蘭贈(zèng)連

學(xué)過(guò)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式后，對(duì)于公式中的“長(zhǎng)”“寬”分別表示什么的問(wèn)題，有相當(dāng)多的學(xué)生都只能寫(xiě)出其表面看得見(jiàn)的長(zhǎng)度數(shù)量，而想不到背后所隱含的與面積有關(guān)的實(shí)質(zhì)意義。究其原因主要是教師教學(xué)中重結(jié)果輕過(guò)程。因此，在“長(zhǎng)方形、正方形面積的計(jì)算”教學(xué)中，教師要突破現(xiàn)有教材內(nèi)容的局限，選擇合適的學(xué)具，讓學(xué)生親自參與測(cè)量、畫(huà)圖、觀察、思考、表達(dá)等學(xué)習(xí)活動(dòng)，進(jìn)而真正理解面積計(jì)算公式。

面積的本質(zhì)是什么？為什么面積的單位名稱(chēng)要加“平方”兩字？“長(zhǎng)方形、正方形面積的計(jì)算”教學(xué)僅僅讓學(xué)生記住其計(jì)算公式就可以嗎？要回答諸如此類(lèi)問(wèn)題，我們首先要了解“長(zhǎng)方形、正方形面積的計(jì)算”的教學(xué)現(xiàn)狀。

一、忽視面積本質(zhì)教學(xué)現(xiàn)狀一瞥

最近，筆者借助“停課不停學(xué)”期間建立班級(jí)學(xué)習(xí)群，對(duì)某校四年級(jí)某班學(xué)生進(jìn)行關(guān)于長(zhǎng)方形面積本質(zhì)學(xué)習(xí)成效的網(wǎng)上調(diào)研。筆者要求學(xué)生計(jì)算長(zhǎng)10厘米、寬6厘米的長(zhǎng)方形的面積，并寫(xiě)出算式中每個(gè)數(shù)表示的意義。該班參與答題的有42名學(xué)生，其中1名學(xué)生計(jì)算的是周長(zhǎng)而不是面積，因而其對(duì)各數(shù)意義的表述也是錯(cuò)的。41名學(xué)生計(jì)算長(zhǎng)方形的面積及寫(xiě)出算式中“60”的意義都是正確的，但是對(duì)算式中“10”“6”的意義卻只有4名學(xué)生寫(xiě)對(duì)，另外37名學(xué)生都是將它們分別寫(xiě)成表面上看得見(jiàn)的具體長(zhǎng)度——“10厘米”“6厘米”（如圖1），沒(méi)有寫(xiě)出背后所隱含的與面積有關(guān)的實(shí)質(zhì)意義。究其原因，一方面可能與學(xué)生對(duì)知識(shí)的遺忘有關(guān);另一方面更有可能與三年級(jí)下學(xué)期教師在教學(xué)“長(zhǎng)方形面積的計(jì)算”時(shí)重結(jié)果輕過(guò)程有關(guān)。

在一次“送培下鄉(xiāng)”活動(dòng)中，筆者執(zhí)教了“長(zhǎng)方形、正方形面積的計(jì)算”一課，突破現(xiàn)有教材內(nèi)容的局限，選擇合適的學(xué)具，讓學(xué)生親自參與測(cè)量、畫(huà)圖、觀察、思考、表達(dá)等學(xué)習(xí)活動(dòng)，經(jīng)歷探究過(guò)程，把握面積本質(zhì)，進(jìn)而真正理解面積計(jì)算公式。下面筆者就結(jié)合這次教學(xué)實(shí)踐談?wù)勛约旱淖龇ê退伎肌?/p>

二、對(duì)教材內(nèi)容的解析與思考

在教學(xué)人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)“長(zhǎng)方形、正方形面積的計(jì)算”的例4時(shí)，教師安排了3個(gè)層次的內(nèi)容：1.用畫(huà)格子或用1平方厘米的正方形測(cè)量長(zhǎng)5厘米、寬3厘米的長(zhǎng)方形的面積;2.用1平方厘米的正方形拼擺多個(gè)長(zhǎng)方形，并用表格記錄長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬和面積，據(jù)此發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的面積與長(zhǎng)和寬的關(guān)系，進(jìn)而概括出長(zhǎng)方形的面積公式;3.量出兩個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，再計(jì)算面積。因第2個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬相等，根據(jù)正方形和長(zhǎng)方形之間的關(guān)系，推導(dǎo)出正方形的面積公式。

