趙越，黃平明，劉修平，韓萬水，毛旺濤

（長安大學(xué) 公路學(xué)院，陜西 西安 710064）

車橋間的耦合作用不僅會(huì)影響到橋梁結(jié)構(gòu)的安全性和適用性，還會(huì)影響行車安全和舒適性.近年來，橋梁結(jié)構(gòu)形式的多樣化、汽車速度和載重的不斷加大使得車橋之間的相互作用愈發(fā)復(fù)雜和不確定，車橋耦合振動(dòng)問題受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-4].

車橋耦合振動(dòng)的分析方法主要包括3 種：解析法、試驗(yàn)研究法和數(shù)值模擬法[5].解析法雖然是理論推導(dǎo)，比較嚴(yán)謹(jǐn)，但當(dāng)橋梁幾何特征和材料特性有限制條件時(shí)，在方程建立過程中不可避免地要對實(shí)際條件進(jìn)行簡化，而且有些復(fù)雜方程無法得到解析解，所以解析法在實(shí)際工程中運(yùn)用有一定的局限性[6].試驗(yàn)法雖然能客觀且綜合地反映橋梁在車輛動(dòng)載作用下的實(shí)際工作情況，但由于人力、物力消耗較大且操作難度高，實(shí)現(xiàn)起來并不經(jīng)濟(jì).目前數(shù)值模擬憑借易實(shí)現(xiàn)、低成本等特點(diǎn)已成為車橋耦合振動(dòng)的主要分析手段.早期的數(shù)值模擬法大多是基于Visual C++或Visual Fortran 的自主研發(fā)分析系統(tǒng)[7-8]，以自編的程序計(jì)算橋梁系統(tǒng)的響應(yīng).隨著各種大型通用商業(yè)有限元分析軟件的開發(fā)，其前處理模塊中，橋梁上、下部結(jié)構(gòu)和附屬結(jié)構(gòu)等均可選用不同的單元類型來模擬，在求解過程中也能兼顧結(jié)構(gòu)的幾何非線性和材料非線性，以此為基礎(chǔ)的各種數(shù)值方法[9-13]成為模擬分析車橋耦合振動(dòng)問題的行之有效的工具.

基于數(shù)值方法進(jìn)行車橋耦合分析系統(tǒng)編制主要包括基于模態(tài)疊加法及基于全耦合理論兩種[14].相比于后者，模態(tài)疊加法簡單實(shí)用，但結(jié)構(gòu)高階模態(tài)的提取較難，分析結(jié)果的精度易受影響[15].基于全耦合方法的車橋耦合分析物理意義明確，分析精度相對較高，但由于車輛對橋梁結(jié)構(gòu)每一時(shí)步的加載求解均需借助復(fù)雜的迭代過程，故分析效率相對較低，尤其是在分析高流量、高隨機(jī)車流作用下大跨徑橋梁的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)問題時(shí)，將面臨較高的時(shí)間成本問題[16]，因此提高車橋耦合分析運(yùn)算效率已成為當(dāng)前國內(nèi)外學(xué)者的一個(gè)研究方向[17].例如張楠等[18]提出了基于全過程迭代的車橋耦合動(dòng)力分析方法，可通過人為干預(yù)促進(jìn)計(jì)算收斂，相比傳統(tǒng)的時(shí)間步迭代方法，總求解次數(shù)大幅減少.李巖等[19]提出了一種維度時(shí)變的隨機(jī)車流與橋梁耦合振動(dòng)分析方法，使得振動(dòng)方程單步的求解維度降低，既保持了整體法計(jì)算穩(wěn)定的特點(diǎn)，又有效提高了計(jì)算效率.Chen 等[20]則通過將隨機(jī)車流等效為移動(dòng)荷載列的方法，達(dá)到了降低計(jì)算成本的目的.總體來看，車橋耦合分析系統(tǒng)可以從橋梁模型、荷載模型以及計(jì)算方法上進(jìn)行優(yōu)化.

