陜西 邢彥君 邢 星

萬有引力定律與天體運(yùn)動(dòng)，是高考的必考點(diǎn)。涉及此考點(diǎn)的試題，常涉及萬有引力定律的簡(jiǎn)單應(yīng)用、環(huán)繞圓周運(yùn)動(dòng)、環(huán)繞橢圓運(yùn)動(dòng)、衛(wèi)星的變軌、天體自轉(zhuǎn)、雙星運(yùn)動(dòng)等模型或情境，還會(huì)涉及天體表面的重力加速度、天體的密度的考查等。本文以近年高考真題中的萬有引力定律及天體運(yùn)動(dòng)問題為例，從八個(gè)方面逐一分析，希望能對(duì)2020年高考復(fù)課教學(xué)有所裨益。

一、萬有引力定律——美妙的平方反比律

【例1】(2019年全國(guó)卷Ⅱ第14題)2019年1月，我國(guó)“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器成功在月球背面軟著陸，在探測(cè)器“奔向”月球的過程中，用h表示探測(cè)器與地球表面的距離，F(xiàn)表示它所受的地球引力，能夠描述F隨h變化關(guān)系的圖象是

( )

A

B

C

D

【點(diǎn)評(píng)】牛頓在開普勒行星運(yùn)動(dòng)第三定律的基礎(chǔ)上，將行星的公轉(zhuǎn)軌道視為正圓，用他的第二定律推導(dǎo)并運(yùn)用月地檢驗(yàn)，然后推廣，發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律；哈雷運(yùn)用萬有引力定律成功預(yù)測(cè)了彗星的回歸；牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律100多年后，卡文迪許利用扭秤測(cè)出了引力常量G的值；在天體的環(huán)繞運(yùn)動(dòng)模型中，天體均可視為質(zhì)量集中在球心的質(zhì)點(diǎn)。

二、環(huán)繞圓周運(yùn)動(dòng)——軌道半徑?jīng)Q定一切

【例2】(2018年全國(guó)卷Ⅲ第15題)為了探測(cè)引力波，“天琴計(jì)劃”預(yù)計(jì)發(fā)射地球衛(wèi)星P，其軌道半徑約為地球半徑的16倍；另一地球衛(wèi)星Q的軌道半徑約為地球半徑的4倍。P與Q的周期之比約為

( )

A.2∶1 B.4∶1 C.8∶1 D.16∶1

三、變軌運(yùn)動(dòng)——速度可影響軌道

【例3】(2016年天津卷第3題)我國(guó)即將發(fā)射“天宮二號(hào)”空間實(shí)驗(yàn)室，之后發(fā)射“神舟十一號(hào)”飛船與“天宮二號(hào)”對(duì)接。假設(shè)“天宮二號(hào)”與“神舟十一號(hào)”都圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，為了實(shí)現(xiàn)飛船與空間實(shí)驗(yàn)室的對(duì)接，下列措施可行的是

( )

圖1

A.使飛船與空間實(shí)驗(yàn)室在同一軌道上運(yùn)行，然后飛船加速追上空間實(shí)驗(yàn)室實(shí)現(xiàn)對(duì)接

B.使飛船與空間實(shí)驗(yàn)室在同一軌道上運(yùn)行，然后空間實(shí)驗(yàn)室減速等待飛船實(shí)現(xiàn)對(duì)接

C.飛船先在比空間實(shí)驗(yàn)室半徑小的軌道上加速，加速后飛船逐漸靠近空間實(shí)驗(yàn)室，兩者速度接近時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)接

D.飛船先在比空間實(shí)驗(yàn)室半徑小的軌道上減速，減速后飛船逐漸靠近空間實(shí)驗(yàn)室，兩者速度接近時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)接

【解析】“神舟十一號(hào)”圍繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑小于“天宮二號(hào)”圍繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，對(duì)“神舟十一號(hào)”實(shí)施加速變軌，使其做離心運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它的橢圓軌道內(nèi)切于“天宮二號(hào)”的軌道時(shí)兩者等速相遇，可實(shí)現(xiàn)對(duì)接，故選項(xiàng)C正確。

【點(diǎn)評(píng)】衛(wèi)星或人造飛行器環(huán)繞天體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，使其突然加速，將做離心運(yùn)動(dòng)進(jìn)入橢圓軌道，其橢圓軌道在加速點(diǎn)外切于變軌前的圓軌道；使其突然減速，將做近心運(yùn)動(dòng)進(jìn)入橢圓軌道，其橢圓軌道在減度點(diǎn)內(nèi)切于變軌前的圓軌道。衛(wèi)星或人造飛行器環(huán)繞天體做橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，在遠(yuǎn)地點(diǎn)使其突然適當(dāng)加速，將做離心運(yùn)動(dòng)進(jìn)入圓軌道，其圓軌道在加速點(diǎn)外切于變軌前的橢圓軌道；使其在近地點(diǎn)突然適當(dāng)減速，將做近心運(yùn)動(dòng)進(jìn)入圓軌道，其圓軌道在減速點(diǎn)內(nèi)切于變軌前的圓軌道。

四、環(huán)繞橢圓運(yùn)動(dòng)——速率與加速度同變

【例4】(2019年江蘇卷第4題)1970年成功發(fā)射的“東方紅一號(hào)”是我國(guó)第一顆人造地球衛(wèi)星，該衛(wèi)星至今仍沿橢圓軌道繞地球運(yùn)動(dòng)。如圖2所示，設(shè)衛(wèi)星在近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度分別為v1、v2，近地點(diǎn)到地心的距離為r，地球質(zhì)量為M，引力常量為G。則