首先，該例題只出現(xiàn)“平方厘米”這一種面積單位，沒(méi)有呈現(xiàn)學(xué)生已學(xué)過(guò)的所有面積單位。其次，在教學(xué)中教師如果讓學(xué)生完成例題中第1、2層次的測(cè)量、拼擺活動(dòng)存在3個(gè)難點(diǎn)：一是學(xué)具備齊難。所有的文具店都沒(méi)有1平方厘米大小的正方形，只好用硬紙板剪，結(jié)果既剪不標(biāo)準(zhǔn)，又因數(shù)量太多（一組至少要15個(gè)），工作量大，耗時(shí)長(zhǎng)。二是學(xué)生操作難。用硬紙板剪的1平方厘米的正方形小且輕，學(xué)生操作起來(lái)很困難，既難以做到無(wú)縫密鋪，又?jǐn)D占有限的課堂教學(xué)時(shí)間。三是同桌或小組合作難。因要測(cè)量的長(zhǎng)方形小，測(cè)量工具也小，既不便于同桌合作，更不便于四人小組合作。因此，筆者只好另想其他方法，第1層次的測(cè)量活動(dòng)改成用6個(gè)1平方分米的正方形測(cè)量長(zhǎng)是3分米、寬是2分米的長(zhǎng)方形的面積。這樣學(xué)具易準(zhǔn)備，學(xué)生也易操作。在方格圖上畫(huà)長(zhǎng)方形的活動(dòng)代替第2層次的拼擺活動(dòng)，并增加用面積測(cè)量器（透明塑料上印有1平方厘米的方格圖）測(cè)量長(zhǎng)方形面積的活動(dòng)。

三、經(jīng)歷探究過(guò)程? 把握面積本質(zhì)

（一）巧用故事留伏筆

上課伊始，教師出示螞蟻媽媽和小螞蟻的對(duì)話情境（如圖2）。

教師首先請(qǐng)學(xué)生讀螞蟻媽媽和小螞蟻的對(duì)話，然后讓學(xué)生找出其中的數(shù)學(xué)信息。

師：從螞蟻媽媽和小螞蟻的對(duì)話中，你發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)信息？

生：客廳地面是長(zhǎng)方形，要測(cè)量長(zhǎng)方形的面積。

生：用1平方分米的正方形測(cè)量客廳地面的面積。

……

由此，學(xué)生從螞蟻媽媽和小螞蟻關(guān)于“測(cè)量客廳地面的面積”的對(duì)話中引出測(cè)量工具——1平方分米的正方形;測(cè)量的對(duì)象——客廳地面，即長(zhǎng)方形的面積;知道測(cè)量面積要用面積單位。這個(gè)故事情境為本節(jié)課的學(xué)習(xí)設(shè)置了懸念，為后續(xù)幫助學(xué)生理解將測(cè)量面積轉(zhuǎn)化成測(cè)量長(zhǎng)度的可行性埋下伏筆，同時(shí)激發(fā)學(xué)生的探究欲望。

（二）直接測(cè)量求面積

教師先讓學(xué)生合作用1平方分米的正方形測(cè)量客廳地面的面積是多少平方分米（每組同桌都有6個(gè)1平方分米的正方形和1個(gè)代表客廳地面面積是6平方分米的長(zhǎng)方形），然后全班交流反饋。請(qǐng)4組不同鋪法的同桌同學(xué)上臺(tái)和全班同學(xué)分享是怎樣鋪和怎樣數(shù)的。

第1組用的是將6個(gè)1平方分米的正方形鋪滿長(zhǎng)方形且1個(gè)1個(gè)地?cái)?shù)的方法，得出“一共鋪了6個(gè)1平方分米的正方形，面積是6平方分米”的結(jié)論;第2、3、4組分別用5個(gè)、4個(gè)、3個(gè)1平方分米的正方形鋪在長(zhǎng)方形上，用1行鋪幾個(gè)、鋪幾行的方法數(shù)出，即“長(zhǎng)鋪了3個(gè)1平方分米，寬鋪了2行，列式是3×2，面積是6平方分米”。根據(jù)學(xué)生的回答，教師相機(jī)板書(shū)“6平方分米=3個(gè)1平方分米×2行”。

教師把上面鋪的4種圖形展示在屏幕上（如圖3），引導(dǎo)學(xué)生觀察、體會(huì)“這4組同桌同學(xué)鋪的方法——從鋪滿到?jīng)]鋪滿，用的正方形的個(gè)數(shù)越來(lái)越少，都測(cè)量出了客廳地面的面積”，接著指出：“像這樣用面積單位測(cè)量長(zhǎng)方形面積的方法叫作直接測(cè)量法?！?E：＼雜志＼江西教育B版＼2020年＼2020江教版10B＼經(jīng)歷探究-3.tif>

