福建省漳浦第一中學(xué) (363200) 蔡長(zhǎng)寶閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (363000) 林新建

“極限化”是重要的解題策略之一，它是用無限逼近的方式從有限中認(rèn)識(shí)無限，從近似中認(rèn)識(shí)精確，從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變的思想.極限化方法在數(shù)學(xué)中有重要的應(yīng)用，它能幫助我們快速地解決某些問題.對(duì)于越復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，其解題思路越有可能由“極限化”而輕松獲得.

“極限法好用，無限性難明”，學(xué)生為什么想不到運(yùn)用如此簡(jiǎn)便的方法予以求解呢？原因就在于他們無法感知出問題中蘊(yùn)含的無限性特征，所以沒有辦法將問題解答得如此輕松.為此，教學(xué)中教師應(yīng)認(rèn)真設(shè)計(jì)“極限化”認(rèn)知活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷問題無限性特征的認(rèn)知過程，這個(gè)認(rèn)知過程至少應(yīng)該包括：這是不是一個(gè)蘊(yùn)含“無限性”特征的問題？這個(gè)“無限性”特征體現(xiàn)在哪里？這個(gè)“無限性”特征給你的啟示是什么？如何基于“無限性”特征將問題極限化予以求解？通過上述問題，學(xué)生充分經(jīng)歷問題的感知、表征、結(jié)構(gòu)分析、尋找策略、形成計(jì)劃、實(shí)施計(jì)劃等認(rèn)知活動(dòng)和反思總結(jié)等元認(rèn)知活動(dòng)，感知出問題內(nèi)蘊(yùn)的無限性特征，以此不僅輕松將問題解決，同時(shí)有效地培養(yǎng)和發(fā)展起數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).

本文以全國(guó)卷高考試題為例，就極限化解題認(rèn)知活動(dòng)的設(shè)計(jì)在培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)上的意義與作用作一闡釋，以饗讀者.

1.設(shè)計(jì)“逼近性”認(rèn)知活動(dòng)，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)

若問題中變量的取值具有逼近性的特征，即可無限逼近于某些值，則可運(yùn)用極限方法將其極限化予以求解，可使問題獲得輕松解決.

為此，教學(xué)中教師應(yīng)認(rèn)真設(shè)計(jì)“無限性”認(rèn)知活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷變量無限性特征的認(rèn)知過程，這個(gè)認(rèn)知過程至少應(yīng)該包括：

問題1：由題設(shè)你能發(fā)現(xiàn)α與β的變化規(guī)律嗎？

問題2：這個(gè)變化規(guī)律是什么？給你什么啟示？

問題3：你能否根據(jù)這種啟示，將問題輕松予以求解呢？

A．(1,10) B．(5，6) C．(10,12) D．(20,24)

解析：本題有一定難度，考生需要把握函數(shù)的圖形特征及變形技巧方能將問題有效解決.其實(shí)，若能運(yùn)用極限化方法解決，問題可瞬間獲解，根本不用動(dòng)筆.令a→1，則f(a)→0，f(b)=f(c)→0，從而b→1，c→12，abc→12，驗(yàn)證選項(xiàng)即知正確答案為C.

為此，教學(xué)中教師應(yīng)認(rèn)真設(shè)計(jì)“極限化”解題認(rèn)知活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷無限性特征的認(rèn)知過程，這個(gè)認(rèn)知過程至少應(yīng)該包括：

問題1：由題設(shè)你能發(fā)現(xiàn)變量a、b、c之間的關(guān)系嗎？

問題2：變量a、b、c的變化有規(guī)律嗎？這個(gè)規(guī)律是什么？

問題3：這個(gè)規(guī)律給你的啟示是什么？

問題4：你能否根據(jù)這種啟示，將問題輕松予以求解呢？

通過問題1，引領(lǐng)學(xué)生“從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系”，即a,b,c之間是有關(guān)系的，b、c隨著a的變化而變化；通過問題2，引領(lǐng)學(xué)生“從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”，即變量的變化具有無限性特征，變量a可無限趨近于0，也可無限趨近于1；通過問題3，引領(lǐng)學(xué)生“從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題”，即無限性問題可以極限化予以求解；通過問題4，引領(lǐng)學(xué)生“借助直觀感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題”，即令a→1，則b→1，c→12，由此知abc→12，驗(yàn)證選項(xiàng)即知正確答案為C.

通過實(shí)施上述活動(dòng)，學(xué)生充分經(jīng)歷問題的感知、表征、結(jié)構(gòu)分析、尋找策略、形成計(jì)劃、實(shí)施計(jì)劃等認(rèn)知活動(dòng)和反思總結(jié)等元認(rèn)知活動(dòng)，明了b、c隨著a的變化而變化，同時(shí)a可無限趨近于1，由此想到可將變量a極限化予以求解.

在以上活動(dòng)中，學(xué)生“從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出變量與變量之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”，進(jìn)而“借助直觀感知事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題”，在這個(gè)過程中，無疑，數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng)得到了較好地培養(yǎng)和發(fā)展.