( )

圖2

【點(diǎn)評(píng)】開普勒第三定律推論1適用于行星環(huán)繞太陽(yáng)的圓周運(yùn)動(dòng)，若行星環(huán)繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，行星軌道半長(zhǎng)軸的三次方與周期的二次方成正比；推論2適用于多個(gè)天體環(huán)繞非太陽(yáng)的中心天體的橢圓軌道或圓軌道運(yùn)動(dòng)。

五、天體自轉(zhuǎn)不瓦解——密度與轉(zhuǎn)速相制約

【例5】(2018年全國(guó)卷Ⅱ第16題)2018年2月，我國(guó)500 m 口徑射電望遠(yuǎn)鏡(天眼)發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318+0253”，其自轉(zhuǎn)周期T=5.19 ms，假設(shè)星體為質(zhì)量均勻分布的球體，已知萬有引力常量為6.67×10-11N·m2/kg2。以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值約為

( )

A.5×109kg/m3B.5×1012kg/m3

C.5×1015kg/m3D.5×1018kg/m3

六、雙星運(yùn)動(dòng)——周期相同的同心圓運(yùn)動(dòng)

【例6】(2018年全國(guó)卷Ⅰ第20題)2017年，人類第一次直接探測(cè)到來自雙中子星合并的引力波。根據(jù)科學(xué)家們復(fù)原的過程，在兩顆中子星合并前約100 s時(shí)，它們相距約400 km，繞二者連線上的某點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)動(dòng)12圈，將兩顆中子星都看做是質(zhì)量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬有引力常量并利用牛頓力學(xué)知識(shí)，可以估算出這一時(shí)刻兩顆中子星

( )

A.質(zhì)量之積 B.質(zhì)量之和

C.速率之和 D.各自的自轉(zhuǎn)角速度

七、外星上的物理過程——物理規(guī)律都相同

【例7】(2019年全國(guó)卷Ⅰ第21題)在星球M上將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上，把物體P輕放在彈簧上端，P由靜止向下運(yùn)動(dòng)，物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關(guān)系如圖3中實(shí)線所示。在另一星球N上用完全相同的彈簧，改用物體Q完成同樣的過程，其a-x關(guān)系如圖3中虛線所示，假設(shè)兩星球均為質(zhì)量均勻分布的球體。已知星球M的半徑是星球N的3倍，則

( )

圖3

A.M與N的密度相等

B.Q的質(zhì)量是P的3倍

C.Q下落過程中的最大動(dòng)能是P的4倍

D.Q下落過程中彈簧的最大壓縮量是P的4倍

八、飛出地球去——三種宇宙速度

【例8】(2019年北京卷第18題)2019年5月17日，我國(guó)成功發(fā)射第45顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星，該衛(wèi)星屬于地球靜止軌道衛(wèi)星(同步衛(wèi)星)。該衛(wèi)星

( )

A.入軌后可以位于北京正上方

B.入軌后的速度大于第一宇宙速度

C.發(fā)射速度大于第二宇宙速度

D.若發(fā)射到近地圓軌道所需能量較少

【解析】地球靜止軌道衛(wèi)星(同步衛(wèi)星)的工作軌道在赤道平面，運(yùn)動(dòng)中衛(wèi)星不可能通過或位于北京正上方，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；第一宇宙速度是近地衛(wèi)星(軌道半徑等于地球半徑)環(huán)繞地心圓周運(yùn)動(dòng)的速度，是地球衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，地球靜止軌道衛(wèi)星的軌道半徑大于地球半徑，約為地球半徑的6.6倍，因此，入軌后的速度小于第一宇宙速度，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由于地球靜止軌道衛(wèi)星在地球引力作用下環(huán)繞地心運(yùn)動(dòng)，其發(fā)射速度小于第二宇宙速度，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；將衛(wèi)星發(fā)送至預(yù)定軌道，需要克服地球引力做功而消耗能量，發(fā)射到高度較低的近地圓軌道克服地球引力做功較少，所需能量較少，故選項(xiàng)D正確。

【點(diǎn)評(píng)】第一宇宙速度是近地衛(wèi)星環(huán)繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的速度(相對(duì)地心)，是衛(wèi)星環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)的最大速度，也稱最大環(huán)繞速度；第二宇宙速度是物體脫離地球引力束縛，環(huán)繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的最小速度(相對(duì)地心)，也稱脫離速度；第三宇宙速度是物體脫離太陽(yáng)引力束縛，離開太陽(yáng)系的最小速度(相對(duì)地心)，也稱逃逸速度。在地面上發(fā)射衛(wèi)星或人造飛行器，當(dāng)發(fā)射速度大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度時(shí)，將環(huán)繞地球做橢圓運(yùn)動(dòng)，發(fā)射速度越大，橢圓軌道的長(zhǎng)軸越長(zhǎng)；當(dāng)發(fā)射速度大于第二宇宙速度小于第三宇宙速度時(shí)，將環(huán)繞太陽(yáng)做橢圓運(yùn)動(dòng)，發(fā)射速度越大，橢圓軌道的長(zhǎng)軸越長(zhǎng)。所有的地球同步衛(wèi)星，在同一軌道上沿地球自轉(zhuǎn)方向做相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。