白 旭,王 珂,趙春陽,屠本陽

(江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院, 鎮(zhèn)江 212100)

耐壓球殼作為載人潛水器的重要組件,一方面為潛器提供浮力,另一方面保證技術(shù)人員以及儀器設(shè)備的水下安全,在整個系統(tǒng)中起到了決定性的作用．基于工作環(huán)境等因素的考慮,耐壓殼體的制作材質(zhì)大多選用了鈦合金,在潛水器的下潛過程中承受的循環(huán)載荷將引起其疲勞破壞．大多情況下,結(jié)構(gòu)疲勞分析采用確定性的方法進(jìn)行,然而不論是材料特性、載荷本身等都具有不確定性的特征,而這些特征正是影響疲勞壽命的不確定性因素．針對這些疲勞裂紋擴(kuò)展過程中存在的不確定性,已有大量的學(xué)者采用可靠性理論對裂紋擴(kuò)展過程進(jìn)行了分析,但其裂紋擴(kuò)展過程中的不確定材料參數(shù)特征的研究還很缺乏,而這極大地影響了可靠性分析的精確性．

為了解決不確定材料參數(shù)對于裂紋擴(kuò)展中的可靠性的影響．一些學(xué)者提出了可靠性理論與裂紋擴(kuò)展理論相結(jié)合的辦法并開展了疲勞裂紋擴(kuò)展模型的研究．文獻(xiàn)[1]通過改進(jìn)的McEvily模型給出了鈦合金耐壓球殼的疲勞可靠性模型,在模型中對隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上,采用重要樣本法得到了耐壓球殼的可靠性指標(biāo)及失效概率．文獻(xiàn)[2]研究了結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性分析方法,建立了結(jié)構(gòu)可靠性分析模型,得到了求取結(jié)構(gòu)系統(tǒng)疲勞主要失效模式的方法,并討論了系統(tǒng)失效概率的計(jì)算問題．而在可靠性極限狀態(tài)方程的建立時,必須考慮裂紋擴(kuò)展模型對于其失效概率的影響．文獻(xiàn)[3]針對金屬材料疲勞小裂紋擴(kuò)展特點(diǎn),在改進(jìn)疲勞壽命預(yù)報統(tǒng)一方法的基礎(chǔ)上對裂紋長度及小裂紋門檻值進(jìn)行了進(jìn)一步修正．文獻(xiàn)[4]進(jìn)行了3種應(yīng)力水平下2024-T62鋁合金的疲勞裂紋擴(kuò)展試驗(yàn),利用試驗(yàn)數(shù)據(jù)對疲勞裂紋擴(kuò)展的分散性進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析,認(rèn)為其疲勞裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)數(shù)據(jù)服從對數(shù)正態(tài)分布．文獻(xiàn)[5]將裂紋擴(kuò)展率分子項(xiàng)的冪指數(shù)由固定值改為變量,使得該模型具備對不同材料的裂紋擴(kuò)展進(jìn)行預(yù)報的能力．文獻(xiàn)[6]通過對不同溫度下6151-T6合金的研究,獲得了一種基于可靠性理論的裂紋擴(kuò)展速率表達(dá)式,為預(yù)測6151-T6鋁合金構(gòu)件的安全壽命提供依據(jù)．文獻(xiàn)[7]對新的裂紋擴(kuò)展速率模型中確定參數(shù)的工程方法進(jìn)行了研究,并與多種合金的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較．文獻(xiàn)[8]進(jìn)行了應(yīng)力比對Ti-6Al-4V小裂紋疲勞擴(kuò)展影響的系統(tǒng)研究,認(rèn)為根據(jù)裂紋尺寸繪制應(yīng)力比對小裂紋擴(kuò)展速率有適度的影響．

概率分布模型的確定是對不確定材料參數(shù)進(jìn)行分布特性研究的基礎(chǔ),其分布特性可以體現(xiàn)載荷與材料存在的分散性．文獻(xiàn)[9]通過對16MnR壓力容器熱軋鋼三點(diǎn)彎曲帶缺口試樣的低周疲勞實(shí)驗(yàn)得到了低周疲勞裂紋萌生壽命服從對數(shù)正態(tài)分布．文獻(xiàn)[10]研究了疲勞裂紋損傷對結(jié)構(gòu)極限強(qiáng)度的影響,認(rèn)為裂紋分布位置的差異會導(dǎo)致不同程度的極限強(qiáng)度退化．文獻(xiàn)[11]提出了在恒定振幅和可變振幅載荷下疲勞裂紋擴(kuò)展分析中不確定性概率方法,采取降維技術(shù)分析疲勞裂紋擴(kuò)展中的不確定性．文獻(xiàn)[12]利用概率統(tǒng)計(jì)理論建立了p-da/dN-K成組法,并與a-N統(tǒng)計(jì)法作了對比研究,認(rèn)為其與試驗(yàn)結(jié)果符合較好．文獻(xiàn)[13]在傳統(tǒng)威布爾可靠性分析和基于支持向量機(jī)的圖估計(jì)法的基礎(chǔ)上,開發(fā)了帶有可視化界面的威布爾分布參數(shù)確定程序．

