唐和生 郭雪媛 薛松濤

（1.同濟(jì)大學(xué)結(jié)構(gòu)防災(zāi)減災(zāi)工程系，上海200092；2.同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200092）

0 引 言

結(jié)構(gòu)動力可靠性是指結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在規(guī)定的時(shí)間間隔內(nèi)，在隨機(jī)動力荷載作用下完成其預(yù)定功能的概率。結(jié)構(gòu)動力可靠性分析對基于性能的地震工程研究有著重要意義，為結(jié)構(gòu)滿足規(guī)定的性能指標(biāo)提供了概率性的評估標(biāo)準(zhǔn)。

在結(jié)構(gòu)動力可靠性問題中，當(dāng)結(jié)構(gòu)的某一與位移或速度響應(yīng)相關(guān)的量（例如，絕對位移、相對位移、控制點(diǎn)的應(yīng)力或應(yīng)變等）超過給定閾值（確定性的常量）時(shí)，認(rèn)為結(jié)構(gòu)失效。這種基于規(guī)定時(shí)間段內(nèi)累積失效概率的可靠性評估問題也被稱為首次超越問題。地震從發(fā)生到結(jié)束是一個(gè)具有明顯非平穩(wěn)性的隨機(jī)過程，即使是最簡單的結(jié)構(gòu)模型在非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下的失效概率解析解也無法獲得，而Monte Carlo 模擬（MCS）方法作為目前唯一的近似精確方法計(jì)算成本極其昂貴。根據(jù)首次超越問題的基本理論，現(xiàn)有的非平穩(wěn)隨機(jī)過程激勵(lì)下動力可靠性研究方法主要分為基于跨越率的方法和基于極值的方法。

Rice［1］首先提出了基于跨越率的方法，隨后在跨越事件的發(fā)生服從Poisson 過程且統(tǒng)計(jì)獨(dú)立假設(shè)的基礎(chǔ)上，出現(xiàn)了大量研究。石少卿等［2］應(yīng)用演變譜理論，通過求解多自由度線性體系在非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)作用下的響應(yīng)演變譜密度和時(shí)變均方響應(yīng)解決了首次超越問題。Chaudhuri 和Chakraborty［3］在頻域內(nèi)進(jìn)行隨機(jī)動力分析，得到隨機(jī)響應(yīng)的功率譜密度函數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)三維框架結(jié)構(gòu)的動力可靠性分析。Barbato和Vasta［4］在改進(jìn)后的Vanmarcke公式的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了多自由度線性系統(tǒng)失效概率的封閉解。如上所述均為首次超越問題的近似分析方法，為了計(jì)算首次超越問題，還需進(jìn)一步對首次超越事件的性質(zhì)進(jìn)行假定［5］。近年來，Andrieu-Renuad 等［6］提出一種PHI2 方法，引入一階可靠度方法（FORM），將跨越率的計(jì)算轉(zhuǎn)換為并聯(lián)的靜態(tài)問題并且得到了推廣［7］。然而在實(shí)際工程中，結(jié)構(gòu)動力可靠性分析為高度非線性且高維的隱式問題，這一類方法并不適用。因此，目前主要仍采用通過計(jì)算響應(yīng)的功率譜密度函數(shù)［8］，結(jié)合首次超越破壞準(zhǔn)則評估結(jié)構(gòu)動力可靠性。

基于極值方法的關(guān)鍵在于識別極限狀態(tài)函數(shù)的極值，在極值概率分布已知的情況下，時(shí)變可靠性問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)時(shí)不變問題?；跇O值的方法在小失效概率問題中，往往需要進(jìn)行大量的數(shù)值模擬［9］。為了提高計(jì)算效率，構(gòu)建極限狀態(tài)函數(shù)的代理模型方法已被廣泛研究［10-11］，然而絕大多數(shù)代理模型由于存在維數(shù)詛咒而不適用于非平穩(wěn)隨機(jī)過程激勵(lì)下的動力可靠性問題［12］。另一方面，研究者通過改進(jìn)采樣技術(shù)提高可靠性問題的計(jì)算效率。重要性采樣［13］將樣本從原始分布轉(zhuǎn)移到失效區(qū)域，以便更有效地抽取小概率事件。子集模擬方法［14］通過引入適當(dāng)?shù)闹虚g失效域，將原概率空間中的一個(gè)罕見事件的概率表示為條件概率空間中的序列事件概率的乘積，是近年來發(fā)展起來的一種計(jì)算小失效概率的高效可靠性分析方法［15］。