本文以優(yōu)化確定車橋接觸點(diǎn)的插值系數(shù)和加載位置為出發(fā)點(diǎn)，引入了四邊形等參映射和改進(jìn)折半查找法提高公路車橋耦合分析系統(tǒng)的計(jì)算效率.首先，采用MATLAB 語言建立公路橋梁典型車輛動(dòng)力分析模型，基于ANSYS 建立橋梁有限元模型；其次，采用全過程迭代法分別求解得到橋梁和車輛的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，通過程序間的接口調(diào)用施加車橋間作用力，期間引入四邊形等參映射和改進(jìn)折半查找法并控制時(shí)步輸出結(jié)果以提高車橋耦合運(yùn)算效率；最后通過經(jīng)典數(shù)值算例和實(shí)橋應(yīng)用對比驗(yàn)證所建立的分析系統(tǒng)的準(zhǔn)確性和實(shí)用性.

1 基于等參映射與改進(jìn)折半法的車橋耦合分析系統(tǒng)建立

1.1 車輛模型

汽車車輛一般由車體、車輪等構(gòu)件以及連接這些構(gòu)件的減震系統(tǒng)、懸掛系統(tǒng)組成，根據(jù)車橋耦合振動(dòng)分析的需要對車輛模型進(jìn)行簡化，將車輛模擬為剛體的組合，剛體之間通過軸質(zhì)量塊、彈簧元件和阻尼元件相互連接，不同車型所對應(yīng)的車輛動(dòng)力分析模型不同.根據(jù)課題組前期研究成果，目前公路常見車輛按照車輛軸數(shù)、輪數(shù)、軸距、軸重等數(shù)據(jù)可劃分為5 大類，17 個(gè)車型[21-23].采用MATLAB 語言，針對17 種車型分別建立相應(yīng)的車輛動(dòng)力分析模型.

在車輛動(dòng)力分析模型建立過程中，車輛被劃分為不同的剛體部件，如車體、車輪等.空間內(nèi)單一剛體具有3 個(gè)方向的平動(dòng)和3 個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度.在車輛勻速直線前進(jìn)時(shí)，剛體部件沿著車輛前進(jìn)方向的振動(dòng)對橋梁的豎向及橫向振動(dòng)影響不大，因此各剛體沿車體運(yùn)動(dòng)方向的自由度可忽略，此時(shí)車體具有5 個(gè)自由度：豎向、橫向、點(diǎn)頭、側(cè)滾和搖頭，每個(gè)車輪具有橫向和豎向2 個(gè)自由度，拖掛式車型不考慮橫移和搖頭這2 個(gè)自由度，每個(gè)車體具有浮沉、點(diǎn)頭及側(cè)滾3 個(gè)自由度，每個(gè)車輪只有豎移一個(gè)自由度.

圖1 以三軸車（雙后軸）為例，給出了相應(yīng)的動(dòng)力分析模型立面及側(cè)面圖.其中分別表示第i個(gè)軸的彈簧剛度和阻尼，i=1、2、3，j=vuL、yuL、vlL、ylL，表示第i 個(gè)軸的豎向和側(cè)向?qū)?yīng)的上層和下層位置，Zvr、Yvr、θvr、φvr、φvr分別表示車體的豎向、橫向、點(diǎn)頭、側(cè)滾和搖頭位移.Li表示第i 個(gè)軸距離車體質(zhì)心處的長度,分別表示第i 個(gè)軸左、右輪的豎向位移，分別表示第i 個(gè)軸左、右輪位置處的路面粗糙度和橋面處的豎向位移.

圖1 三軸車動(dòng)力分析模型Fig.1 Dynamic analysis model of three axle vehicle

1.2 車橋運(yùn)動(dòng)方程及求解策略

車橋耦合系統(tǒng)的動(dòng)力方程可表示為：

式中：Mv、Cv、Kv分別為車輛系統(tǒng)的總體質(zhì)量矩陣、總體阻尼矩陣及總體剛度矩陣；Mb、Cb、Kb分別為橋梁系統(tǒng)的總體質(zhì)量矩陣、總體阻尼矩陣及總體剛度矩陣；Zv、Zb分別為車輛、橋梁系統(tǒng)的位移向量；Fv、Fb分別為車輛、橋梁系統(tǒng)的荷載向量.