2.設(shè)計(jì)“趨向性”認(rèn)知活動(dòng)，發(fā)展邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)

若問題中的參數(shù)具有變化的趨向性特征，即它的變化可趨于+∞，也可趨于-∞，則可運(yùn)用極限方法將其極限化予以求解，可使問題獲得輕松解決.

例3 (2013年高考新課標(biāo)卷Ⅱ理科12題)已知點(diǎn)A(-1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是( ).

為此，教學(xué)中教師應(yīng)認(rèn)真設(shè)計(jì)“極限化”解題認(rèn)知活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷變量無限性特征的認(rèn)知過程，這個(gè)認(rèn)知過程至少應(yīng)該包括：

問題1：由題設(shè)你能發(fā)現(xiàn)變量a的變化有規(guī)律嗎？

問題2：這個(gè)規(guī)律是什么？這個(gè)規(guī)律給你的啟示是什么？

問題3：你能否根據(jù)這種啟示，將問題輕松予以求解呢？

通過問題1，引領(lǐng)學(xué)生“從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系”，即a、b之間是有關(guān)系的，b隨著a的變化而變化；通過問題2，引領(lǐng)學(xué)生“從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”，即變量a的變化具有無限性特征，它可無限趨近于0，也可趨于+∞；通過問題3，引領(lǐng)學(xué)生“借助直觀感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題”，即令a→0與a→+∞求解問題.

通過實(shí)施上述活動(dòng)，學(xué)生充分經(jīng)歷問題的感知、表征、結(jié)構(gòu)分析、尋找策略、形成計(jì)劃、實(shí)施計(jì)劃等認(rèn)知活動(dòng)和反思總結(jié)等元認(rèn)知活動(dòng)，明了變量a的變化具有無窮趨向性的特征，它可無限逼近于0，也可無窮趨于+∞，因此若運(yùn)用極限方法予以求解，可輕松將問題予以解決.

在以上活動(dòng)中，學(xué)生“從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題”，進(jìn)而“借助直觀感知事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題”，在這個(gè)過程中，無疑，邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)得到了較好地培養(yǎng)和發(fā)展.

3.設(shè)計(jì)“趨近性”認(rèn)知活動(dòng)，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

若問題中動(dòng)點(diǎn)具有運(yùn)動(dòng)的無限趨近性特征，即它的運(yùn)動(dòng)可無限趨近于某個(gè)點(diǎn)或某個(gè)位置，則可運(yùn)用極限方法將其極限化予以求解，可使問題獲得輕松解決.

例4 (2003年全國(guó)卷理12題)已知長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)和D(0,1)，一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)P0沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點(diǎn)P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點(diǎn)P2、P3和P4(入射角等于反射角).設(shè)P4的坐標(biāo)為(x4,0).若1

為此，教學(xué)中教師應(yīng)認(rèn)真設(shè)計(jì)“極限化”解題認(rèn)知活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)點(diǎn)的無限趨近性特征的認(rèn)知過程，這個(gè)認(rèn)知過程至少應(yīng)該包括：

問題1：由題設(shè)你能發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)P4的運(yùn)動(dòng)有規(guī)律嗎？

問題2：這個(gè)規(guī)律是什么？這個(gè)規(guī)律給你的啟示是什么？

問題3：你能否根據(jù)這種啟示，將問題輕松予以求解呢？

通過問題1，引領(lǐng)學(xué)生“從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”，即點(diǎn)P4的變化具有無限逼近性特征；通過問題2，引領(lǐng)學(xué)生“借助直觀感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題”，即點(diǎn)P4可無限趨近于P0，也可無限趨近于點(diǎn)B；通過問題3，引領(lǐng)學(xué)生“選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果”，即令P4→P0求解問題.

通過實(shí)施上述活動(dòng)，學(xué)生充分經(jīng)歷問題的感知、表征、結(jié)構(gòu)分析、尋找策略、形成計(jì)劃、實(shí)施計(jì)劃等認(rèn)知活動(dòng)和反思總結(jié)等元認(rèn)知活動(dòng)，明了動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)具有無限趨近性的特征，它可無限趨近于P0，因此若運(yùn)用極限方法予以求解，可瞬間將問題予以解決.

在這個(gè)活動(dòng)過程中，學(xué)生“借助直觀感知事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題”，進(jìn)而“選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果”，將運(yùn)算簡(jiǎn)化到極致，無疑，直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)得到了較好地培養(yǎng)和發(fā)展.

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是一種內(nèi)在的思維品質(zhì)和能力，它很難直接地被觀察，只有將這種內(nèi)在的思維品質(zhì)和能力轉(zhuǎn)化為外在的行為時(shí)，教師才能觀察到學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成和發(fā)展的情況.教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要將數(shù)學(xué)素養(yǎng)同具體的情境與問題相連，通過創(chuàng)設(shè)不同的模型認(rèn)知活動(dòng)，讓學(xué)生在日積月累的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不斷地進(jìn)行“數(shù)學(xué)認(rèn)知”，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，才能切實(shí)有效地培養(yǎng)起數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).