本文對目前常用的兩種結(jié)構(gòu)動力可靠性方法進(jìn)行對比研究，探討非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)頻譜特征及響應(yīng)閾值對兩種方法計(jì)算精度的不同影響，為結(jié)構(gòu)動力可靠性問題提供更為通用的分析方法。

1 基于跨越率的動力可靠性計(jì)算方法

根據(jù)首次超越理論，對于雙側(cè)界限的結(jié)構(gòu)動力可靠性問題，結(jié)構(gòu)在規(guī)定時(shí)間段［0，T］內(nèi)的動力可靠性為

式中：Pf(0，T)為累積失效概率；Y(t)為結(jié)構(gòu)在非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下的響應(yīng)；b是確定性閾值。

假定非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)Y(t)為零均值高斯隨機(jī)過程，相對于確定閾值b 的平均跨越率為νY(b，t)。通過對跨越率在時(shí)間段［0，T］內(nèi)的積分得到累積失效概率的解析上限：

式中：E[...]為期望算子；N(T)為T時(shí)刻前跨越閾值的次數(shù)。

傳統(tǒng)的Poisson 過程法基于任意兩次交叉事件與其發(fā)生的時(shí)間統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，服從（無記憶）Poisson 過程假設(shè)。隨著響應(yīng)閾值提高和響應(yīng)過程帶寬的增加（如線性彈性系統(tǒng)中阻尼水平的增加），Poisson 過程法結(jié)果趨近于精確解。然而對于低閾值水平和/或窄帶過程，Poisson過程法得到的是累積失效概率的保守值，將低估時(shí)變可靠性。

為克服Poisson 過程法的限制，Vanmarcke［16］認(rèn)為交叉事件是成群出現(xiàn)的且各群之間相互獨(dú)立，在雙態(tài)Markov 過程假設(shè)的基礎(chǔ)上提出了一種累積失效概率的改進(jìn)估計(jì)：

式中，σY(t)和σY?(t)分別為隨機(jī)過程Y(t)及其一階導(dǎo)數(shù)過程的標(biāo)準(zhǔn)差，并且有

式中，λk(t)=2ωkSyy(ω，t)dω 為隨機(jī)過程Y(t)的第k 階譜矩，可進(jìn)一步通過虛擬激勵(lì)法對非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下f(t)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)Y(t)進(jìn)行求解。

針對工程中常見的非平穩(wěn)隨機(jī)過程，Priestley提出一種演變譜過程模型，表示為

式中，A（t，ω）是t與ω 的確定性調(diào)制函數(shù)；Z（ω）是一個(gè)正交增量過程。

如果用A（t）代替A（t，ω），則非均勻調(diào)制演變譜退化為工程中常用的均勻調(diào)制演變譜。構(gòu)造如下形式的虛擬激勵(lì)：

此激勵(lì)在t 時(shí)刻產(chǎn)生的響應(yīng)為y?(ω，t)，可得任意響應(yīng)的自功率譜函數(shù)計(jì)算式為

式中，*表示取復(fù)數(shù)共軛，相應(yīng)的各階譜矩為

虛擬激勵(lì)法將非平穩(wěn)隨機(jī)運(yùn)動方程轉(zhuǎn)化為確定性外荷載作用下瞬態(tài)響應(yīng)方程，故可用Newmark-β 或Wilson-θ 法求解所關(guān)注物理量的虛擬響應(yīng)并得到其時(shí)變功率譜密度及各階譜矩。

盡管基于跨越率的方法在理論推導(dǎo)方面是合理的，但在實(shí)際應(yīng)用中通常會受到一些限制。首先，交叉事件的獨(dú)立性假設(shè)可能不成立，即使基于Markov 過程假設(shè)，動力可靠性的近似仍存在不可避免的誤差；其次，對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動力可靠性問題，跨越率求解不僅技術(shù)難度大，而且計(jì)算成本極高。

