陳惠芳

摘 要：?教材是呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要載體，是傳遞數(shù)學(xué)思想和方法的主要路徑。如果我們?cè)诮庾x教材例題、分析課后習(xí)題時(shí)，適時(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)拓展，延長(zhǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)視線(xiàn)。那么，無(wú)疑會(huì)幫助學(xué)生聚焦核心知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。讓學(xué)生優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，建立數(shù)學(xué)模型，豐厚數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，掌握解決問(wèn)題的路徑和方法，從而提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力和水平。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)拓展;深度學(xué)習(xí);數(shù)學(xué)思維

關(guān)于深度學(xué)習(xí)的理解，黎加厚教授認(rèn)為：“深度學(xué)習(xí)是在理解學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)者能夠批判性地學(xué)習(xí)新的思想和事實(shí)，并將它們?nèi)谌朐械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中，能夠在眾多的思想間進(jìn)行聯(lián)系，并能夠?qū)⒁延兄R(shí)遷移到新的情境中，做出決策和解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)?！痹谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要適時(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)拓展，延長(zhǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)視線(xiàn)，幫助學(xué)生聚焦核心知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

一、從例題處拓展，由“定數(shù)”到“變數(shù)”，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)

很多教師認(rèn)為“教材無(wú)非是個(gè)例子”。但是，從教學(xué)實(shí)踐看，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材是由一大批數(shù)學(xué)專(zhuān)家、數(shù)學(xué)名師精心編撰而成的，教材選用多少個(gè)例題、多少個(gè)習(xí)題，安排什么內(nèi)容的思考題等，都是經(jīng)過(guò)認(rèn)真研究、反復(fù)權(quán)衡的。因此，教材是呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要載體，也是傳遞數(shù)學(xué)思想和方法的主要路徑。對(duì)教材所選用的例題，我們決不能簡(jiǎn)單處理，既不能按部就班地簡(jiǎn)單教學(xué)，也不能“視而不見(jiàn)”，隨便更換教材例題，而應(yīng)該在認(rèn)真解讀教材的基礎(chǔ)上，以教材為藍(lán)本，進(jìn)行精加工，讓例題由薄變厚，幫助學(xué)生不斷優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

例如：蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)用“一一列舉”的策略解決實(shí)際問(wèn)題（如上圖），筆者教學(xué)時(shí)采用了以下四個(gè)步驟，對(duì)例題進(jìn)行了適度拓展。

1.問(wèn)題導(dǎo)學(xué)，自主學(xué)習(xí)。教師要求學(xué)生獨(dú)立思考：王大叔用22根1米長(zhǎng)的木條圍一個(gè)長(zhǎng)方形花圃，怎樣圍面積最大？

2.分享交流，有序思考。教師先邀請(qǐng)幾個(gè)學(xué)生上臺(tái)，分享自己的想法，進(jìn)行反饋，并通過(guò)比較突出有序思考，做到不重復(fù)不遺漏。

3.數(shù)形結(jié)合，尋找規(guī)律。教師出示課件，幫助學(xué)生理解怎樣通過(guò)一一列舉的方法，找到長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)的寬，求出這個(gè)花圃的面積（如下表）。教師讓學(xué)生觀察：有什么發(fā)現(xiàn)？

[長(zhǎng)方形的長(zhǎng)（米） 10 9 8 7 6 長(zhǎng)方形的寬（米） 1 2 3 4 5 面積（平方米） 10 18 24 28 30 ]

通過(guò)數(shù)形結(jié)合，比較觀察，初步得出：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)一定時(shí)，當(dāng)長(zhǎng)與寬越接近，長(zhǎng)方形花圃的面積越大。

4.適度拓展，變式練習(xí)。王大叔用24根1米長(zhǎng)的木條，靠一面墻圍成一個(gè)長(zhǎng)方形花圃，想一想，怎樣圍面積最大？（長(zhǎng)與寬取整米數(shù)）

[長(zhǎng)方形的長(zhǎng)（米） 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 長(zhǎng)方形的寬（米） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 面積（平方米） 22 40 54 64 70 72 70 64 54 40 22 ]

教師組織學(xué)生認(rèn)真觀察：現(xiàn)在又有什么發(fā)現(xiàn)？

相互交流后，有的學(xué)生開(kāi)始質(zhì)疑：現(xiàn)在怎么不是“長(zhǎng)與寬越接近時(shí)，長(zhǎng)方形花圃面積越大”？