在車輛運(yùn)行過程中，假設(shè)車輪始終與橋面接觸，橋梁振動(dòng)引起的橋梁豎向位移將引起車輛減震系統(tǒng)、懸掛系統(tǒng)的變形，且路面粗糙度也是車橋耦合體系的主要激勵(lì)源之一，因此車橋系統(tǒng)之間的相互作用力既是車輛和橋梁系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)Zv、Zb的函數(shù)，也是路面粗糙度Ra的函數(shù)，則車橋耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可進(jìn)一步表示為：

聯(lián)立式（1）與（2），對車輛與橋梁兩個(gè)子系統(tǒng)建立耦合關(guān)系.采用全過程迭代法分別求解橋梁子系統(tǒng)和車輛子系統(tǒng)，主要迭代過程通過MATLAB 編制相應(yīng)運(yùn)算程序予以實(shí)現(xiàn)，期間由基于ANSYS 的橋梁有限元模型及相應(yīng)分析過程提供響應(yīng)輸出，具體流程如圖2 所示，收斂準(zhǔn)則定義為＜0.1.全過程迭代法每一步均為全時(shí)程計(jì)算，具有思路清晰明確、易于操作、計(jì)算準(zhǔn)確、占用內(nèi)存少等優(yōu)點(diǎn).

1.3 基于等參映射的接觸點(diǎn)荷載分配

目前橋梁結(jié)構(gòu)橋面模擬有限元模型多為梁格模型、實(shí)體或板殼單元模型，車輪荷載一般簡化為集中力并分配至相鄰4 個(gè)節(jié)點(diǎn)，如圖3 所示.在二維平面內(nèi)四邊形荷載分擔(dān)方式與位移插值函數(shù)一致.當(dāng)車輪荷載作用于某一位置（x，y）時(shí)，相應(yīng)的等參映射關(guān)系如圖4 所示.

坐標(biāo)映射關(guān)系為：

式中：x、y 是車輪荷載與橋面接觸點(diǎn)坐標(biāo)；xi、yi分別為四邊形單元的第i 個(gè)節(jié)點(diǎn)的橫、縱位置；ξ、η 為x、y映射到母單元的值；ξi、ηi分別為母單元的第i 個(gè)節(jié)點(diǎn)的橫、縱位置，是已知量；N（iξ，η）為等參映射點(diǎn)（ξ，η）的函數(shù)[24]；函數(shù)值Ni為四邊形單元的第i 個(gè)節(jié)點(diǎn)的荷載分配系數(shù).

圖2 全過程迭代法流程Fig.2 Inter-history iteration flow chart

圖3 接觸點(diǎn)荷載分配Fig.3 Distribution of contact point load

圖4 等參映射Fig.4 Isoparametric mapping

雙線性方程組（3）的未知量ξ 和η 可通過牛頓迭代法[25]求解，進(jìn)而計(jì)算出分配系數(shù)Ni，實(shí)現(xiàn)車輪荷載的自動(dòng)加載.迭代過程為：

式中：J 為雅克比矩陣；ξk、ηk分別為第k 次迭代的計(jì)算值.當(dāng)時(shí)，則停止迭代，迭代誤差ε取值10-8.

1.4 基于改進(jìn)折半法的快速加載

為實(shí)現(xiàn)車輪荷載的快速自動(dòng)加載，需定位臨近4個(gè)節(jié)點(diǎn)的位置信息，折半查找法作為一種在有序數(shù)組中查找某一特定元素的搜索算法，通過不斷將查找范圍減半提高搜索效率，本文將折半法查找確定值的思想擴(kuò)展到查找車輪作用區(qū)間范圍上.折半查找的前提條件是必須將搜索目標(biāo)范圍排成有序數(shù)列，雖然折半查找效率高，但排序本身又增加了一定工作量.橋梁結(jié)構(gòu)模型的特點(diǎn)決定了同一計(jì)算過程中，主梁節(jié)點(diǎn)一經(jīng)確定便不再改動(dòng)，因此全部計(jì)算過程僅需一次排序，后續(xù)所有車輪作用范圍的確定均可直接使用，從全局角度考慮可有效提高查找效率.

以車輪縱向加載點(diǎn)x 處的臨近坐標(biāo)定位為例，橫向加載點(diǎn)y 處臨近點(diǎn)查找與之類似，查找流程如圖5 所示，具體步驟如下：

1）導(dǎo)入ANSYS 模型中待求車輛所在車道上全部單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，按照升序排列形成一維矩陣t.