2 基于極值的動力可靠性計(jì)算方法

基于極值的方法關(guān)注結(jié)構(gòu)在規(guī)定時(shí)間段內(nèi)的極限狀態(tài)，由非平穩(wěn)隨機(jī)過程的演變譜表示理論，導(dǎo)出了非平穩(wěn)隨機(jī)過程模擬的一個(gè)譜表示方法，隨機(jī)激勵(lì)樣本函數(shù)由余弦級數(shù)公式計(jì)算產(chǎn)生：

式中，Δω=ωu/N，ωu表示計(jì)算截止頻率，超過ωu所對應(yīng)功率譜能量可忽略不計(jì)；θk為在［0，2π］區(qū)間上均勻分布、相互獨(dú)立的隨機(jī)相位角。

因此非平穩(wěn)隨機(jī)過程激勵(lì)可轉(zhuǎn)換為一組隨機(jī)變量θ=[θ1，...，θk]表示，動力可靠性問題被轉(zhuǎn)化為與時(shí)間無關(guān)的一個(gè)隱式非線性高維可靠性問題。定義結(jié)構(gòu)響應(yīng)在時(shí)間段［0，T］內(nèi)的極值變量：

式中，θ為隨機(jī)激勵(lì)的一次樣本。

極值法將結(jié)構(gòu)的動力可靠性問題轉(zhuǎn)換為對應(yīng)等效極值分布的求解，則根據(jù)首次超越理論，累積失效概率可表達(dá)為

基于抽樣的方法由于與維數(shù)無關(guān)且未對極限狀態(tài)函數(shù)做任何假設(shè)，目前是解決高維可靠性問題的唯一可行方法，本文采用子集模擬方法提高計(jì)算效率。子集模擬方法的基本思想是通過自適應(yīng)地引入m 層嵌套的中間事件，滿足FE1?FE2?…?FEm=FE，將小失效概率轉(zhuǎn)換成一系列相對較大的失效概率的乘積，即P(FEm)＜P(FEm-1)＜…＜P(FE1)。中間事件與目標(biāo)失效事件FE 的 表 達(dá) 相 似，定 義 為FEi={ye＞bi，i=1，…，m}(b=bm＞…＞b2＞b1)。其中，m 為中間事件的總數(shù)。為自適應(yīng)地確定中間事件，設(shè)定所有的中間條件概率為一常數(shù)p0，通常為兼顧準(zhǔn)確性與計(jì)算效率取值p0∈[0.1，0.3]。

因此子集模擬方法首先根據(jù)不確定參數(shù)概率分布通過MCS 產(chǎn)生第一層隨機(jī)樣本，然后采用MCMC 方法不斷產(chǎn)生中間事件相應(yīng)的樣本，最終子集模擬算法中的累積失效概率可表示為

3 數(shù)值算例

以單自由度結(jié)構(gòu)為例研究非平穩(wěn)隨機(jī)過程頻譜特征和響應(yīng)閾值兩個(gè)因素對基于跨越率和基于極值的動力可靠性計(jì)算方法精度的影響，并以樣本數(shù)為106的MCS 方法計(jì)算結(jié)果作為準(zhǔn)確值。單自由度結(jié)構(gòu)受到非平穩(wěn)地震激勵(lì)時(shí)的運(yùn)動方程為

式中，m=20 000 kg；c 和k 分別為質(zhì)量、阻尼和剛度；u(t)、u?(t)和u(t)分別為位移、速度和加速度。

結(jié)構(gòu)所受非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)的調(diào)制函數(shù)為

式中，T=20 s，ta=2.5s，tb=10 s，β=0.1，計(jì)算步長Δt=0.02 s，功率譜密度函數(shù)取Kanai-Tajimi模型：

式中，ξg=0.6。

本研究中各計(jì)算工況見表1，各工況下功率譜密度函數(shù)如圖1 所示。各工況中非平穩(wěn)隨機(jī)過程頻譜特征ωg和S0取值滿足非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)所包含總能量相同。

表1 計(jì)算工況Table 1 Calculation condition

圖1 功率譜密度函數(shù)Fig.1 Power spectral density functions

位移響應(yīng)的絕對值超過閾值b 則認(rèn)為結(jié)構(gòu)失效，各工況下閾值分別設(shè)置為0.85 m、0.9 m 和0.95 m，用于比較響應(yīng)閾值對動力可靠性計(jì)算結(jié)果的影響。對各工況分別采基于跨越率的方法、基于極值的方法和MCS 方法進(jìn)行分析，其中基于極值的子集模擬算法中參數(shù)取值p0=0.3，第一層樣本數(shù)為2 500。