通過(guò)用面積單位1平方分米的正方形直接測(cè)量客廳地面的面積，從鋪滿到?jīng)]鋪滿，既使學(xué)生體會(huì)到測(cè)量工具的不斷減少及方法變得越來(lái)越簡(jiǎn)單，又使學(xué)生初步感知了面積單位的總個(gè)數(shù)與每行面積單位的個(gè)數(shù)、行數(shù)之間的關(guān)系。

（三）探尋本質(zhì)建模型

（1）說(shuō)出下列各圖形的面積。

教師讓學(xué)生通過(guò)觀察說(shuō)出圖4中兩個(gè)圖形的面積，進(jìn)一步感知不管是鋪滿還是沒(méi)鋪滿，都能看出1行有幾個(gè)面積單位，共有幾行，進(jìn)而列出乘法算式，求出相應(yīng)圖形的面積。情況①是鋪滿的情形：1行有4個(gè)1平方厘米，有3行，面積是12平方厘米。教師相機(jī)板書(shū)“12平方厘米=4個(gè)1平方厘米×3行”。情況②是沒(méi)鋪滿的情形：1行有5個(gè)1平方米，有4行，面積是20平方米。教師相機(jī)板書(shū)“20平方米=5個(gè)1平方米×4行”。

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察黑板上的3個(gè)等式“12平方厘米=4個(gè)1平方厘米×3行”“6平方分米=3個(gè)1平方分米×2行”“20平方米=5個(gè)1平方米×4行”，歸納得出：等號(hào)左邊的數(shù)量表示的是面積單位的總個(gè)數(shù)，等號(hào)右邊的第1個(gè)數(shù)量表示的是每行面積單位的個(gè)數(shù)，等號(hào)右邊的第2個(gè)數(shù)量表示的是行數(shù)。所以根據(jù)這3個(gè)等式可以概括出“面積單位的總個(gè)數(shù)=每行面積單位的個(gè)數(shù)×行數(shù)”。

至此，我們從包含3個(gè)不同面積單位的3個(gè)具體的等式，利用不完全歸納法，構(gòu)建出計(jì)算面積單位總個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)模型：“面積單位的總個(gè)數(shù)=每行面積單位的個(gè)數(shù)×行數(shù)”，揭示了面積的本質(zhì)是包含面積單位的總個(gè)數(shù)，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的思維過(guò)程。

（四）間接測(cè)量顯方便

師：剛才同學(xué)們用面積單位直接測(cè)量長(zhǎng)方形的面積。如果用直接測(cè)量法測(cè)量籃球場(chǎng)的面積，要用什么測(cè)量工具？

生：用1平方米的正方形來(lái)測(cè)量。

師：想一想，這樣測(cè)量會(huì)遇到什么問(wèn)題？

生：要準(zhǔn)備許多1平方米的正方形，太麻煩。

生：1平方米的正方形很大，不方便攜帶。

生：測(cè)量的時(shí)候，兩個(gè)正方形之間要拼接得沒(méi)有縫隙，很難操作。

師：用面積單位直接測(cè)量長(zhǎng)方形的面積這么麻煩，那有沒(méi)有更好的辦法呢？

教師在提出引發(fā)學(xué)生思維沖突問(wèn)題的同時(shí)出示圖5，先讓學(xué)生量出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，再要求學(xué)生用面積測(cè)量器來(lái)測(cè)量長(zhǎng)方形的面積，最后引導(dǎo)學(xué)生思考長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬的長(zhǎng)度分別與每行面積單位的個(gè)數(shù)、行數(shù)有什么關(guān)系：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是5厘米，每行就可以鋪5個(gè)1平方厘米;寬是3厘米就能鋪3行，面積是5×3=15（平方厘米）。

（2）量出下面長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。

教師小結(jié)：“剛才同學(xué)們不用鋪的方法，而是用量出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬的方法計(jì)算出了長(zhǎng)方形的面積。測(cè)量長(zhǎng)方形的面積，不用面積單位測(cè)量，而是用長(zhǎng)度單位測(cè)量，這種測(cè)量方法叫作間接測(cè)量法。這樣測(cè)量長(zhǎng)方形的面積既簡(jiǎn)單又方便?！?/p>