2）初始化：計(jì)算一維矩陣的大小確定last，令front=1.

3）計(jì)算mid=round（（front+last）/2），round 表示四舍五入.

4）如果mid=last，那么查找結(jié)束，車輪x 處于一維矩陣t 的上限位置是mid，下限位置是mid-1.否則，判斷車輪x 的值是否介于一維矩陣t 的front 和mid 位置之中，若是，則令last=mid，否則令front=mid.

5）繼續(xù)步驟3），直到mid=last.

確定車輪荷載作用點(diǎn)的臨近4 個(gè)節(jié)點(diǎn)后，通過牛頓迭代法求解方程（3），繼而可得到每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的插值系數(shù)，從而確定荷載分配值.為減少車橋耦合計(jì)算工作量和提高程序運(yùn)行效率，僅將荷載作用點(diǎn)的位移和速度輸出，利用已知的插值系數(shù)計(jì)算出車輪處的速度和位移，用于車橋作用力的求解中.

圖5 改進(jìn)折半查找法流程Fig.5 Improved half search algorithm flow

2 數(shù)值算例驗(yàn)證

為初步驗(yàn)證本文建立的車橋耦合分析系統(tǒng)的準(zhǔn)確性，首先基于數(shù)值分析算例進(jìn)行對比.由于復(fù)雜橋梁的數(shù)值分析結(jié)果較難得到，故以經(jīng)典的單自由度彈簧-質(zhì)量模型通過簡支梁橋?yàn)槔瑢⑺⑾到y(tǒng)分析結(jié)果與文獻(xiàn)[26-27]分析結(jié)果進(jìn)行比較.算例信息如圖6 所示，簡支梁全長25 m，橋梁有限元模型由100 個(gè)BEAM4 單元組成.截面慣性距2.9 m4，彈性模量2.87×109kN/m2，線密度2 303×103kg/m，泊松比0.2，車輛質(zhì)量5.75 t，彈簧剛度1 595×103N/m，移動(dòng)速度v=27.78 m/s，不考慮阻尼和路面不平整度.

圖6 單自由度車輛通過簡支梁橋模型Fig.6 Vehicle of single degree of freedom passing through simply supported beam

橋梁基頻有限元計(jì)算值4.779 Hz，理論值4.78 Hz，二者非常接近.橋梁的跨中撓度時(shí)程曲線及車輛豎向位移時(shí)程曲線如圖7 和圖8 所示，車輛豎向加速度時(shí)程曲線如圖9 所示，車橋接觸力時(shí)程曲線如圖10 所示.根據(jù)結(jié)果可知，采用本文方法計(jì)算的曲線與文獻(xiàn)[26-27]中的曲線吻合良好.車輛豎向加速度時(shí)程曲線與車橋接觸力時(shí)程曲線變化趨勢相同，初步說明所建立分析系統(tǒng)的分析精度滿足基本要求.

圖7 橋梁跨中撓度時(shí)程曲線Fig.7 Deflection time history curve of bridge mid-span

圖8 車輛豎向位移時(shí)程曲線Fig.8 Vertical displacement time history curve of vehicle

圖9 車輛豎向加速度時(shí)程曲線Fig.9 Vertical acceleration time history curve of vehicle

圖10 車橋接觸力時(shí)程曲線Fig.10 Vehicle-bridge contact force time history curve

3 實(shí)橋驗(yàn)證與應(yīng)用

3.1 橋梁信息

四渡河大橋是滬蓉國道主干線湖北宜昌至恩施高速公路的控制性工程，是一座主跨900 m 的鋼桁梁懸索橋.主梁總寬度為26.0 m，橋面凈寬為24.5 m，采用雙向四車道布置，單向2.41%縱坡.加勁梁由主桁架、上下平聯(lián)、橫向桁架組成，主桁架采用華倫式鋼桁加勁梁.為了減小主梁與主纜相對運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的吊桿彎曲應(yīng)力，橋梁的跨中位置設(shè)置剛性中央扣以減弱單向縱坡帶來的影響.橋梁信息如圖11 所示.