教師組織學(xué)生進(jìn)行兩種情況的比較，再次觀察。

學(xué)生交流后得到：當(dāng)周長(zhǎng)一定，一面靠墻時(shí)，如果長(zhǎng)是寬的2倍，花圃的面積最大。

基于上面的教學(xué)思考，可以發(fā)現(xiàn)，教師從教材出發(fā)，進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣褂?xùn)練，在用一根定長(zhǎng)的線(xiàn)段圍一個(gè)長(zhǎng)方形時(shí)，有可能直接圍成幾個(gè)不同的長(zhǎng)方形，這時(shí)“長(zhǎng)與寬越接近，面積越大（正方形面積最大）”，而用這根定長(zhǎng)的線(xiàn)段一面靠實(shí)物（墻壁）去圍不同形狀的長(zhǎng)方形時(shí)，“長(zhǎng)是寬的2倍時(shí)，面積最大”。這樣的比較觀察、探索發(fā)現(xiàn)，由淺表的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向深層理解，幫助學(xué)生充分掌握一個(gè)面積最大的長(zhǎng)方形的內(nèi)在規(guī)律，而不是簡(jiǎn)單地得出一個(gè)規(guī)律，從而豐富了教材內(nèi)涵，幫助學(xué)生主動(dòng)優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

二、從例題處拓展：由“個(gè)”到“類(lèi)”，建立數(shù)學(xué)模型

縱觀蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，每一個(gè)例題所承載的知識(shí)點(diǎn)，都是按照一定的學(xué)習(xí)規(guī)律、邏輯規(guī)律，從易到難，呈螺旋上升的趨勢(shì)。在教學(xué)時(shí)，教師不妨從例題延伸開(kāi)去，拓展相關(guān)內(nèi)容，把一個(gè)個(gè)的知識(shí)點(diǎn)整合成一類(lèi)知識(shí)點(diǎn)，從而建立數(shù)學(xué)模型，幫助學(xué)生打破思維定式，深入理解和掌握知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力和水平。

例如：教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“列方程解決實(shí)際問(wèn)題”時(shí)，教師分四個(gè)層次進(jìn)行教學(xué)。

1.問(wèn)題導(dǎo)學(xué)，自主學(xué)習(xí)。借助導(dǎo)學(xué)單，學(xué)生獨(dú)立完成第1題和第2題。

2.交流助學(xué)，揭示主題。學(xué)生利用舊知，獨(dú)立解答上面兩道題。相互交流后，教師出示學(xué)生改編題：一輛客車(chē)和一輛貨車(chē)同時(shí)從相距540千米的兩地出發(fā)，相向而行，經(jīng)過(guò)3小時(shí)相遇?？蛙?chē)的速度是95千米/時(shí)，求貨車(chē)的速度是多少？有的學(xué)生改編的是：求客車(chē)的速度是多少？

教師啟發(fā)學(xué)生利用線(xiàn)段圖來(lái)理解題意，找出題中的數(shù)量關(guān)系，獨(dú)立解答。

教師啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生觀察改編的題目：它們所求問(wèn)題各不相同，但什么沒(méi)有變？

教師進(jìn)一步追問(wèn)：這3個(gè)題目，除了數(shù)量關(guān)系相同，它們還都是同時(shí)出發(fā)，最后都是相遇，但現(xiàn)實(shí)生活中所有的行程問(wèn)題一定都是同時(shí)出發(fā)、相向而行嗎？最后都是相遇的嗎？

3.改編例題，深化理解。教師出示下面一組題，不計(jì)算，觀察思考。

（1）一輛客車(chē)和一輛貨車(chē)同時(shí)從相距540千米的兩地出發(fā)，相向而行?？蛙?chē)的速度是95千米/時(shí)，貨車(chē)的速度是 85千米/時(shí)。幾小時(shí)后兩車(chē)相距360千米？

（2）一輛客車(chē)和一輛貨車(chē)同時(shí)從相距540千米的兩地出發(fā)，相向而行?？蛙?chē)的速度是95千米/時(shí)，貨車(chē)的速度是 85千米/時(shí)。幾小時(shí)后兩車(chē)還相距360千米？

（3）一輛客車(chē)和一輛貨車(chē)同時(shí)從相距540千米的兩地出發(fā)，相向而行?？蛙?chē)的速度是95千米/時(shí)，貨車(chē)的速度是 85千米/時(shí)。幾小時(shí)后兩車(chē)又相距360千米？