4 結(jié)果分析

首先考慮非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)的頻譜特征對動力可靠性計(jì)算的影響。位移響應(yīng)閾值均取b=0.09 m時(shí)，不同Kanai-Tajimi模型中的地基土卓越圓頻率ωg對應(yīng)6 個(gè)工況，采用基于跨越率的方法和基于極值的方法計(jì)算得到的累積失效概率隨持時(shí)的變化曲線分別于MCS方法對比如圖2所示。

由圖2 可以看出，對于不同的非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)頻譜特征ωg和S0，基于極值的方法與基于跨越率的方法相比，計(jì)算結(jié)果都與MCS 方法更為相近，即計(jì)算精度更高；隨著失效概率的增大，基于跨越率方法的誤差逐漸減小，其中工況3、工況4的跨越率方法累積失效概率曲線與MCS 方法幾乎重合；在計(jì)算效率方面，以工況3 為例，基于極值的方法所需時(shí)程分析總數(shù)為21 265 次，約為MCS 方法計(jì)算量的2.13%，計(jì)算效率顯著提高，而基于跨越率的方法本質(zhì)為求數(shù)值解計(jì)算成本極低。

同時(shí)考慮非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)頻譜特性及響應(yīng)閾值兩個(gè)影響因素，圖3 及表2、表3 為兩種方法計(jì)算各工況在T=20 s 的累積失效概率與MCS 方法的相對誤差。結(jié)果表明：①非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)的頻譜特征對基于跨越率的方法有明顯影響，當(dāng)Kanai-Tajimi 模型中的地基土卓越圓頻率ωg與結(jié)構(gòu)圓頻率ωS=3.704πrad/s 差距增大，計(jì)算精度顯著下降；②響應(yīng)閾值對功率譜方法的準(zhǔn)確性也有一定影響，隨響應(yīng)閾值的降低，計(jì)算精度有所改善，且基于跨越率的方法對可靠性預(yù)測大部分偏保守；③基于極值的方法對隨機(jī)激勵(lì)的頻譜特征和響應(yīng)閾值并不敏感，且由于樣本抽取的隨機(jī)性，誤差有微小變化，表明基于極值的方法在各種情況下均保持較高的計(jì)算精度。

5 結(jié)論

本文對非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)動力可靠性分析的兩種常用方法進(jìn)行了對比研究，分析了非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)頻譜特征及響應(yīng)閾值兩種因素對于動力可靠性方法計(jì)算精度的影響。主要結(jié)論如下：

圖2 b=0.09 m時(shí)累積失效概率Fig.2 Cumulative probability of failure for b=0.09 m

圖3 20 s時(shí)相對誤差對比Fig.3 Comparison of relative error at 20 s

表2 T=20 s跨越率方法相對誤差Table 2 Relative error of out-crossing rate based method at 20 s

表3 T=20 s極值方法相對誤差Table 3 Relative error of extreme value based method at 20 s

（1）基于跨越率的方法在計(jì)算累積失效概率時(shí)，受到非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)的頻譜特征影響顯著，當(dāng)Kanai-Tajimi 模型中的地基土卓越圓頻率與結(jié)構(gòu)圓頻率接近時(shí)，計(jì)算精度顯著提高。

（2）隨著定義失效事件的響應(yīng)閾值提高，基于跨越率方法的動力可靠性計(jì)算誤差逐漸增大。響應(yīng)閾值和非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)頻譜特征對于基于跨越率方法的精度影響，本質(zhì)均表現(xiàn)為該方法在小失效概率問題中誤差較大。

（3）基于極值的方法與基于跨越率的方法相比，在各種工況中均具有良好的精度，不受到非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)頻譜特征和響應(yīng)閾值的影響。并且作為一種本質(zhì)為數(shù)值模擬的方法，與傳統(tǒng)的MCS 方法相比具有相當(dāng)高的計(jì)算效率。因此，基于極值的方法是一種具有更廣泛適用性的動力可靠性分析方法。