與Paris模型相比,Walker模型能很好地對裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展階段進(jìn)行預(yù)報,其形式簡單、參數(shù)較少．因此,文中將疲勞裂紋擴(kuò)展理論作為基礎(chǔ),基于Walker裂紋擴(kuò)展模型得到不確定性材料參數(shù)n、m、C,應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)中的正態(tài)分布及兩參數(shù)威布爾分布描述其分散性和分布特性,為鈦合金疲勞裂紋擴(kuò)展可靠性研究提供依據(jù)．

1 疲勞裂紋擴(kuò)展模型參數(shù)的確定

1.1 鈦合金疲勞裂紋擴(kuò)展速率試驗(yàn)

裂紋擴(kuò)展速率試驗(yàn)是高循環(huán)低載荷的一種試驗(yàn),屬于線彈性范圍內(nèi)的疲勞裂紋擴(kuò)展速率試驗(yàn)．目前主要基于線彈性斷裂力學(xué)理論,使用應(yīng)力強(qiáng)度因子來描述疲勞裂紋擴(kuò)展速率,并認(rèn)為裂紋擴(kuò)展速率由應(yīng)力強(qiáng)度因子范圍唯一確定．在室溫環(huán)境下進(jìn)行,得到鈦合金在不同應(yīng)力比下的疲勞裂紋擴(kuò)展速率(ΔK-da/dN)曲線．

試樣根據(jù)GB/T 6398-2000《金屬材料疲勞裂紋擴(kuò)展速率試驗(yàn)方法》進(jìn)行CT(compact tensile)試樣加工制備,試樣寬度W=60 mm,試樣厚度B=25 mm,兩孔跨距S=75 mm,加力孔直徑D=12.5 mm．新型鈦合金分為5個不同載荷比進(jìn)行試驗(yàn),試樣如圖1．

圖1 CT試樣Fig.1 CT specimen

鈦合金疲勞裂紋擴(kuò)展速率試驗(yàn)在江蘇科技大學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行,試驗(yàn)機(jī)和引伸計(jì)的精度均滿足國標(biāo)GB/T 6398-2000《金屬材料疲勞裂紋擴(kuò)展速率試驗(yàn)辦法》和美國標(biāo)準(zhǔn)ASTME649《Standard Test Method for Measurement of Fatigue Crack Growth Rates》的要求,試驗(yàn)機(jī)型號為INSTRON,試驗(yàn)過程如圖2,CT試件斷口外貌如圖3．

圖2 INSTRON試驗(yàn)平臺

圖3 CT試件斷口外貌

圖4 不同載荷比裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)數(shù)據(jù)Fig.4 Test data of crack growth under different load ratios

1.2 Walker模型參數(shù)的確定

Walker模型[14]是工程應(yīng)用中常用的一種描述裂紋擴(kuò)展速率的數(shù)學(xué)模型,它可以對不同應(yīng)力比的裂紋擴(kuò)展數(shù)據(jù)進(jìn)行適用,其公式為：

da/dN=C(ΔK(1-R)m-1)nR≥0

(1)

式中，m、n、C為材料常數(shù)．

Walker公式中da/dN=C(ΔK(1-R)m-1)n的對數(shù)線性化表達(dá)式為：

Y=a0+a1x1+a2x2

(2)

式中:Y=lg(da/dN),X=lg(ΔK),a0=lgC,a1=n,a2=n(m-1)

Walker模型對裂紋擴(kuò)展速率是關(guān)于應(yīng)力比R的修正模型,根據(jù)疲勞裂紋擴(kuò)展速率da/dN和應(yīng)力強(qiáng)度因子幅值ΔK的試驗(yàn)數(shù)據(jù),可作不同應(yīng)力比下的裂紋擴(kuò)展關(guān)系擬合曲線,進(jìn)而得到C、n、m的取值,結(jié)果見表1．

表1 Walker模型下的n、m、C數(shù)值統(tǒng)計(jì)表Table 1 Numerical statistical tables of n, m andC under Walker model

由表1可以看出,Walker模型的參數(shù)擬合在不同載荷比下其線性相關(guān)系數(shù)均為0.9以上．Walker裂紋擴(kuò)展模型的材料參數(shù)n、m隨著應(yīng)力比的增加而減小,均值分別為3.96和5.90,C隨著應(yīng)力比的增加而增加,其均值為8.82×10-7．

2 兩種分布模型的參數(shù)估計(jì)

2.1 正態(tài)分布模型

2.1.1 線性相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)

若隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布,第P個數(shù)值xp與此隨機(jī)數(shù)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)偏量up存在線性關(guān)系:xp=A+Bup,根據(jù)平均秩理論,即p=1-i/(n+1),將其序數(shù)i代入,算出超越分布函數(shù)的估計(jì)值pi,再求出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量取值ui,最后將(xi,ui)進(jìn)行線性回歸．其中線性相關(guān)系數(shù)定義為:

(3)

線性回歸方程是由最小二乘法擬合得到的,xp=A+Bup中的A和B分別為:

(4)

(5)

2.1.2 正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)

正態(tài)分布采用點(diǎn)估計(jì)的數(shù)字特征進(jìn)行均值和方差的計(jì)算,如式(6、7)，用子樣的數(shù)字特征來估計(jì)與之對應(yīng)的母樣本的數(shù)字特征．

(6)

(7)

2.2 威布爾分布模型

2.2.1 線性相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)

假設(shè)數(shù)據(jù)T服從雙參數(shù)威布爾分布[15],那么總體T的分布函數(shù)為:

(8)

樣本ti(i=1,2,…,n)是來自總體T的樣本,將數(shù)據(jù)[ti,F(ti)](i=1,2,…,n)代入式(8),并連續(xù)兩次取對數(shù)得:

(9)

令

(10)

則式(10)可變?yōu)閥i=A+Bxi,通過最小二乘法求出回歸系數(shù)．

2.2.2 威布爾參數(shù)估計(jì)

由相關(guān)系數(shù)A、B可得威布爾參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值:

(11)

(12)

3 基于Walker模型的參數(shù)分布特征分析

3.1 Walker模型參數(shù)的正態(tài)分布特征

根據(jù)正態(tài)分布的點(diǎn)估計(jì)法可由式(8、9)求得參數(shù)n、m、C的均值和方差,并由此得到正態(tài)偏量u的取值范圍,具體數(shù)值見表2．由表2中標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)偏量up得到不確定材料參數(shù)n、m、C的正態(tài)分布線性回歸方程的擬合曲線,如圖5～7．

表2 Walker模型下的n、m、C正態(tài)偏量取值Table 2 Value of n, m and C normal skewers under Walker model

圖5 參數(shù)n的正態(tài)分布擬合Fig.5 Fitting the normal distribution of parameter n

圖6 參數(shù)m的正態(tài)分布擬合Fig.6 Fitting the normal distribution of parameter m

Walker裂紋擴(kuò)展模型中的不確定材料參數(shù)n的正態(tài)分布回歸方程xp=A+Bup中,A=3.96,B=0.151 7,線性相關(guān)系數(shù)r=0.97,標(biāo)準(zhǔn)差為8.504×10-16;不確定材料參數(shù)m的正態(tài)分布回歸方程xp=A+Bup中,A=5.92,B=0.367 1,線性相關(guān)系數(shù)r=0.97,標(biāo)準(zhǔn)差為1.147×10-15;不確定材料參數(shù)C的正態(tài)分布回歸方程xp=A+Bup中,A=8.82×10-7,B=4.788×10-7,線性相關(guān)系數(shù)r=0.99,標(biāo)準(zhǔn)差為3.768×10-22．

圖7 參數(shù)C的正態(tài)分布擬合Fig.7 Fitting the normal distribution of parameter C

3.2 Walker模型參數(shù)的威布爾分布特征

圖8 參數(shù)n的威布爾分布擬合Fig.8 Weibull distribution fitting of n

圖9 參數(shù)m的威布爾分布擬合Fig.9 Weibull distribution fitting of m

圖10 參數(shù)C的威布爾分布擬合Fig.10 Weibull distribution fitting of C

鈦合金材料在Walker裂紋擴(kuò)展模型中的材料參數(shù)n、m、C的分布特征擬合結(jié)果分別如表3～5．

表3 Walker模型下的材料參數(shù)n擬合結(jié)果Table 3 Fitting results of material parameter nunder Walker model

表4 Walker模型下的材料參數(shù)m擬合結(jié)果Table 4 Fitting results of material parameters munder Walker model

表5 Walker模型下的材料參數(shù)C擬合結(jié)果Table 5 Fitting results of material parameter Cunder Walker model

4 結(jié)論

(1) 基于疲勞裂紋擴(kuò)展理論及試驗(yàn)數(shù)據(jù),通過對Walker模型進(jìn)行雙對數(shù)化處理得到了不確定性材料參數(shù),該擬合參數(shù)線性相關(guān)系數(shù)都在0.9以上,可作為特征性分析的有效數(shù)據(jù)．

(2) 在Walker計(jì)算模型下,不確定材料參數(shù)n,m,C的正態(tài)分布線性相關(guān)系數(shù)均高于兩參數(shù)威布爾分布,并且不確定性材料參數(shù)C在威布爾分布下的統(tǒng)計(jì)規(guī)律中,線性相關(guān)系數(shù)為0.69,表現(xiàn)出了較大的分散性．因此,應(yīng)優(yōu)先考慮正態(tài)分布描述其分布特性．