圖11 四渡河大橋側(cè)面（單位：m）Fig.11 Side view of Siduhe bridge（unit：m）

基于梁格理論采用ANSYS 建立該橋梁有限元模型，模型建立過程中，將車道所處的橋面等效為4 根縱梁，縱梁、弦桿、腹桿等用BEAM4 單元模擬，主纜、吊索用LINK10 單元模擬.為保證模型的準(zhǔn)確性，已根據(jù)模態(tài)實(shí)測數(shù)據(jù)對初始有限元模型進(jìn)行了修正[28].根據(jù)已有研究成果，新建高速公路橋梁橋面不平整度基本為ISO 標(biāo)準(zhǔn)中的A 級路面[29-30].因此，根據(jù)相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)生成如圖12 所示的路面不平整度.

圖12 路面不平整度Fig.12 Road surface roughness

3.2 基于實(shí)測數(shù)據(jù)的分析系統(tǒng)驗(yàn)證

進(jìn)一步采用該橋梁對所建立的分析系統(tǒng)開展驗(yàn)證工作，首先設(shè)置車輛過橋測試工況，具體工況信息包括：1）兩輛三軸卡車以20 km/h 車速勻速過橋；2）兩輛三軸卡車以50 km/h 車速勻速過橋.測試工況中車輛行駛位置及動(dòng)應(yīng)變測點(diǎn)如圖13 所示，動(dòng)應(yīng)變測點(diǎn)布設(shè)于中央扣處主桁上弦桿上.兩輛三軸車所對應(yīng)的車輛動(dòng)力模型參數(shù)及質(zhì)量參數(shù)如表1 所示[31].

圖13 行車試驗(yàn)示意圖（單位：cm）Fig.13 Diagram of running test（unit：cm）

表1 車輛技術(shù)參數(shù)Tab.1 Vehicle technical parameters

采用基于等參映射與改進(jìn)折半法所建立的車橋耦合分析系統(tǒng)對上述兩個(gè)測試工況進(jìn)行分析，并提取與測點(diǎn)位置相應(yīng)單元的應(yīng)變信息，實(shí)測結(jié)果與理論分析結(jié)果的對比如圖14、圖15 所示.由圖14 和圖15 可知，基于所建立車橋耦合分析系統(tǒng)所得到的分析結(jié)果能夠與實(shí)測結(jié)果良好地吻合，20 km/h 和50 km/h 車速下跨中應(yīng)變峰值誤差分別為1.3%和0.31%，說明所建立的車橋耦合分析系統(tǒng)分析精度能夠滿足要求.應(yīng)變峰值出現(xiàn)誤差不同的主要原因在于行車試驗(yàn)有一定的隨機(jī)性，車橋耦合分析計(jì)算中將試驗(yàn)車輛車速確定為一個(gè)定值，但實(shí)際車輛難以精確保持在預(yù)定車速，并且車輛在橋上的運(yùn)行位置亦會(huì)產(chǎn)生輕微的變化，對結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)產(chǎn)生影響，因此導(dǎo)致出現(xiàn)應(yīng)變峰值誤差不同的情況.

圖14 20 km/h 車速下動(dòng)應(yīng)變曲線Fig.14 Dynamic strain under 20 km/h

圖15 50 km/h 車速下動(dòng)應(yīng)變曲線Fig.15 Dynamic strain under 50 km/h

3.3 計(jì)算效率分析

圖16 給出了本文所建立分析系統(tǒng)在上述2 個(gè)測試工況下的迭代進(jìn)程，可見，盡管2 種車速下所建立分析系統(tǒng)在初始階段迭代收斂誤差很大，但經(jīng)過3 次迭代后迅速下降，能夠在第6 次迭代后達(dá)到收斂狀態(tài).為進(jìn)一步分析該分析系統(tǒng)在求解過程中對分析效率的提升情況，現(xiàn)針對算例采用基于時(shí)間步迭代的傳統(tǒng)分析方法與本文分析方法進(jìn)行對比，計(jì)算2 輛卡車以60 km/h 車速雙車并行工況下結(jié)構(gòu)的響應(yīng).由于本文所提出方法優(yōu)勢在于占用系統(tǒng)計(jì)算資源少，為體現(xiàn)本文方法相比傳統(tǒng)方法提升效果，選取在相同計(jì)算機(jī)配置情況下2 種方法計(jì)算時(shí)長作為體現(xiàn)計(jì)算效率的指標(biāo).全部計(jì)算采用常規(guī)辦公用計(jì)算機(jī)，主要配置為處理器6 核6 線程，主頻2.8 GHz，內(nèi)存8 GB.

