到像用量角器量出度數(shù)那樣嚴(yán)苛，但卻能夠讓學(xué)生張口就答，起碼在小學(xué)階段夠用了，進(jìn)而還可以遷移到三角形的分類上，即直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形。這表明，在小學(xué)階段，學(xué)生對(duì)角度的認(rèn)識(shí)只需要搞清楚三類情況就達(dá)標(biāo)，其中只有直角賦予了精確度數(shù)（90°），以90°為分水嶺，小于90°為銳角，大于90°為鈍角，常見角的取值范圍為0°至180°。這樣的分類法，在表達(dá)一些特殊圖形時(shí)大有裨益，如表達(dá)鐘表上的時(shí)針與分針的夾角等，在表述梯形、矩形、平行四邊形的內(nèi)角時(shí)，也有了恰當(dāng)?shù)脑~匯。另外，銳角、鈍角的名稱也很形象生動(dòng)、貼切適當(dāng)?！颁J利”和“遲鈍”都是文學(xué)形容詞，帶有修辭作用，很容易讓學(xué)生理解。