孫守斌 胡 凱

(1.聊城大學 計算機學院，山東 聊城 252059；2.聊城大學 數(shù)學科學學院，山東 聊城 252059)

0 引言

1982年，Z.Pawlak 提出了粗糙集理論[1,2]，用于研究和處理信息系統(tǒng)中的模糊和粒度以及進行數(shù)據(jù)分析.隨后粗糙集理論得到了迅速的發(fā)展，取得了許多有益的成果.眾所周知，粗糙集理論在數(shù)據(jù)的決策與分析、模式識別、機器學習與知識發(fā)現(xiàn)等方面都有很好的應用.研究粗糙集的方法多種多樣，覆蓋是一種基本的方法[3-8].許多學者用鄰域的方法研究粗糙集也有許多好的結論[9-16],在模糊拓撲中，鄰域和遠域都起著非常重要的作用，利用遠域理論在相當廣泛的框架下建立了比較完整的Moore-Smith收斂理論，那么在粗糙集理論中用遠域理論刻畫近似算子就是很自然的事情了.筆者及其合作者利用遠域理論刻畫了上近似，并得到了許多好的結論.

1 預備知識

設L是帶有逆和對應“′”的完全分配格，X是非空的集合，LX是L-fuzzy集合.LX中的最大元和最小元分別記為1X和0X.設a∈L，a叫做素元，若對L的任意元b,c，當a≥b∧c時,有a≥b或a≥c.設a∈L，a叫做余素元，若對L的任意元b,c，當a≤b∨c時,有a≤b或a≤c.L中非單位元的素元，記為P(L)，L中非零元的余素元，記為J(L),LX中非0X的余素元，記為J(LX).

2 L-fuzzy遠域系統(tǒng)

在這一節(jié)，我們將定義廣義的L-fuzzy遠域系統(tǒng)以及上近似，并分別討論串行的、自反的、弱傳遞的、弱一元的和傳遞的等性質(zhì).

定義3 一個映射FRN:J(LX)→2LX稱為廣義的L-fuzzy遠域系統(tǒng)，如果對任意的xλ∈J(LX)和K∈FRN(xλ)，K≠0X.這里FRN(xλ)稱為xλ的遠域系，K∈FRN(xλ)稱為xλ的遠域.

下面我們在廣義的L-fuzzy遠域系統(tǒng)下分別定義串行的、自反的、弱一元的、弱傳遞的和傳遞的，并討論它們的性質(zhì).

定義5 設FRN是廣義的L-fuzzy遠域系統(tǒng)，則

(FRN1) 稱FRN是串行的，如果任給xλ∈J(LX)和K∈FRN(xλ)，K≠1X；

(FRN2) 稱FRN是自反的，如果任給xλ∈J(LX)和K∈FRN(xλ)，xλ?K；

(FRN3) 稱FRN是弱一元的，如果任給xλ∈J(LX)和K,V∈FRN(xλ)，存在M∈FRN(xλ)使得K∨V≤M；

(FRN4) 稱FRN是弱傳遞的，如果任給xλ∈J(LX)和K∈FRN(xλ)，存在V∈FRN(xλ)使得對任意的yλ?V存在Vyλ∈FRN(yλ)且K≤Vyλ；

(FRN5) 稱FRN是傳遞的，任給xλ,yλ,zλ∈J(LX)和K∈FRN(yλ)，M∈FRN(zλ)，若xλ?K且yλ?M，則xλ?M.

命題1 設FRN是廣義的L-fuzzy遠域系統(tǒng)，則

下面的例子表明這個命題反過來不成立.

例1 設X={x,y,z}，L={0,1}，這里模糊點的高度只能是1，即形如x1，為了方便我們直接寫成x，最小元“0X”，實際上就是?，于是我們得到

FRN(x)={?,{y},{z}}，

FRN(y)={?,{x,z},{z}}，F(xiàn)RN(z)={?,{x},{y}}，則

3 近似算子的公理化刻畫

證明必要性 由命題1易得結論成立.

充分性 設f:LX→LX是一算子滿足(FT1)和(FT2)，定義FRNf如下

?xλ∈J(LX)，A∈LX，A∈FRNf(xλ)當且僅當存在B∈LX，A≤B且xλ?f(B).

(FT1)：f(0X)=0X；(FT2)：若A≤B，則f(A)≤f(B)；(FT3)：f(1X)=1X.

充分性 設f:LX→LX是一算子滿足(FT1)，(FT2)和(FT3)，F(xiàn)RNf的定義如定理1.顯然，我們只需證明(FT3)蘊含串行的條件.事實上，?xλ∈J(LX)，由f(1X)=1X得xλ∈f(1X)，這表明1X?FRNf(xλ)，

所以FRN是串行的.

(FT1)：f(0X)=0X；(FT2)：若A≤B，則f(A)≤f(B)；(FT4)：?A∈LX，A≤f(A).

充分性 設f:LX→LX是一算子滿足(FT1)，(FT2)和(FT4)，F(xiàn)RNf的定義如定理1.顯然，我們只需證明(FT4)蘊含自反的條件.事實上，?xλ∈J(LX)，A∈FRNf(xλ)，由FRNf的定義得，存在B∈LX使得A≤B且xλ?f(B).由(FT4)知B≤f(B)，于是xλ?B，故xλ?A，所以FRNf是自反的.

(FT1)：f(0X)=0X；(FT2)：若A≤B，則f(A)≤f(B)；(FT5)：?A∈LX，f(A)≥f(f(A)).

充分性 設f:LX→LX是一算子滿足(FT1)，(FT2)和(FT6)，F(xiàn)RNf的定義如定理1.顯然，我們只需證明(FT6)蘊含弱一元的條件.事實上，?xλ∈J(LX)，K,V∈FRNf(xλ)，由xλ?f(K)且xλ?f(V)得xλ?(f(K)∨f(V))=f(K∨V).因此存在M∈FRNf(xλ)使得K∨V≤M.所以FRNf是弱一元的.

4 結 語

筆者及其合作者基于廣義的遠域系統(tǒng)定義了上近似算子，并討論了一些基本概念的性質(zhì)，這些性質(zhì)豐富了粗糙集理論.在分明集中，若a∈X且A∪A′=X，則a?A當且僅當a∈A′.但對于模糊點與模糊集而言xλ?A與xλ∈A′一般不等價.因此用遠域系統(tǒng)刻畫下近似算子遇到了困難，這正是我們下一步要考慮的問題.今后我們將用遠域系統(tǒng)刻畫粗糙集理論中的一些概念，進而討論它們的性質(zhì).我們相信遠域系統(tǒng)和鄰域系統(tǒng)一樣，在粗糙集理論中得到廣泛的應用.