首先對比兩種方法所得到的橋梁跨中豎向加速度和位移響應(yīng)，如圖17 所示.可知基于時(shí)間步迭代的傳統(tǒng)分析方法與本文方法所得結(jié)果基本相同.加速度及位移變化趨勢基本一致，峰值相對誤差分別為0.1%和0.22%.

圖16 不同車速下迭代次數(shù)Fig.16 Number of iterations under different speeds

圖17 跨中動(dòng)力響應(yīng)比較Fig.17 Comparison of mid-span dynamic responses

表2 給出了兩種分析方法計(jì)算耗時(shí)信息.可見兩種方法總時(shí)間步均為543，總迭代次數(shù)相仿，但本文方法通過結(jié)合全過程迭代，引入等參映射及改進(jìn)折半法，實(shí)現(xiàn)了車輪作用點(diǎn)臨近節(jié)點(diǎn)快速定位及自動(dòng)加載，在保證計(jì)算精度的同時(shí)，較傳統(tǒng)方法求解總耗時(shí)減少了42.5%.盡管對于當(dāng)前目標(biāo)結(jié)構(gòu)，計(jì)算總耗時(shí)并不很長，但該分析方法對于進(jìn)一步進(jìn)行高強(qiáng)度隨機(jī)車流下橋梁結(jié)構(gòu)空間動(dòng)力響應(yīng)分析具有積極意義，可有效減少高流量及高隨機(jī)車輛荷載作用時(shí)的計(jì)算耗時(shí)，有較高的計(jì)算效率.

表2 計(jì)算效率對比Tab.2 Comparison of computational efficiency

4 結(jié)論

針對基于傳統(tǒng)全耦合理論開展公路車橋耦合分析效率偏低的問題，在車橋耦合分析系統(tǒng)建立過程中引入等參映射進(jìn)行荷載分配，利用改進(jìn)折半法實(shí)現(xiàn)車輪荷載快速加載.借助彈簧-質(zhì)量模型通過簡支梁的數(shù)值算例對所建立分析系統(tǒng)的準(zhǔn)確性進(jìn)行了初步驗(yàn)證，根據(jù)特定測試工況下的實(shí)橋響應(yīng)對所建立分析系統(tǒng)的準(zhǔn)確性作了進(jìn)一步驗(yàn)證，并對分析過程中的迭代進(jìn)程、分析耗時(shí)等問題與傳統(tǒng)分析方法進(jìn)行了對比，得到以下結(jié)論：

1）數(shù)值算例驗(yàn)證結(jié)果顯示，基于所建立的分析系統(tǒng)所得到的分析結(jié)果與經(jīng)典數(shù)值分析結(jié)果基本一致，初步說明引入等參映射及改進(jìn)折半法建立公路車橋耦合分析系統(tǒng)的可行性.

2）四渡河大橋2 個(gè)測試工況實(shí)測與仿真結(jié)果對比顯示，20 km/h 和50 km/h 車速下跨中應(yīng)變峰值誤差分別為1.3%和0.31%.所建立車橋耦合分析系統(tǒng)收斂速度較快，且得到的分析結(jié)果能夠與實(shí)測結(jié)果良好地吻合，進(jìn)一步驗(yàn)證了所建立的公路車橋耦合分析系統(tǒng)的準(zhǔn)確性.

3）依托工程實(shí)例將所提出的分析方法與傳統(tǒng)分析方法進(jìn)行比較，分析結(jié)果顯示本文所提出方法相比傳統(tǒng)方法計(jì)算結(jié)果基本保持一致，計(jì)算耗時(shí)明顯減少，具有較高的計(jì)算效率，對后續(xù)高強(qiáng)度高隨機(jī)車流下的公路車橋耦合分析具有很好的應(yīng)用價(jià)值.