周慧倩

(洛陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,河南 洛陽 471934)

0 引言

向量是高等代數(shù)的重要概念，而向量之間的線性相關(guān)性是其中至關(guān)重要的內(nèi)容，是解決線性方程組等諸多問題的理論基礎(chǔ)，這部分知識的教學(xué)組織和研究也備受關(guān)注，很多教學(xué)工作者在這方面做出了思考與探索[1-3]。教材中相關(guān)習(xí)題的選取也極具代表性，本文探討對其中一個典型證明題的推廣。

文獻(xiàn)[3]第三章習(xí)題第6題有這樣一個結(jié)論：設(shè)向量組α1,α2,α3線性無關(guān)，那么向量組α1+α2,α2+α3,α3+α1也線性無關(guān)[4]。

1 一種錯誤推廣

如果不仔細(xì)思考，很容易想當(dāng)然地將上述結(jié)論向s個情形進(jìn)行推廣。

設(shè)向量組α1,α2,…,αs線性無關(guān)，那么向量組

α1+α2,α2+α3,…,αs+α1

(1)

也線性無關(guān)。

但是事實上這個結(jié)論并非總是成立，文獻(xiàn)[5]習(xí)題四第9題恰是一個反例[5]，下面進(jìn)行具體分析。

例1 設(shè)k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+…+ks(αs+α1)=0，則(k1+ks)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3…+(ks-1+

ks)αs=0。

由α1,α2,…,αs線性無關(guān)可得

(2)

這個齊次線性方程組并不一定只有零解。該方程組含有s個方程s個未知量，它的系數(shù)行列式

按第一行展開可得

等號右邊的兩個行列式分別是下三角形和上三角形的s-1級行列式，因此d=1+(-1)1+s。

當(dāng)s為奇數(shù)時，d=2≠0，方程組(2)只有零解；當(dāng)s為偶數(shù)時，d=0，方程組(2)有非零解。于是可以得到如下結(jié)論。

定理1設(shè)向量組α1,α2,…,αs線性無關(guān)，那么向量組α1+α2,α2+α3,…,αs+α1當(dāng)s為奇數(shù)時線性無關(guān)，當(dāng)s為偶數(shù)時線性相關(guān)。

2 正確推廣

如果進(jìn)行以下推廣，則推廣總是成立的。

定理2設(shè)向量組α1,α2,…,αs線性無關(guān)，那么向量組

α2+α3+…+αs,α1+α3+…+αs,…,α1+α2+…+αs-1

(3)

也線性無關(guān)。

證明設(shè)k1(α2+α3+…+αs)+k2(α1+α3+…+αs)+…+ks(α1+α2+…+αs-1)=0,則(k2+k3+…+ks)α1+(k1+k3+…+ks)α2+…+(k1+k2+…+ks-1)αs=0。

由α1,α2,…,αs線性無關(guān)可得

(4)

齊次線性方程組(4)一定只有零解，該方程組含有s個方程,s個未知量，系數(shù)行列式

將第2,3,…,s列都加到第一列，可得

再將第一行乘以-1后加到以下各行，得

可見總有d≠0，于是(3)一定線性無關(guān)。

關(guān)于此定理還有如下一個密切相關(guān)的結(jié)論，也出自文獻(xiàn)[5]第三章習(xí)題的第17題，該習(xí)題隱含以下定理。

定理3向量組α1,α2,…,αs與向量組α2+α3+…+αs,α1+α3+…+αs,…,α1+α2+…+αs-1等價[4，6]。

證明令β1=α2+α3+…+αs,β2=α1+α3+…+αs,…,βs=α1+α2+…+αs-1，那么β1,β2,…,βs可由α1,α2,…,αs線性表示。

綜上可知，向量組α1,α2,…,αs和β1,β2, …,βs等價。由此也可以證明定理2。