通過(guò)題組的形式，教師讓學(xué)生觀察、比較、發(fā)現(xiàn)，這3道題有什么相同之處，有什么不同之處？列的方程式是一樣的嗎？從而進(jìn)一步理解行程問(wèn)題的特點(diǎn)，掌握它們的解題規(guī)律。

4.由“個(gè)”到“類(lèi)”，順利建模。在此基礎(chǔ)上，教師出示下面幾道習(xí)題，不要求學(xué)生計(jì)算，讓他們列出方程式即可。

（1）媽媽買(mǎi)了一些蘋(píng)果和梨，一共用去20元，蘋(píng)果4千克，每千克3元，梨2千克，每千克多少元？

（2）小張和小李用25分鐘合打了一篇6000字的稿件，小張平均每分鐘大約打130個(gè)字，小李平均每分鐘大約打多少個(gè)字？

（3）李大伯用64米長(zhǎng)的籬笆圍了一個(gè)長(zhǎng)方形的菜地，如果這塊菜地的長(zhǎng)是19米，那么，它的寬是多少米？

學(xué)生交流后，教師要求他們?cè)俅斡^察：它們有什么相同的地方？

漸漸地，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這些題目里所講的事情，打字、圍長(zhǎng)方形、買(mǎi)蘋(píng)果和梨……雖然與行程問(wèn)題好像無(wú)關(guān)，但是透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，其實(shí)它們都是行程問(wèn)題衍生出來(lái)的子問(wèn)題。 因此，從例題處拓展，通過(guò)回顧舊知—提出問(wèn)題—嘗試探究—觀察比較—反饋建?！?hào)表示，可以提煉出“行程問(wèn)題”這一類(lèi)題的基本解題模式：甲路程+乙路程=總路程，或者（甲速+乙速）×相遇時(shí)間=總路程。

更為一般地，從小學(xué)一至六年級(jí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容來(lái)看，像這樣從教材例題出發(fā)，由“個(gè)”到“類(lèi)”，建立數(shù)學(xué)模型的類(lèi)型還有很多。這樣從“同一類(lèi)型組合”的拓展延伸，既增加了教材例題在單元教學(xué)或者整本書(shū)教學(xué)中的分量。而且，有層次的拓展練習(xí)有助于學(xué)生去情境化，摒棄非本質(zhì)屬性，聚焦知識(shí)本源，從點(diǎn)狀思維到類(lèi)狀思維，積累了豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，溝通前后知識(shí)之間的聯(lián)系。

三、從例題處拓展，由“一”生“三”， 發(fā)展數(shù)學(xué)思維

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)不僅僅是知識(shí)的傳遞，而且是學(xué)習(xí)者建構(gòu)自己知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程，這種建構(gòu)是通過(guò)新舊知識(shí)經(jīng)驗(yàn)之間的雙向的、反復(fù)的相互作用而實(shí)現(xiàn)的。在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂中，對(duì)于新課學(xué)習(xí)，教師總習(xí)慣于例題教學(xué)—模仿練習(xí)—鞏固深化—布置作業(yè)。學(xué)生熟悉了這樣的套路，久而久之，對(duì)新課的學(xué)習(xí)也就索然無(wú)味?？上驳氖?，新課改背景下越來(lái)越多的教師通過(guò)認(rèn)真研讀教材，跳出了原有的教學(xué)框架，創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情境，設(shè)計(jì)了富有挑戰(zhàn)性的探究任務(wù)，由“一”生“三”，讓學(xué)生在課堂上開(kāi)展深度學(xué)習(xí)，有力地促進(jìn)了數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

例如，一位教師在復(fù)習(xí)蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題”時(shí)，先出示“解決問(wèn)題的策略”中的一道例題：

星河小學(xué)美術(shù)組男生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的[25，]已知女生人數(shù)為21人，男生有多少人？

教師先讓學(xué)生回顧舊知，思考問(wèn)題：解決分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，可以分哪幾步進(jìn)行？要注意些什么？教師依次板書(shū)：理解題意—分析數(shù)量關(guān)系—列式解答—檢驗(yàn)，寫(xiě)上答句。

接著，學(xué)生用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決問(wèn)題，然后小組同學(xué)進(jìn)行交流。教師選擇幾個(gè)學(xué)生上臺(tái)講解，讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)運(yùn)用了哪些策略來(lái)進(jìn)行解答。

從學(xué)生分享的作品中（圖略），我們可以看到，大部分學(xué)生采用了畫(huà)圖的策略來(lái)做，有一部分學(xué)生用轉(zhuǎn)化的策略來(lái)做，還有一部分學(xué)生用方程來(lái)做。觀察比較后，教師追問(wèn)：我們?cè)诮鉀Q分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，究竟選擇怎樣的策略比較好呢？