（五）看“長(zhǎng)”想“面”巧轉(zhuǎn)化

（3）先在下面方格圖上畫(huà)一個(gè) 長(zhǎng)方形，然后填一填。

是不是所有長(zhǎng)方形邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度都分別和每行面積單位的個(gè)數(shù)、行數(shù)存在著這樣的關(guān)系呢？教師讓學(xué)生完成圖6的要求，完成后先同桌交流，后讓多個(gè)學(xué)生上臺(tái)分享自己的做法和想法。因?yàn)楦鱾€(gè)學(xué)生畫(huà)的長(zhǎng)方形不同，教師要充分讓學(xué)生進(jìn)行多樣化的表達(dá)，從看得見(jiàn)的長(zhǎng)度數(shù)量想到看不見(jiàn)的面積數(shù)量，然后，引導(dǎo)學(xué)生歸納出“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”，并讓學(xué)生理解公式中的“長(zhǎng)”表示什么，“寬”表示什么。

（4）先量一量，再計(jì)算它們的面積。

然后，教師讓學(xué)生獨(dú)自完成圖7的要求，指名學(xué)生匯報(bào)自己做的結(jié)果：左邊長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是5厘米，寬是2厘米，面積是5×2=10（平方厘米）;右邊正方形的長(zhǎng)是3厘米，寬是3厘米，面積是3×3=9（平方厘米）。教師引導(dǎo)學(xué)生觀察第2個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬有什么特點(diǎn)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)第2個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是3厘米，寬也是3厘米，它是個(gè)正方形，就可順勢(shì)推導(dǎo)出“正方形的面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)”。

在此基礎(chǔ)上，教師回頭讓學(xué)生說(shuō)出兩個(gè)算式中的“5”“2”“3”“3”分別表示什么意義，學(xué)生用面積測(cè)量器驗(yàn)證，再說(shuō)出長(zhǎng)方形面積公式、正方形面積公式中的“長(zhǎng)”“寬”“邊長(zhǎng)”分別表示什么意義，使學(xué)生能真正理解長(zhǎng)方形面積、正方形面積與長(zhǎng)和寬、邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，做到看見(jiàn)長(zhǎng)和寬、邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度想到與之分別對(duì)應(yīng)的面積單位的個(gè)數(shù)和行數(shù)。

從求面積的數(shù)學(xué)模型：“面積單位的總個(gè)數(shù)=每行面積單位的個(gè)數(shù)×行數(shù)”，到長(zhǎng)方形、正方形面積公式，學(xué)生的思維經(jīng)歷了從一般到特殊的過(guò)程。

然后，教師回到課始的故事，問(wèn)學(xué)生：“學(xué)到這兒，你知道螞蟻媽媽想對(duì)小螞蟻說(shuō)什么嗎？”因?qū)W生對(duì)直接用面積單位測(cè)量的麻煩和間接用長(zhǎng)度單位測(cè)量的方便有了深刻體會(huì)，所以學(xué)生會(huì)說(shuō)：“螞蟻媽媽想對(duì)小螞蟻說(shuō)，不要用1平方分米的正方形去測(cè)量，只要量出客廳地面的長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度就可以了。”

總之，計(jì)算長(zhǎng)方形的面積，本來(lái)應(yīng)該用面積單位去測(cè)量，但因這種測(cè)量方法太麻煩，所以教師引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思路，用測(cè)量長(zhǎng)度的方法來(lái)計(jì)算面積。改變測(cè)量方法，但面積的本質(zhì)并沒(méi)有變化，因?yàn)殚L(zhǎng)、寬的長(zhǎng)度分別與每行面積單位的個(gè)數(shù)、行數(shù)之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系，即如長(zhǎng)是幾個(gè)長(zhǎng)度單位，就可以擺幾個(gè)相對(duì)應(yīng)的面積單位;寬是幾個(gè)長(zhǎng)度單位，就可以擺幾行。數(shù)值不變，變的只是意義。從直接測(cè)量法到間接測(cè)量法，教學(xué)的關(guān)鍵就是要讓學(xué)生通過(guò)參與測(cè)量、畫(huà)圖、觀察、思考、表達(dá)，經(jīng)歷“鋪滿—沒(méi)鋪滿—不鋪”的方法不斷簡(jiǎn)化的過(guò)程，學(xué)生體會(huì)到直接測(cè)量的麻煩與間接測(cè)量的方便，在明白將測(cè)量面積轉(zhuǎn)化成測(cè)量長(zhǎng)度的道理的同時(shí)，感知其中的變與不變，理解長(zhǎng)方形的面積與它的長(zhǎng)和寬之間的關(guān)系，進(jìn)而掌握面積的本質(zhì)。

（作者單位：福建省武平縣教師進(jìn)修學(xué)校）