學(xué)生獨(dú)立思考，師生一起梳理，解決分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，我們可以根據(jù)題目所呈現(xiàn)的信息，靈活選擇解題策略列式解答。接著，教師又出示了下面一組題：

（1）學(xué)校六年級(jí)生物小組養(yǎng)了120只黑兔，是白兔只數(shù)的[45]，白兔養(yǎng)了多少只？

（2）學(xué)校六年級(jí)生物小組養(yǎng)了120只黑兔，白兔的只數(shù)是黑兔只數(shù)的1.25倍（125%），白兔養(yǎng)了多少只？

（3）學(xué)校六年級(jí)生物小組養(yǎng)了一些白兔和黑兔，黑兔與白兔只數(shù)的比是4∶5，黑兔是120只，白兔養(yǎng)了多少只？

學(xué)生在解答這組題時(shí)，一方面重溫了小學(xué)階段學(xué)過(guò)的解決問(wèn)題的“畫(huà)圖、列表、轉(zhuǎn)化”等不同策略;另一方面，在六年級(jí)的復(fù)習(xí)課中，教師沒(méi)有進(jìn)行題海戰(zhàn)術(shù)，而是讓學(xué)生認(rèn)真比較這組題的不同之處，進(jìn)行解題后的反思。有的學(xué)生認(rèn)為，平時(shí)解決問(wèn)題時(shí)，我們要認(rèn)真看清條件和問(wèn)題的表述，有的題目表述不同，其實(shí)意思是一樣的;有的學(xué)生認(rèn)為，選擇什么策略，應(yīng)該從簡(jiǎn)單的想起;有的學(xué)生認(rèn)為，同一個(gè)題目，無(wú)論條件多么復(fù)雜，關(guān)鍵要找到對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系，再選擇適當(dāng)?shù)牟呗越獯稹?/p>

從上面的教學(xué)設(shè)計(jì)流程來(lái)看，教師從教材例題處拓展開(kāi)來(lái)，利用題組練習(xí)，幫助學(xué)生認(rèn)真梳理蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)從三年級(jí)到六年級(jí)所涉及的解決問(wèn)題的相關(guān)策略（以2019年為例），如下表所示。

[學(xué)習(xí)時(shí)間 “解決問(wèn)題的策略”內(nèi)容 三年級(jí)上學(xué)期 從已知條件出發(fā)分析問(wèn)題 三年級(jí)下學(xué)期 從所求問(wèn)題出發(fā)分析問(wèn)題 四年級(jí)上學(xué)期 靈活運(yùn)用從已知條件出發(fā)和從所求問(wèn)題出發(fā)來(lái)分析問(wèn)題 四年級(jí)下學(xué)期 畫(huà)圖 五年級(jí)上學(xué)期 一一列舉 五年級(jí)下學(xué)期 轉(zhuǎn)化 六年級(jí)上學(xué)期 假設(shè) 六年級(jí)下學(xué)期 靈活選擇和運(yùn)用適當(dāng)策略 ]

可見(jiàn)，這樣的復(fù)習(xí)教學(xué)，有效促進(jìn)了學(xué)生與學(xué)生之間的對(duì)話(huà)，幫助學(xué)生自覺(jué)反思策略形成過(guò)程，對(duì)解決問(wèn)題采用什么策略進(jìn)行深度研究，幫助學(xué)生由“一”生“三”，引導(dǎo)學(xué)生在舉例、畫(huà)圖、列表等不同策略的比較中，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從“知其然”到“知其所以然”的提升，更重要的是，讓學(xué)生豐富解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，深度體悟解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想和方法。

當(dāng)下，培育和發(fā)展學(xué)生的學(xué)科關(guān)鍵能力，提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)成為一線(xiàn)教師的追求。教學(xué)中，我們要從教材出發(fā)，認(rèn)真研讀，多元解讀，從教材例題處適度拓展，優(yōu)化、組合、重構(gòu)、創(chuàng)生學(xué)材。教師還要優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，突出核心內(nèi)容，真正站在學(xué)生的角度來(lái)思考教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生體驗(yàn)解決問(wèn)題的多樣性和豐富性，變枯燥的知識(shí)學(xué)習(xí)為主動(dòng)的探究行動(dòng)，并形成不同層次的數(shù)學(xué)思考力，提升學(xué)習(xí)力。

（作者單位：江蘇省張家港市梁豐小學(xué)）